渦判據(jù)在孔腔渦旋流動(dòng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分析中的應(yīng)用

胡子俊，張 楠，姚惠之，楊子軒

（1中國船舶科學(xué)研究中心，江蘇 無錫 214082；2清華大學(xué)工程力學(xué)系，北京 100084）

1 引 言

渦是流體運(yùn)動(dòng)中一種常見的現(xiàn)象，在湍流研究的各個(gè)領(lǐng)域都具有重要的研究意義和實(shí)用價(jià)值，Küchemann[1]稱其為流體運(yùn)動(dòng)的肌腱（the sinews and muscles of fluid motions，1965）。 在船舶工程領(lǐng)域，研究渦旋形式及其演化規(guī)律具有重要意義，因?yàn)樽枇Α⒃肼?、空泡等問題都和渦有密切聯(lián)系。盡管渦現(xiàn)象隨處可見，但人們對(duì)于渦的認(rèn)識(shí)尚處于起步階段，到目前為止仍沒有人能對(duì)渦給出一個(gè)嚴(yán)格的定義。Saffman（1979）[2]認(rèn)為渦是以勢流或物面為邊界的有限體積的旋轉(zhuǎn)流體，Lugt（1983）[3]則把渦稱為是一群繞公共中心旋轉(zhuǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)，Green（1995）[4]則說渦是渦量集中的區(qū)域，但是這些說法都是基于人們對(duì)渦的直觀認(rèn)識(shí)，沒有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和證明，無法得到人們的公認(rèn)，因而不能作為渦的準(zhǔn)確定義，這就給渦的識(shí)別帶來了極大的困難。由于缺乏準(zhǔn)確的定義，渦的識(shí)別只能從渦的性質(zhì)入手，經(jīng)過研究人們總結(jié)出了渦具備的三條重要的性質(zhì)：

（1）渦是渦量集中的區(qū)域；

（2）渦心處的壓力極小；

（3）流體的變形可以分解為對(duì)稱部分（應(yīng)變率張量）和反對(duì)稱部分（渦張量），存在渦的區(qū)域反對(duì)稱部分的貢獻(xiàn)占優(yōu)。

基于這些認(rèn)識(shí)，人們提出了各種渦的識(shí)別準(zhǔn)則，Chong等人（1990）[5]提出了Δ判據(jù)作為識(shí)別渦的標(biāo)準(zhǔn)，Hunt等人（1988）[6]提出了 Q 判據(jù)，Hussain 等人（1993）[7]則提出了 λ2判據(jù)，這三種判據(jù)均由速度梯度張量的各個(gè)不變量組合而成，因而具有廣義的伽利略（Galilean）不變性，這一點(diǎn)也被認(rèn)為是渦判據(jù)的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)。本文介紹了渦的各種判據(jù)及物理意義，給出了這些判據(jù)在孔腔等渦旋識(shí)別中的實(shí)際應(yīng)用結(jié)果。

2 渦的識(shí)別方法

前面提到，渦是渦量集中的區(qū)域，因此自然想到用渦量的模作為渦的判據(jù)，認(rèn)為渦量極大的地方是渦的中心，但是這個(gè)判據(jù)具有明顯的局限性，體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：第一、渦量極大不等于有渦存在，以層流平板邊界層為例，其渦量最大處位于壁面上，但是很明顯沒有渦存在；第二、也是關(guān)鍵的一點(diǎn)，不具有廣義伽利略（Galilean）不變性，其大小和坐標(biāo)系的選取有關(guān)。

2.2 Q判據(jù)

其中‖‖表示張量的二范數(shù)，若Q>0則有渦存在，反之則沒有。另外Q的大小和坐標(biāo)系的選取是無關(guān)的，原因在于Q可以化簡為：ji

ui,juj,i（逗號(hào)表示求空間導(dǎo)數(shù)）恰好是速度梯度張量的第二不變量，由于速度梯度張量具有廣義Galilean不變性，因此其第二不變量的值與坐標(biāo)系的選取無關(guān)。

這樣就得到了一個(gè)滿足廣義Galilean不變性的渦判據(jù)，該判據(jù)也是目前人們廣泛使用的一種判據(jù)，但該判據(jù)也存在缺陷，表現(xiàn)在“渦張量對(duì)流體變形的貢獻(xiàn)大于應(yīng)變率張量的貢獻(xiàn)”為一個(gè)模糊的概念，導(dǎo)致Q判據(jù)經(jīng)常將沒有渦的區(qū)域識(shí)別成有渦的區(qū)域，也就是說Q判據(jù)是一個(gè)偏弱的判據(jù)，有時(shí)候需要輔以壓力極小的條件來對(duì)渦進(jìn)行識(shí)別。

2.3 Δ判據(jù)

Chong等人于1990年提出了另一個(gè)渦判據(jù)，他們指出渦心處的速度梯度張量具有虛數(shù)特征值，并以此為依據(jù)提出了Δ判據(jù)。速度梯度張量的特征方程可以寫成：

其中q，r分別為速度梯度張量的二、三不變量。該判據(jù)是由速度梯度張量的不變量組合而成，因此具有廣義Galilean不變性，但其也具有缺陷，最主要體現(xiàn)在該判據(jù)雖然指出有渦的區(qū)域速度梯度張量具有虛數(shù)特征值，卻并沒有提到?jīng)]有渦的區(qū)域是否所有特征值均為實(shí)數(shù)，事實(shí)上并非如此，因此該判據(jù)也是一個(gè)偏弱的判據(jù)。如果將該判據(jù)和Q判據(jù)進(jìn)行比較不難發(fā)現(xiàn)，由于q=2Q，因此若Q>0，則有q>0，則必然有Δ>0，所以Δ判據(jù)是比判據(jù)Q更弱的判據(jù)，目前并不常為人們使用。

2.4 λ2判據(jù)

Hussain等人于1993年從渦心處壓力極小出發(fā)推導(dǎo)了λ2判據(jù)。他們從N-S方程出發(fā)，

兩邊取 ?/?xj，得到：

將速度梯度張量ui,j寫成其對(duì)稱部分Sij和反對(duì)稱部分Ωij得到：

該方程的反對(duì)稱部分是我們熟悉的渦量輸運(yùn)方程：

將（7）式和（8）式相減，得到方程（7）的對(duì)稱部分：

為簡單起見，忽略（9）式中左端的前兩項(xiàng)，也就是忽略粘性和非定常效應(yīng)，得到：

方程（10）的右邊是壓力的二階導(dǎo)數(shù)，為一個(gè)對(duì)稱張量，如果局部壓力極小，那么pij至少有兩個(gè)正特征值，也就是說方程（10）左邊的張量至少有兩個(gè)負(fù)特征值，記（10）式左邊為S2+Ω2，并且其特征值為λ1≤λ2≤λ3，如果λ2＜0 則認(rèn)為有渦存在。

由于λ2是應(yīng)變率張量和渦張量組合得到的張量的特征值，所以該判據(jù)具有廣義的Galilean不變性，因此λ2的值和坐標(biāo)的選取無關(guān)。前面提到的Q判據(jù)也可以用張量S2+Ω2的特征值表示如下：

可見這兩種判據(jù)有緊密的聯(lián)系卻并不等價(jià)，事實(shí)上這兩種判據(jù)各有優(yōu)劣，目前都被人們廣泛使用，綜合使用能得到更好的結(jié)果。

3 渦判據(jù)的應(yīng)用

3.1 二維流動(dòng)

二維流動(dòng)是一種流動(dòng)的簡化情況，只有兩個(gè)方向的速度，這樣速度梯度張量可以簡化成一個(gè)2×2的張量，需要注意的是在使用λ2判據(jù)的時(shí)候，仍是考慮3個(gè)特征值，只是有一個(gè)特征值恒為0，情況比較簡單。下面給出一些流動(dòng)計(jì)算結(jié)果的分析。

算例1：算例1是一個(gè)開有孔腔的物體的繞流問題，模型幾何與流場計(jì)算結(jié)果請(qǐng)見參考文獻(xiàn)[8]。圖1為其中縱剖面（x-y剖面）上某一時(shí)刻的流線圖，左邊為均勻來流方向，孔腔內(nèi)能夠明顯的觀察到有渦存在（圖1（b）），圖2是Q=0以及λ2=0的等值線，等值線包圍的區(qū)域是渦判據(jù)得到的有渦的區(qū)域，和圖1比較不難發(fā)現(xiàn)，除了確實(shí)有渦的區(qū)域外，還有大量沒有渦的區(qū)域也有等值線存在，前面的分析提到目前所有的渦判據(jù)都是偏弱的判據(jù)，因此常以Q>δ或λ2＜-δ（δ為一正實(shí)數(shù)）作為渦存在的判斷標(biāo)準(zhǔn)。圖3取δ=1 000作為判斷標(biāo)準(zhǔn)，可以看到等值線集中在了孔腔的內(nèi)部，而外部的勢流區(qū)域不再被錯(cuò)誤地識(shí)別，為了更好地分析渦判據(jù)的識(shí)別效果，孔腔區(qū)域被放大并顯示在圖4中，該區(qū)域中的速度矢量圖也顯示在同一張圖中以便比較。圖中標(biāo)有A的區(qū)域是確實(shí)有渦的區(qū)域，但是標(biāo)有B的區(qū)域卻不能觀察到渦，并且無論如何增大的δ取值均無法將這些區(qū)域上的等值線去掉，這說明盡管這些判據(jù)可以識(shí)別出有渦的區(qū)域，但是也有可能對(duì)沒有渦的區(qū)域做出錯(cuò)誤的判斷。評(píng)判渦判據(jù)好壞的另一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)是其對(duì)渦心的識(shí)別能力，因此我們將體積最大的一個(gè)渦（圖4中虛框部分）放大，根據(jù)前面的介紹，理論上離渦心越近Q的值越大而δ的值越小，而圖5（a）中Q=3 000卻并不位于渦心處，因此就該算例而言，Q判據(jù)對(duì)渦心的識(shí)別并不成功，λ2判據(jù)的結(jié)果則稍好，在渦心附近存在λ2=-3 000的等值線。

圖 2 算例 1渦判據(jù)等值線 （a）Q=0；（b） λ2=0Fig.2 Contour lines of vortex identification of case 1(a)Q=0;(b)λ2=0

圖 3 算例 1渦判據(jù)等值線 （a）Q=1 000；（b） λ2=-1 000Fig.3 Contour lines of vortex identification of case 1(a)Q=1 000;(b)λ2=-1 000

圖4 算例1孔腔內(nèi)部渦判據(jù)等值線 （a）Q=1 000；（b） λ2=-1 000Fig.4 Contour lines of vortex identification of case 1 in cavity(a)Q=1 000;(b)λ2=-1 000

圖5 算例1孔腔渦心附近渦判據(jù)等值線 （a）判據(jù)；（b）λ2判據(jù)，具體數(shù)值標(biāo)于圖中，C為實(shí)際渦心位置Fig.5 Contour lines of vortex identification of case 1 nearby vortex center(a)Q identification;(b)λ2identification,and the numerical values are shown in the figure

3.2 三維流動(dòng)

真實(shí)的流動(dòng)均是三維的，因此渦判據(jù)最終要用于三維渦的識(shí)別。本節(jié)中給出了渦判據(jù)在三維流場的渦的判斷中的應(yīng)用。

算例2：本算例為算例1的三維流場，為簡單起見我們只考察孔腔內(nèi)的流動(dòng)。圖6顯示的是Q=1 000及λ2=-1 000的等值面。從圖中可以看出，兩種判據(jù)的判斷結(jié)果基本相同，我們選取幾個(gè)特殊的截面，來觀察這些等值面包圍的區(qū)域內(nèi)是否確有渦存在。第一個(gè)剖面為y=0.042，如圖7所示，從矢量圖可以看出該截面上有兩個(gè)沿y方向的渦，并且這兩個(gè)區(qū)域均被Q或λ2的等值線標(biāo)示出，說明這兩種判據(jù)均成功地識(shí)別了這兩個(gè)渦。圖8顯示的是x=0.129截面上的渦判據(jù)等值線和速度矢量，兩種判據(jù)也都準(zhǔn)確地識(shí)別了渦的位置。圖9顯示的是z=0.143截面上Q=10以及λ2=-10的等值線（Q=1 000以及λ2=-1 000的等值線不存在），從矢量圖可以看出在該截面上存在一個(gè)很大尺度的渦，但是渦判據(jù)卻無法識(shí)別這個(gè)渦，事實(shí)上渦判據(jù)對(duì)大尺度渦的識(shí)別確實(shí)存在一些困難，前人的研究發(fā)現(xiàn)在彎槽和旋轉(zhuǎn)槽道流動(dòng)中均有大尺度的流向渦——Taylor渦存在，渦判據(jù)也無法很好地識(shí)別。

圖 6 算例 2渦判據(jù)等值線 （a）Q=1 000；（b） λ2=-1 000Fig.6 Contour lines of vortex identification of case 2(a)Q=1 000;(b)λ2=-1 000

圖7 算例2，y=0.042截面上矢量圖及渦判據(jù)等值線 （a）Q=1 000；（b）λ2=-1 000Fig.7 The vector diagram and contours of vortex identification of case 2 on section y=0.042(a)Q=1 000;(b)λ2=-1 000

圖8 算例2，x=0.129截面上矢量圖及渦判據(jù)等值線 （a）Q=1 000；（b）λ2=-1 000Fig.8 The vector diagram and contours of vortex identification of case 2 on section x=0.129(a)Q=1 000;(b)λ2=-1 000

4 結(jié) 論

本文主要就湍流中渦的識(shí)別進(jìn)行了研究。盡管人們對(duì)渦仍沒有一個(gè)嚴(yán)格的定義，但是基于實(shí)際研究的需要，各種識(shí)別渦的判據(jù)應(yīng)運(yùn)而生，這其中Q判據(jù)和λ2判據(jù)被人們廣泛使用，本文即使用這兩種判據(jù)對(duì)一些實(shí)際流動(dòng)問題進(jìn)行了渦的識(shí)別和分析，取得了有意義的結(jié)果，主要結(jié)論如下：

（1）無論Q判據(jù)還是λ2判據(jù)，均是一個(gè)偏弱的判據(jù)，因此我們通常選用Q>δ或λ2＜δ（δ為一正實(shí)數(shù)），而不是作為渦存在的判斷標(biāo)準(zhǔn)，并且最佳的δ依賴于特征長度和特征時(shí)間，具體值的選取依賴于實(shí)際流動(dòng)狀態(tài)和研究者的經(jīng)驗(yàn)。

（2）λ2判據(jù)對(duì)渦心的識(shí)別能力更強(qiáng)。

（3）某些不能觀察到渦的區(qū)域被渦判據(jù)識(shí)別為有渦的區(qū)域，如何改進(jìn)渦判據(jù)將這些區(qū)域自動(dòng)排除是未來一個(gè)值得研究的課題。

（4）大尺度的渦的識(shí)別是目前流體力學(xué)領(lǐng)域的難題，目前的渦判據(jù)雖然能夠反映一些特征，但還不夠完善，值得深入研究。

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