均布載荷作用下彈性基礎(chǔ)框架的變形與內(nèi)力分析

梅志遠(yuǎn)，李華東，朱 錫

（海軍工程大學(xué) 船舶與海洋工程系，武漢 430033）

1 引 言

彈性基礎(chǔ)上的梁、板等結(jié)構(gòu)是工程中十分常見的結(jié)構(gòu)形式，同時(shí)，許多結(jié)構(gòu)問題也可以轉(zhuǎn)化為彈性基礎(chǔ)板梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行求解[1]，因而，國(guó)內(nèi)外學(xué)者采用不同的方法[2-4]對(duì)各種形式的彈性基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究[5-8]，在前人研究的基礎(chǔ)上，本文利用彈性基礎(chǔ)梁的解析求解方法中的“初參數(shù)法”[9-10]對(duì)四周承受均布載荷、四結(jié)點(diǎn)鉸支的彈性基礎(chǔ)框架的變形規(guī)律進(jìn)行分析，如圖1所示，其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)為：

（1）框架內(nèi)部為均質(zhì)材料（彈性基礎(chǔ)），四邊均為有限長(zhǎng)度的彈性基礎(chǔ)梁[11]；

（2）相鄰的兩梁之間為剛性連接，在變形過程中傳遞彎矩、并使相鄰兩邊保持垂直；

（3）彈性基礎(chǔ)遵循文克爾（Winkler）假設(shè)，即基礎(chǔ)反力與梁的撓度變形成正比。

如圖2所示，在承受面內(nèi)載荷時(shí)，框架的各邊的變形不同于單獨(dú)承受載荷的彈性基礎(chǔ)梁，而是存在相互耦合的關(guān)系。在計(jì)算其各邊（梁）的撓度變形時(shí)，不能簡(jiǎn)單地采用現(xiàn)有的各種彈性基礎(chǔ)理論進(jìn)行求解，需要對(duì)其變形特點(diǎn)和規(guī)律進(jìn)行研究，找出合適的求解方法。在表述過程中，本文中各量的正負(fù)確定方法與文獻(xiàn)[9]相同，并規(guī)定指向框架內(nèi)部的轉(zhuǎn)角與撓度為正。

圖1 結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Sketch map of the structure

圖2 載荷分布Fig.2 Distribution of loads

2 彈性基礎(chǔ)梁的“初參數(shù)法”求解

根據(jù)彈性基礎(chǔ)梁的彎矩、剪力和撓度的基本微分關(guān)系，可以得出彈性基礎(chǔ)梁的彎曲微分方程式為[9-10]：

式中，EI為梁的彎曲剛度，q（x）為梁上的均布載荷，k為基礎(chǔ)反力系數(shù)，其計(jì)算方法見文獻(xiàn)[6]與文獻(xiàn)[10]。（1）式為常系數(shù)線性齊次微分方程式，對(duì)其求解并進(jìn)行推廣，最終可以得出受任意載荷作用時(shí)的彈性基礎(chǔ)梁的變形曲線方程：

式中：v0、θ0、M0和N0為梁端的初始撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩與剪力，因此這種求解方法稱為“初參數(shù)法”；系數(shù)β包含梁的彎曲剛度和基礎(chǔ)彈性，是影響梁的撓曲線的重要因素，稱為梁的彈性特征，其計(jì)算表達(dá)式為：

Fi（βx）稱為普日列夫斯基函數(shù)，其計(jì)算公式如下：同時(shí)，F(xiàn)i）存在以下循環(huán)微分關(guān)系：

3 結(jié)構(gòu)特性分析

對(duì)承受均布載荷的框架結(jié)構(gòu)的載荷與內(nèi)力進(jìn)行分析，得到其分布狀況如圖2所示，從圖中可以看出：其四個(gè)梁的邊界條件與載荷狀況相似，左右梁、上下梁的受力狀態(tài)分別相同，同時(shí)，框架中四個(gè)梁之間的內(nèi)力與變形存在以下耦合關(guān)系：

（1）各梁的內(nèi)力之間存在互等關(guān)系。根據(jù)作用力與反作用力定理，可以得出各內(nèi)力的大小滿足以下關(guān)系：T2=N2，T2′=N2，T1=N1，T1=N1′，T2′=N2′，T1′=N1′，T1′=N1，T2=N2′；M1=M2，M1′=M2′。 考慮到結(jié)構(gòu)與載荷的對(duì)稱性，最終可以得出：

（2）相鄰兩梁圍繞結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角存在互等關(guān)系。由于節(jié)點(diǎn)兩側(cè)的梁為剛性連接，則節(jié)點(diǎn)兩側(cè)的梁的轉(zhuǎn)角θ1與θ2大小均等，但方向相反。設(shè)轉(zhuǎn)角大小為θ0，則

4 結(jié)構(gòu)變形的理論分析與求解

由以上分析可以看出，整個(gè)框架為雙對(duì)稱軸結(jié)構(gòu)，因而在實(shí)際的計(jì)算中，如圖3所示，我們可以取整體結(jié)構(gòu)的四分之一進(jìn)行分析，其中O點(diǎn)為鉸接約束。求解出局部結(jié)構(gòu)的撓度與內(nèi)力的分布函數(shù)后，根據(jù)結(jié)構(gòu)的對(duì)稱關(guān)系，我們即可得出其余部分的撓度與內(nèi)力的分布。為便于表述，在表示每個(gè)梁段的撓度及撓曲線方程式時(shí)，均采用以下坐標(biāo)體系：以結(jié)點(diǎn)O為原點(diǎn)，沿梁長(zhǎng)度方向?yàn)閄軸，正向指向梁中點(diǎn)；Y軸垂直X軸、正向指向框架內(nèi)部。

4.1 基本撓曲線方程

對(duì)圖3所示結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，可以看出，結(jié)點(diǎn)O兩側(cè)的梁均只有端點(diǎn)處的集中力、彎矩、及梁上的均布載荷作用，則此時(shí)的撓曲線方程的表示形式為：

圖3 四分之一結(jié)構(gòu)的載荷分布Fig.3 Loads distribution of demisemi

則根據(jù)圖3所示載荷狀況，可得出梁OA、OB實(shí)際的撓曲線方程表達(dá)式為：OA梁：

式中，θ0、M0、N1和 N2分別為梁端的轉(zhuǎn)角、彎矩與剪力。

根據(jù)（5）式所示Fi（βx） 之間的循環(huán)微分關(guān)系，可以得出[9]：

同時(shí)，在本文中q（ξ）=q，則（9）式與（10）式可以變?yōu)椋?/p>

4.2 邊界條件方程

根據(jù)結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性與邊界的約束情況，可以得出：

首先，由（12）式、（5）式可得：

由邊界條件（1）得，

對(duì)上式進(jìn)行化簡(jiǎn)，最終可得，

根據(jù)Fi（βx） 存在的相互循環(huán)關(guān)系，可以得出：

由邊界條件（2），可以最終得到 N1、θ0與 M0的關(guān)系式：

由（3）式可得：k=4β4EI，將其代入上式并簡(jiǎn)化得

同理，根據(jù)邊界條件（3）與邊界條件（4），可以得出：

4.3 初參數(shù)求解

為更清晰地表達(dá)以上各邊界條件方程，設(shè)

綜合（16）式、（22-23）式，可得以下線性方程組：

求解方程（25），可以得出：

將梁的參數(shù)（EI、l、h）、彈性基礎(chǔ)的參數(shù)（β、k）及載荷（q）代入（27）式，即可求解出向量 Di{}。 根據(jù)（24）式，可分別得到梁 OA 與梁 OB 的初參數(shù)：θ0、M0、N1與N2。

4.4 變形與內(nèi)力分布曲線

得到各梁的初始參數(shù)后，按照（12）式與（13）式，即可得到OA與OB的撓曲線方程式，根據(jù)結(jié)構(gòu)與載荷的對(duì)稱性可以得出其他梁的撓曲線方程；而根據(jù)梁的轉(zhuǎn)角、彎矩、剪力與其撓曲線的之間微分關(guān)系：θ（x）=v′（x），M（x）=-EIv″（x），N（x）=EIv?（x），最終可得出各梁轉(zhuǎn)角、彎矩與剪力的分布函數(shù)。

5 算 例

求解l=h時(shí)四結(jié)點(diǎn)鉸支的彈性基礎(chǔ)框架的變形與內(nèi)力分布。

當(dāng)框架相鄰梁的長(zhǎng)度相等，即l=h時(shí)，可以得出u=v，則此時(shí)方程（23）可以變?yōu)橐韵滦问剑?/p>

求解方程（26）可得出向量 Di{}，其表達(dá)式如下：

根據(jù) C 與Di的表達(dá)式，解出相鄰兩梁的初參數(shù)： θ0、M0、N1與N2為：

從以上求出的初參數(shù)可以看出，相鄰兩梁的初參數(shù)時(shí)相等的，則根據(jù)結(jié)構(gòu)與載荷的對(duì)稱性，可以得出每個(gè)梁的初參數(shù)均是相等的。所以我們按照（12）式與（13）式，即可得出各梁的撓曲線方程式均為：

根據(jù)彈性基礎(chǔ)梁的撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩及剪力之間的微分關(guān)系，可以得出各梁的轉(zhuǎn)角、彎矩與剪力的分布函數(shù)為：

由（30）～（33）式可以看出：對(duì)于承受均布載荷作用的四結(jié)點(diǎn)鉸支的彈性基礎(chǔ)框架，當(dāng)l=h時(shí)，其各梁的變形規(guī)律與“受均布載荷作用的兩端剛性固支的彈性基礎(chǔ)梁”一致[9]，這也驗(yàn)證了本文公式的正確性。在實(shí)際工程計(jì)算時(shí)，可以將其中任意一個(gè)梁獨(dú)立出來，按照“兩端剛性固支的彈性基礎(chǔ)梁”進(jìn)行求解。

6 結(jié) 語

本文分析了“均布載荷作用下、四結(jié)點(diǎn)鉸支的彈性基礎(chǔ)框架”的變形與內(nèi)力分布規(guī)律，得出了其理論計(jì)算方法，并對(duì)“l(fā)=h”的情況進(jìn)行了詳細(xì)的求解。本文對(duì)均布載荷作用下的四結(jié)點(diǎn)鉸支的彈性基礎(chǔ)框架的內(nèi)力與變形的求解，為承受其他載荷時(shí)彈性基礎(chǔ)框架的研究提供了一種新的思路。

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