受線性載荷作用的含加強(qiáng)圓環(huán)無限大板解析解

李 昊， 劉一華

（合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院，安徽 合肥 230009）

由于幾何不連續(xù)而在孔邊產(chǎn)生的應(yīng)力集中往往是含孔結(jié)構(gòu)失效的主要因素，因而確定孔邊的最大應(yīng)力并采取措施予以加強(qiáng)一直是人們十分關(guān)注的課題［1－6］。在孔的內(nèi)側(cè)粘貼異質(zhì)加強(qiáng)環(huán)（層）是一種減小孔邊應(yīng)力集中的有效方法，并在工程中得到廣泛應(yīng)用。求得這類問題的閉合解，有助于合理選擇加強(qiáng)環(huán)（層）的材料及其厚度，從而可獲得降低應(yīng)力集中的最佳效果。為此，人們采用各種方法對此類問題進(jìn)行了分析和計算。文獻(xiàn)［2］采用Airy應(yīng)力函數(shù)法分析了此類問題，并獲得了加強(qiáng)環(huán)的最佳剛度和厚度。文獻(xiàn)［6］利用保角映射和解析延拓方法，得到了含橢圓孔無限大體在孔內(nèi)粘貼了加強(qiáng)層并在遠(yuǎn)端受均勻載荷作用時的級數(shù)解。然而，對于工程中常見的非均勻載荷作用情況的研究尚不多見。

本文采用復(fù)變函數(shù)方法分析在遠(yuǎn)端受雙軸線性載荷作用的含圓孔并在孔的內(nèi)側(cè)粘貼異質(zhì)加強(qiáng)圓環(huán)的無限大板，討論加強(qiáng)圓環(huán)的材料屬性和厚度對板的孔邊最大應(yīng)力的影響。

1 解析解

分析模型如圖1所示，加強(qiáng)圓環(huán)的內(nèi)、外半徑分別為R0和R1，板遠(yuǎn)端作用的線性載荷分別為p1＝a＋by和p2＝c＋dx。對于平面問題，極坐標(biāo)系下的應(yīng)力σr、σθ、τrθ和位移ur、uθ可以用2個復(fù)勢函數(shù)φ（z）和ψ（z）［7］表示為：

其中，z＝reiθ為復(fù)變量；橫杠表示共軛；撇號表示求導(dǎo)；μ為切變模量；κ為彈性常數(shù)，對于平面應(yīng)力問題κ＝（3－ν）／（1＋ν），對于平面應(yīng)變問題κ＝3－4ν；ν為泊松比。

圖1 分析模型示意圖

板的遠(yuǎn)場（r→∞）應(yīng)力邊界條件為：

加強(qiáng)圓環(huán)內(nèi)側(cè)邊界L0（r＝R0）處的應(yīng)力邊界條件為：

應(yīng)力和位移在界面L1（r＝R1）處的連續(xù)條件為：

（2）～（4）式中的下標(biāo)1和2分別表示板和加強(qiáng)圓環(huán)。

取板的復(fù)勢函數(shù)φ1（z）和ψ1（z）為：

其中，φ11（z）和ψ11（z）為待定的復(fù)勢函數(shù)。將加強(qiáng)圓環(huán)的復(fù)勢函數(shù)φ2（z）和ψ2（z）展開為Laurent級數(shù)［8］，即

然后，分別將（5）式和（6）式代入（1）式，考慮邊界條件和連續(xù)條件（2）～（4）式，（5）式中的復(fù)勢函數(shù)φ11（z）和ψ11（z）以及（6）式中的系數(shù)ak和bk可以利用Cauchy積分求出［8］。為簡便起見，計算過程不再給出。由此可求得板和加強(qiáng)圓環(huán)中的應(yīng)力分別為：

2 數(shù)值驗證

應(yīng)用本文得到的解析解計算板和加強(qiáng)圓環(huán)內(nèi)的應(yīng)力并與用有限元分析軟件MSC.Nastran得到的數(shù)值結(jié)果進(jìn)行比較，如圖2所示。

圖2 不同方向應(yīng)力的解析解與有限元解的比較

加強(qiáng)圓環(huán)的內(nèi)半徑為R0＝6mm，外半徑為R1＝12mm，板和加強(qiáng)圓環(huán)的材料參數(shù)分別為μ1＝27GPa、μ2＝78GPa和ν1＝ν2＝0.3，施加在遠(yuǎn)端的載荷為p1＝80＋3y和p2＝－50＋2x，p1和p2的單位為MPa。由圖2可以看出，本文得到的解析解與有限元解十分吻合，從而驗證了（7）式和（8）式的正確性。

3 結(jié)果與討論

切變模量比Γ對板的孔邊（r＝R1）處最大應(yīng)力及其發(fā)生位置的影響，如圖3所示。

圖3 切變模量比對最大應(yīng)力及其發(fā)生位置的影響

圖3中板和加強(qiáng)圓環(huán)的泊松比均為0.3，加強(qiáng)圓環(huán)的內(nèi)外徑比為α＝0.5。

由圖3a可以看出，最大徑向應(yīng)力和最大切應(yīng)力隨Γ單調(diào)遞增，但是當(dāng)Γ＞3時，最大切應(yīng)力的增加明顯變緩且最終基本不再變化。當(dāng)Γ較小時，最大周向應(yīng)力隨Γ的增加迅速減小，當(dāng)Γ＝4時達(dá)到最小值，其后則隨Γ緩慢增加。因此，可以找出加強(qiáng)圓環(huán)和板的最佳剛度比來減小板在孔邊處的最大周向應(yīng)力。

由圖3b可以看出，當(dāng)Γ增加時，最大徑向應(yīng)力對應(yīng)的θr0從大約32°緩慢減小到16°，而最大切應(yīng)力發(fā)生的位置保持不變，即θrθ0＝135°。最大周向應(yīng)力發(fā)生位置的變化完全不同。當(dāng)Γ＜3時，θθ0從90°緩慢減?。划?dāng)3＜Γ＜5時，迅速從大約80°減少到22°；當(dāng)Γ＞5時，變化又不明顯了。

板的孔邊界處無量綱最大應(yīng)力及其發(fā)生位置與加強(qiáng)圓環(huán)和板的彈性常數(shù)比κ2／κ1之間的關(guān)系，如圖4所示，此時，Γ和α分別取2.9和0.5。可以看出，最大徑向應(yīng)力和最大切應(yīng)力隨κ2／κ1單調(diào)遞減，而最大周向應(yīng)力則隨κ2／κ1單調(diào)遞增，3個最大應(yīng)力基本上與κ2／κ1成線性關(guān)系。除了最大周向應(yīng)力發(fā)生的位置θθ0隨κ2／κ1的增加而略微增大外，另2個基本不變。總體而言，κ2／κ1對最大應(yīng)力的影響沒有Γ顯著。

圖4 彈性常數(shù)比對最大應(yīng)力及其發(fā)生位置的影響

板的孔邊界處的無量綱最大應(yīng)力及其發(fā)生的位置與加強(qiáng)圓環(huán)內(nèi)外徑比α的關(guān)系如圖5所示。此時，切變模量比為Γ＝2.9，板和加強(qiáng)圓環(huán)的泊松比均為0.3。

由圖5可以看出，對于最大徑向應(yīng)力，當(dāng)α＜0.65時，隨α遞減；當(dāng)0.65＜α＜0.83時，隨α的增加而增大；當(dāng)α＞0.83時又隨α的增加而減??；當(dāng)α＝1時（即退化為無加強(qiáng)圓環(huán)的情況），最大徑向應(yīng)力為0；當(dāng)α較小或較大時，其發(fā)生的位置變化很小，而當(dāng)0.4＜α＜0.8時則迅速從15°增大到87°。

圖5 加強(qiáng)環(huán)內(nèi)外徑比對最大應(yīng)力及其發(fā)生位置的影響

對于最大周向應(yīng)力，當(dāng)α＜0.5時，加強(qiáng)圓環(huán)厚度的影響可以忽略不計，而α＞0.5時，則隨α的增加迅速增大；其發(fā)生的位置變化不明顯，基本在81°～91°之間變化。最大切應(yīng)力的變化趨勢基本上和最大周向應(yīng)力相反，當(dāng)α＜0.68時，隨α緩慢遞增；而當(dāng)α繼續(xù)增加時則迅速減小；其發(fā)生的位置保持135°不變。由此可以看出，當(dāng)加強(qiáng)圓環(huán)的內(nèi)外徑比為0.5左右時，對板孔口的加強(qiáng)效果最佳。

4 結(jié)束語

本文采用復(fù)變函數(shù)法求得了含圓孔的無限大板孔內(nèi)粘貼異質(zhì)加強(qiáng)圓環(huán)在遠(yuǎn)端施加雙軸線性載荷的解析解，討論了加強(qiáng)圓環(huán)的材料性能和厚度對板孔邊處最大應(yīng)力的影響。結(jié)果表明，選擇合適的加強(qiáng)圓環(huán)的材料和厚度可以顯著降低板孔邊的最大應(yīng)力，從而達(dá)到優(yōu)化設(shè)計的目的。

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