一種多層組合超靜定梁的分析

詹春曉， 劉一華

（合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院，安徽 合肥 230009）

0 引言

復(fù)合梁、疊合梁及組合梁等組合構(gòu)件因具有獨特的性能而在工程中被廣泛使用，因此，分析這類構(gòu)件的應(yīng)力和變形對更好地利用其特性具有理論和實際意義。基于平面假設(shè)，文獻(xiàn)［1］給出了由2種材料粘合成的復(fù)合梁的應(yīng)力；根據(jù)有2個廣義位移的梁理論，文獻(xiàn)［2－3］研究了疊合梁的層間接觸壓力的分布情況；按照初等梁理論，文獻(xiàn)［4］對2種材料的疊合梁的應(yīng)力進(jìn)行了理論分析和實驗研究；文獻(xiàn)［5］采用彈性力學(xué)方法給出了2種材料的疊合懸臂梁在自由端受集中力作用時的解析解；針對HT－7U超導(dǎo)托卡馬克裝置的真空室，文獻(xiàn)［6－7］提出了一種低剛度的柔性支撐結(jié)構(gòu)，并對該結(jié)構(gòu)進(jìn)行了有限元數(shù)值分析和實驗研究；基于這種柔性支撐結(jié)構(gòu)，文獻(xiàn)［8］研制了組合梁實驗裝置，并應(yīng)用到材料力學(xué)課程的綜合性、研究性和設(shè)計性實驗教學(xué)中，取得了良好效果；基于平面假設(shè)，文獻(xiàn)［9］對一種由不同材料組成的3層組合懸臂梁［8］進(jìn)行了理論分析，給出了組合懸臂梁的位移和應(yīng)力計算公式，討論了各層的高度及其間距對組合懸臂梁位移和應(yīng)力的影響。有關(guān)一種組合超靜定梁的理論分析的報道并不多，為此，本文對3層組合超靜定梁進(jìn)行理論分析，給出該梁的位移和應(yīng)力的計算公式，并將所得到的結(jié)果推廣到任意層組合超靜定梁的情況，為組合梁的設(shè)計提供理論依據(jù)。

1 分析模型

3層組合超靜定梁的分析模型［8］如圖1所示，組合梁的左端A固支，右端D受到轉(zhuǎn)動約束，C截面處受集中力F作用，層i（i＝1，2，3）的彈性模量、高度和寬度分別為Ei、hi和bi，層1與層2之間的間距為h10，層2與層3之間的間距為h20。

圖1 3層組合超靜定梁分析模型

2 基本方程

組合超靜定梁在B截面和BD段的受力如圖2所示，其中，F(xiàn)D和MD分別為組合梁在D截面受到的約束反力和約束力偶。

圖2 3層組合超靜定梁的受力圖

由圖2b可得靜力平衡方程為：

其中，F(xiàn)Ni、FQi和Mi分別為層i在B截面的軸力、剪力和彎矩；H2＝h10＋（h1＋h2）／2；H3＝h10＋h20＋h2＋（h1＋h3）／2。

對B截面做平面假設(shè)，即假設(shè)B截面在受力變形后仍保持平面，且仍垂直于各層的軸線，可寫出變形協(xié)調(diào)方程為：

其中，Δli、vBi和θBi分別為層i的AB段的軸向伸長（或縮短）、B截面形心的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角；vB為組合梁B截面形心的撓度。

由圖2a可得：

其中，Kti＝EiAi和Kbi＝EiIi分別為層i的抗拉（壓）剛度和抗彎剛度；Ai＝bihi和Ii＝bih3i／12分別為層i的橫截面面積和慣性矩。

3 位移和應(yīng)力

由（1）～（3）式可得：

其中

層i中任意點（x，yi）的應(yīng)力為：

其中，yi＝y(tǒng)－Hi，H1＝0。

將（5）式代入（8）式可得：

（5）式表明，各層中沒有軸力，各層中的剪力FQi和彎矩Mi是按剛度分配的，并且有Mi＝FQil／2。由（9）式可見，層i中的應(yīng)力除了與位置有關(guān)外，還與其他層與該層的彈性模量比有關(guān)，并且各層中的正應(yīng)力σi關(guān)于x＝l／2截面反對稱，x＝0和x＝l截面為危險截面。由（4）～（6）式和（9）式可知，該組合超靜定梁的約束反力、內(nèi)力、位移和應(yīng)力均與各層之間的間距hi0無關(guān)。

（5）式、（6）式和（9）式可退化為雙層組合超靜定梁和單層超靜定梁的結(jié)果。例如，若取E3＝0或h3＝0，則可退化為雙層組合超靜定梁的結(jié)果，此時（7）式退化為：

若取E2＝E3＝0或h2＝h3＝0，（5）式、（6）式和（9）式可退化為單層超靜定梁的結(jié)果，即

（5）式、（6）式和（9）式還可以很容易推廣到n層組合超靜定梁的情況，此時只需將（7）式用代替即可。

4 算 例

算例1 相同材料的3層組合超靜定梁的理論計算值與實驗測量值的比較。

實驗在文獻(xiàn)［8］的實驗裝置上完成。3層組合超靜定梁的各層均由鋼材制成，其彈性模量Ei＝210GPa，寬度bi＝60mm （i＝1，2，3），高度h1＝h3＝6mm、h2＝5mm，梁的間距h10＝h20＝4mm，梁的長度l＝550mm，d＝50mm，集中力F＝20N。用電測法測量組合梁各層在x＝100mm處上、下表面的正應(yīng)力。由（9）式求得的組合梁在x＝100mm處各層上、下表面的正應(yīng)力σi的理論值與實驗值的比較見表1所列。

表1 組合超靜定梁在x＝100mm處的正應(yīng)力σi

由表1可見，按（9）式計算得到的正應(yīng)力的理論值與實驗值吻合較好，最大誤差為4.4%，表明本文得到的理論分析結(jié)果是正確的。

算例2n層組合超靜定梁與單層超靜定梁的比較。

在（6）式和（9）式中，取Ei＝E，bi＝b，hi＝h（i＝1，2，…，n），可得：

在（12）式和（13）式中，取E1＝E，b1＝b，h1＝nh，可得：

由（14）～（17）式可得：

（18）式表明，與單層超靜定梁相比，總高度相等的n層組合超靜定梁B截面的撓度、最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力是單層超靜定梁的n2倍，這從理論上說明了文獻(xiàn)［6－7］所提出的支撐結(jié)構(gòu)是一種低剛度的柔性支撐結(jié)構(gòu)。

5 結(jié)論

基于平面假設(shè)，對3層組合超靜定梁進(jìn)行了分析，得到了該組合梁的位移和應(yīng)力計算公式，該結(jié)果可用于任意層的組合超靜定梁。研究表明，各層中沒有軸力，各層中的剪力和彎矩是按剛度分配的；應(yīng)力關(guān)于梁的中間橫截面是反對稱的；應(yīng)力和位移與各層之間的間距無關(guān)；與單層超靜定梁相比，總高度相等的n層組合超靜定梁B截面的撓度、最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力是單層超靜定梁的n2倍。本文的結(jié)果可為多層組合超靜定梁的優(yōu)化設(shè)計提供理論依據(jù)。

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