大跨度橋梁耦合抖振的TMD控制

張鳴祥， 王建國(guó)， 汪 權(quán)， 錢 鋒

（合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院，安徽 合肥 230009）

0 引言

調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（tuned mass damper，簡(jiǎn)稱TMD）作為目前使用范圍最廣的被動(dòng)控制技術(shù)，在大跨度橋梁等結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)計(jì)［1－3］、車－橋－風(fēng)系統(tǒng)振動(dòng)控制［4］以及抑制大跨度橋梁抖振［5－6］等方面有著廣泛的運(yùn)用。

大跨度橋梁的抖振是由于自然風(fēng)的紊流特性而產(chǎn)生的隨機(jī)強(qiáng)迫振動(dòng)。抖振雖然不像顫振那樣具有破壞性，但是過(guò)大的抖振響應(yīng)在施工和運(yùn)營(yíng)階段都可能危及施工機(jī)械、通行車輛以及人員，也有可能導(dǎo)致局部構(gòu)件疲勞破壞。因此，抑制橋梁的抖振響應(yīng)值得關(guān)注。

抖振頻域分析的基本方法主要有SRSS法、CQC法［7］以及虛擬激勵(lì)法［8］（快速 CQC法）。虛擬激勵(lì)法與CQC法相比，除了具有相同的精度之外，還節(jié)約了計(jì)算量，使得計(jì)算時(shí)長(zhǎng)有所縮減［9］。由于TMD參數(shù)設(shè)置需要反復(fù)計(jì)算抖振響應(yīng)，將虛擬激勵(lì)法引入TMD控制抖振可以極大地節(jié)約機(jī)時(shí)，提高計(jì)算效率。

1 理論基礎(chǔ)

結(jié)構(gòu)在TMD作用力下的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

其中，Mb、Cb、Kb為橋梁結(jié)構(gòu)的總體質(zhì)量、阻尼以及剛度矩陣；xb為橋梁節(jié)點(diǎn)位移向量；FTMD為TMD控制力向量；Fse、Fb為氣動(dòng)自激力向量、抖振力向量。

文獻(xiàn)［10］由Scanlan的氣動(dòng)自激力公式［11］并根據(jù)機(jī)翼理論推導(dǎo)了Fse的復(fù)數(shù)表達(dá)方式，F(xiàn)se由自激力單元節(jié)點(diǎn)的等效荷載Fese組裝而成，即

其中，為12×12的單元?dú)鈩?dòng)矩陣，即

（3）式中A1詳見(jiàn)文獻(xiàn)［10］，組裝Fse可寫(xiě)為：

文獻(xiàn)［7］推導(dǎo)的施加于單元上的抖振力表達(dá)式為：

其中，u和w分別為結(jié)構(gòu)各節(jié)點(diǎn)的縱向和豎向脈動(dòng)風(fēng)速；Abu和Abw為氣動(dòng)抖振系數(shù)矩陣，Abu和Abw由各個(gè)施加抖振力單元的Aebu和Aebw組裝而成，即

其中，B為單元的形函數(shù)矩陣；ue和we為單元節(jié)點(diǎn)縱向和豎向脈動(dòng)風(fēng)速；L為單元長(zhǎng)度；

其中，B為加勁梁寬；CL、CD和CM分別為單元截面的靜風(fēng)三分力系數(shù)；CL′、CD′和CM′表示CL、CD和CM對(duì)風(fēng)攻角α的導(dǎo)數(shù)；χLu、χDu、χMu、χLw、χDw、χMw為氣動(dòng)導(dǎo)納。

根據(jù)第i個(gè)TMD作用于結(jié)構(gòu)的j節(jié)點(diǎn)的控制力等于TMD的慣性力，第i個(gè)TMD相對(duì)于j節(jié)點(diǎn)的位移為xTbi＝xTi－xj－αjdi，mTi為第i個(gè)TMD的質(zhì)量，其中，xTi為第i個(gè)TMD的豎向位移，xj和αj分別為j節(jié)點(diǎn)的豎向位移和扭轉(zhuǎn)位移，di為第i個(gè)TMD距j節(jié)點(diǎn)的水平距離，則有：

針對(duì)多個(gè)TMD，（1）式中的FTMD可寫(xiě)成：

并從等式右邊轉(zhuǎn)移到左邊化簡(jiǎn)可得：

亦可寫(xiě)成：

以第i個(gè)TMD作為單獨(dú)結(jié)構(gòu)，其運(yùn)動(dòng)微分方程為：

其中，cTi、kTi分別為第i個(gè) TMD的阻尼、剛度。將（11）式轉(zhuǎn)化為向量形式，即

針對(duì)多個(gè)TMD，均有相應(yīng)的（12）式，寫(xiě)成矩陣形式，可得：

（10）式和（13）式聯(lián)立可得：

令xb＝ΦbXb，Φb為結(jié)構(gòu)質(zhì)量歸一化振型矩陣，Xb為結(jié)構(gòu)廣義位移；令xTb＝ΦTbXTb，ΦTb為TMD相對(duì)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)量歸一化振型矩陣，XTb為TMD相對(duì)運(yùn)動(dòng)的廣義位移。構(gòu)造

即x＝Φ·X，代入（14）式，并左乘以ΦT，得到模態(tài)空間內(nèi)結(jié)構(gòu)－TMD運(yùn)動(dòng)微分方程為：

根據(jù)隨機(jī)振動(dòng)理論，頻響傳遞函數(shù)矩陣為：

根據(jù)（5）式，其功率譜密度函數(shù)矩陣（PSD）為：

故廣義抖振力功率譜密度函數(shù)矩陣為：

根據(jù)虛擬激勵(lì)法，SQb為厄米特矩陣，分解可得：

構(gòu)造虛擬簡(jiǎn)諧激勵(lì)為：

從而結(jié)構(gòu)－TMD系統(tǒng)的廣義虛擬位移矩陣X和節(jié)點(diǎn)虛擬位移矩陣x分別為：

節(jié)點(diǎn)位移向量x的功率譜密度（PSD）為：

故節(jié)點(diǎn)位移向量x的方差為：

2 TMD參數(shù)設(shè)計(jì)及程序設(shè)計(jì)

TMD的參數(shù)包括TMD的安放位置、質(zhì)量、頻率和阻尼比。TMD的安裝位置一般為抖振響應(yīng)最大處，其頻率的設(shè)定為該點(diǎn)響應(yīng)頻譜中功率最大點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的頻率ωb，實(shí)現(xiàn)對(duì)該點(diǎn)功率譜密度函數(shù)的最大值點(diǎn)進(jìn)行削峰，以控制該點(diǎn)響應(yīng)的均方根（RMS）。故設(shè)定TMD抖振控制效率為：

其中，σb為控制點(diǎn)抖振響應(yīng)的均方根（RMS）；σc為控制點(diǎn)在TMD作用下抖振響應(yīng)的均方根（RMS）。為了研究各參數(shù)對(duì)TMD抖振控制效率的敏感性，分別設(shè)定TMD質(zhì)量比率uM、TMD頻率偏移率uω以及為TMD設(shè)置不同的阻尼比ξTMD，分別為：

其中，mTMD、ωTMD分別為TMD的質(zhì)量和頻率；mb、ωopt分別為結(jié)構(gòu)一階廣義質(zhì)量和TMD原始設(shè)定頻率。uM、uω、ξTMD即為本文 TMD 的設(shè)定參數(shù)。

本文首先在ANSYS中建立橋梁結(jié)構(gòu)的有限元模型，使用beam4單元模擬空間三維梁?jiǎn)卧⑹褂胠ink10單元模擬空間三維拉索以及吊桿單元，利用mass21單元模擬橋面質(zhì)量以及扭轉(zhuǎn)慣性矩。對(duì)建立的有限元模型進(jìn)行模態(tài)分析，并利用APDL語(yǔ)言編程導(dǎo)出模型的模態(tài)振型矩陣和各階頻率、節(jié)點(diǎn)單元信息等。模型的模態(tài)振型矩陣和各階頻率、節(jié)點(diǎn)單元信息導(dǎo)入Matlab中編制TMD控制顫振程序，程序流程為：

（1）進(jìn)行結(jié)構(gòu)的耦合抖振分析，計(jì)算抖振響應(yīng)的RMS以及響應(yīng)功率譜。

（2）根據(jù)原結(jié)構(gòu)的抖振響應(yīng)的功率譜和RMS，確定TMD的布置方案及其參數(shù)區(qū)間。

（3） 組 裝 Abu、Abw，確 認(rèn) 積 分 頻 域 范 圍劃分頻域步長(zhǎng)Δω，對(duì)每個(gè)頻率積分點(diǎn)組裝，并計(jì)算SQb，將和SQb保存為數(shù)據(jù)庫(kù)。

（4）根據(jù)TMD參數(shù)區(qū)間設(shè)定一組參數(shù)，并計(jì)算組裝MbT、Mbin以及Φ，并組裝~M、~C、Λ。

（5）令ω＝ω1，計(jì)算頻率響應(yīng)函數(shù)矩陣H。

（6）計(jì)算廣義位移向量X以及節(jié)點(diǎn)位移向量x，并疊加計(jì)算當(dāng)前

（7）如果ω≥ωn則進(jìn)行下一步，否則令ω＝ω＋Δω回到步驟（5）。

（8）計(jì)算當(dāng)前TMD參數(shù)下的控制點(diǎn)的RMS。

（9）取下一組 TMD參數(shù)，回到步驟（4）；如果所有的TMD參數(shù)計(jì)算完畢則進(jìn)入下一步。

（10）對(duì)各組TMD參數(shù)的結(jié)構(gòu)－TMD系統(tǒng)的響應(yīng)進(jìn)行分析比較，選取最佳TMD參數(shù)組。

3 算 例

某在建長(zhǎng)江公路大橋?yàn)橹骺?×1 080m三塔懸索橋，跨徑布置為360m＋1 080m＋1 080m＋360m＝2 880m，加勁梁采用閉口扁平鋼箱梁，梁高為3.5m，寬為38.5m，加勁梁設(shè)上下斜腹板構(gòu)成導(dǎo)風(fēng)嘴。索塔總高178.3m，兩主纜橫向間距為35.8m。橋塔采用混凝土澆筑。初始結(jié)構(gòu)的有限元模型如圖1所示，采用單主梁模型，主要構(gòu)件的截面特性見(jiàn)表1所列，模型中共有954個(gè)節(jié)點(diǎn)，1 359個(gè)單元。主要的模態(tài)信息見(jiàn)表2所列。

圖1 全橋有限元模型

表1 懸索橋主要構(gòu)件截面參數(shù)

表2 三塔懸索橋前50階主要振型

根據(jù)對(duì)該橋的前50階模態(tài)分析結(jié)果，設(shè)定頻率積分為0～0.55Hz，步長(zhǎng)為0.002Hz。橋梁耦合抖振分析結(jié)果如圖2、圖3所示。

從圖2、圖3可以看出，作為密頻結(jié)構(gòu)，在抖振力作用下前數(shù)階頻率模態(tài)對(duì)響應(yīng)譜有較大的貢獻(xiàn)，響應(yīng)譜峰值出現(xiàn)在第1階頻率為0.086 23Hz附近。同時(shí)作為三塔兩跨懸索橋豎向抖振位移的RMS相比于其他單跨懸索橋，其加勁梁的豎向響應(yīng)的曲線有所不同，其最大值發(fā)生的位置偏向中塔，加勁梁最大RMS值為0.826m。扭轉(zhuǎn)響應(yīng)譜的峰值出現(xiàn)在第9階頻率0.227 61Hz附近，最大扭轉(zhuǎn) RMS值為1.42°。

圖2 加勁梁豎向位移及扭轉(zhuǎn)位移響應(yīng)譜 圖3 加勁梁響應(yīng)RMS值

設(shè)定每跨抖振響應(yīng)振幅最大處設(shè)置一對(duì)TMD，如圖4所示，TMD頻率為0.08Hz，所有TMD距離截面中心的距離設(shè)定為15m。

設(shè)定uM分別為0.01、0.02、0.03，uω的取值范圍為 －0.3～0.3，步長(zhǎng)Δuω＝0.05，ξTMD分別取0.05、0.08、0.10、0.15、0.20，計(jì)算結(jié)果如圖5、圖6所示。

圖4 TMD布置示意圖

圖5 TMD豎向控制效率

圖6 TMD扭轉(zhuǎn)控制效率

4 結(jié)論

從算例可以看出，TMD能夠抑制橋梁的抖振響應(yīng)，但是抑制豎向振動(dòng)的效果有待提高。同時(shí)，TMD的參數(shù)對(duì)TMD抑制抖振響應(yīng)有著重要的影響，質(zhì)量越大的TMD其控制的效果越明顯。

當(dāng)TMD的頻率以豎向位移響應(yīng)峰值頻率為目標(biāo)值時(shí)，由于豎向響應(yīng)譜和扭轉(zhuǎn)響應(yīng)譜的峰值頻率相差較大，對(duì)扭轉(zhuǎn)抑制的效應(yīng)在設(shè)定頻率附近并無(wú)最優(yōu)的駐值點(diǎn)，但是當(dāng)TMD的阻尼比較大時(shí)，也能得到可觀控制效率，且在設(shè)定頻率附近阻尼比越大，則控制的效果越好。

當(dāng)TMD阻尼比較大時(shí)，TMD對(duì)豎向響應(yīng)的抑制效果較差，但是魯棒性較好；相反，當(dāng)TMD阻尼比較小時(shí)，TMD對(duì)豎向響應(yīng)的抑制效果較好，但是魯棒性較差。

［1］Hoang N，F(xiàn)ujino Y，Warnitchai P.Optimal tuned mass damper for seismic applications and practical design formulas［J］.Engineering Structures，2008，30（3）：707－715.

［2］Adam C，F(xiàn)urtmüller T.Seismic performance of tuned mass dampers［M］／／Mechanics and Model－Based Control of Smart Materials and Structures.New York：Springer，2010：11－18.

［3］Casciati F，Giuliano F.Performance of multi－TMD in the towers of suspension bridges［J］.Journal of Vibration and Control，2009，15（6）：821－847.

［4］Chen S R，Wu J.Performance enhancement of bridge infrastructure systems：long－span bridge，moving trucks and wind with tuned mass dampers［J］.Engineering Structures，2008，30（11）：3316－3324.

［5］Gu M，Chen S R，Chang C C.Parametric study on multiple tuned mass dampers for buffeting control of Yangpu Bridge［J］.Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics，2001，89（11／12）：987－1000.

［6］曾憲武，韓大建.多重雙頻率調(diào)諧質(zhì)量阻尼器制振性能及對(duì)橋梁抖振的控制［J］.工程力學(xué)，2006，23（1）：74－80.

［7］丁泉順，陳艾榮，項(xiàng)海帆.大跨度橋梁結(jié)構(gòu)耦合抖振響應(yīng)頻域分析［J］.土木工程學(xué)報(bào)，2003，36（4）：86－93.

［8］劉 高，王秀偉.基于虛擬激勵(lì)法的大跨橋梁抖振內(nèi)力分析［J］.計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，2003，20（6）：649－654.

［9］林家浩，張亞輝.隨機(jī)振動(dòng)的虛擬激勵(lì)法［M］.北京：科學(xué)出版社，2004：49－53.

［10］丁泉順，陳艾榮，項(xiàng)海帆.大跨度橋梁多模態(tài)耦合顫振的自動(dòng)分析［J］.土木工程學(xué)報(bào)，2002，35（4）：52－58.

［11］Scanlan R.The action of flexible bridges under wind，I：flutter theory［J］.Journal of Sound Vibration，1978，60：187－199.