共道干擾下多入多出系統(tǒng)功率分配最優(yōu)化問題

姚志強(qiáng) 王萬蕾 裴廷睿 彭 滔 盛孟剛

（1.湘潭大學(xué)信息工程學(xué)院，湖南 湘潭 411105；2.智能計算與信息處理教育部重點實驗室，湖南 湘潭 411105）

引 言

構(gòu)成多輸入多輸出（MIMO）信道的獨立傳輸鏈路在沒有共道干擾的通信中可以極大地提高網(wǎng)絡(luò)容量［1－2］，已 經(jīng) 是 無 線 局 域 網(wǎng) （WLAN）IEEE 802.11n［3］、無線城域網(wǎng)（WMAN）IEEE802.16e［4］，以及下一代移動通信網(wǎng)（如LTE）［5］的核心技術(shù)。而當(dāng)系統(tǒng)中存在共道干擾時，雖然會影響單條鏈路的信道容量，但如果對系統(tǒng)傳輸方案進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，卻可以利用同時傳輸鏈路數(shù)的增加，獲得更大的網(wǎng)絡(luò)容量［6－7］，比如多用戶 MIMO 系統(tǒng)、分布式 MIMO系統(tǒng)以及MIMO Ad hoc網(wǎng)絡(luò)［8］。根據(jù)MIMO共道干擾通信理論［6－10］，即使在存在共道干擾的情況下也能在一定條件下分離多個獨立的數(shù)據(jù)流，這樣就能使網(wǎng)絡(luò)具有多對節(jié)點同時通信的模式，增加數(shù)據(jù)交換節(jié)點的數(shù)量，進(jìn)一步提高網(wǎng)絡(luò)容量［6］。

Blum首先給出了共道干擾情況下MIMO信道模型和容量模型以及發(fā)射端工作在信道信息（CSI）未知狀態(tài)時 MIMO 系統(tǒng)的信道容量［9］。文獻(xiàn)［10－11］則分別給出了CSI已知情況和部分已知情況下系統(tǒng)的信道容量。怎樣確定有干擾情況下的MIMO鏈路的信道容量見文獻(xiàn)［12－13］.Y.Song提出觀點來解決兩個問題［13］：干擾如何影響MIMO系統(tǒng)？通過理論分析，哪種干擾環(huán)境更可取（或更不可?。课墨I(xiàn)［14－16］評估了估計信道和干擾對容量的影響，通過仿真研究了信道容量與天線數(shù)目變化的關(guān)系，文獻(xiàn)［17］給出了大量天線限制下的閉型解決方法，其中包括了干擾存在的情況。Blum證明在弱干擾情況下，平均分配功率可以使信道容量達(dá)到最大，而在強(qiáng)干擾情況下，使用單一發(fā)射天線可以使系統(tǒng)信道容量最大化［9］。文獻(xiàn)［18］－［25］在文獻(xiàn)［9］的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步討論了從最優(yōu)信號和天線選擇的角度來最大化互信息的方法，如獨立注水、迭代注水、平均分配功率、最小誤比特率功率分配、單流量方案、全局和迭代梯度投影算法等。

目前，研究工作正從單純的共道MIMO容量研究，轉(zhuǎn)為研究網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用中共道干擾下的系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計，如移動通信網(wǎng)中如何消除MIMO多用戶共道干擾、Ad hoc網(wǎng)絡(luò)中MIMO節(jié)點如何克服共道干擾以實現(xiàn)多對節(jié)點同時通信等問題。本文的目標(biāo)是通過對信道模型的分析和信道互信息最大化條件的歸類，總結(jié)在各種共道干擾情況下最大化MIMO系統(tǒng)容量的優(yōu)化方法，分析在不同共道環(huán)境下的優(yōu)缺點，為工作在共道環(huán)境下的MIMO系統(tǒng)最佳信號設(shè)計提供參考。同時，指出目前共道MIMO系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計存在的不足，提出這一領(lǐng)域進(jìn)一步的研究方向。

1 系統(tǒng)模型

式中：ρl表示用戶l信噪比；Hl，l表示用戶l發(fā)射天線與接收天線之間的信道矩陣；xl表示用戶l的輸入信號；ηl，j表示用戶j產(chǎn)生后由用戶l接收的干擾噪聲比；Hl，j表示用戶l接收天線與用戶j發(fā)射天線之間的信道矩陣；噪聲向量nl是獨立同分布的零均值和單位方差復(fù)高斯向量，其協(xié)方差矩陣為I.

為了簡單起見，假設(shè)所有的干擾信號xj，j＝1，…，L，j≠l對接收端是未知的，并把它們建模為高斯分布，這是MIMO問題中最常見的最佳信號的形式。歸一化xj使得干擾信號協(xié)方差矩陣Qj＝E｛｝滿足tr（Qj）＝1，j＝1，…，L.對于每個用戶在不知道準(zhǔn)確的干擾環(huán)境而選擇信號傳輸方案時，這種模型是非常適合的。

所要討論的L條鏈路共用同一個時間帶寬／頻率帶寬的情況，如圖1所示（L＝6），其中實心圓代表信源節(jié)點，空心圓代表目的節(jié)點，節(jié)點1、2、3分別向節(jié)點4、5、6發(fā)射數(shù)據(jù)，實線代表信號流，虛線代表干擾流。

圖1 六節(jié)點網(wǎng)絡(luò)模型

我們在帶反饋的平坦瑞利衰落信道下進(jìn)行研究，即每個信道矩陣由獨立同分布（IID）的復(fù)高斯隨機(jī)變量組成，具有零均值和單位方差，其實部和虛部符合N（0，1／2）分布；同時，考慮L個用戶的MIMO系統(tǒng)，系統(tǒng)中每個用戶有Nt個發(fā)射天線和Nr個接收天線，且每個用戶都收到來自其他L－1個用戶的共道干擾。L個用戶的發(fā)射端發(fā)送獨立數(shù)據(jù)，接收端利用單用戶檢測獨立解碼。

用戶l接收的（Nr×1）復(fù)基帶信號模型［10］為

假設(shè)發(fā)射端獲得了完美的信道狀態(tài)信息（CSI），對給定的H1，1，…，HL，L，通過最大化Il（Q1，…，QL）或I（Q1，…，QL）來最大化信道容量，同時獲得帶反饋（CSI已知）MIMO系統(tǒng)的最佳發(fā)射信號矩陣?；镜乃枷肴缦拢?/p>

根據(jù)凸優(yōu)化理論［26］，設(shè)ΦPSD1＝｛｜A是半正定的且tr（A）＝1｝是一個單位跡半正定矩陣的凸集合。構(gòu)造一個凸組合（Q1，…，QL），它由兩個可行集合（Z1，…，ZL）∈ΦPSD1和（X1，…，XL）∈ΦPSD1組成，其表達(dá)式為

根據(jù)這個模型，研究L個用戶系統(tǒng)的最優(yōu)信號設(shè)計問題，就變成了在給定的H1，1，…，HL，L下，尋找最佳的Q1，…，QL∈ΦPSD1最大化I（Q1，…，QL）.

這里，我們關(guān)注的是L個用戶系統(tǒng)性能I（Q1，…，QL），而不是單用戶性能Il（Q1，…，QL）.由式（4）得到，系統(tǒng)互信息I（Q1，…，QL）的特征取決于信噪比（RSN）（ρl，l＝1，…，L）和干擾噪聲比（RIN）（ηl，j，j＝1，…，L，l≠j），同時從凹凸函數(shù)判斷性質(zhì)可以得到，I（Q1，…，QL）的凹凸性取決于發(fā)射信號協(xié)方差矩陣Q1，…，QL關(guān)于t的二次導(dǎo)數(shù)。

文中用到的一些數(shù)學(xué)表述：（·）＊代表共軛；對矩陣A，AT表示轉(zhuǎn)置，A?表示共軛轉(zhuǎn)置，tr（A）代表矩陣的跡；對矩陣A＝［sij］有A＋＝［max（sij，0）］；I代表單位矩陣，O代表零矩陣。

2 最大化信道容量方法分析

由前面系統(tǒng)信號模型可知，系統(tǒng)互信息取決于信道RSN和RIN，所以根據(jù)RSN和RIN所占的比例，分析不同情況下噪聲和干擾對系統(tǒng)互信息的影響，并得出不同的解決方案。下面對RSN－RIN空間不同情況下所采用的決定發(fā)射信號協(xié)方差矩陣的數(shù)值方法進(jìn)行討論，并對其性能和復(fù)雜性進(jìn)行對比分析。

2.1 RIN和RSN都很小

假設(shè)干擾很小時，ηl，j→0，最大化互信息的最佳信號［10］為

式中：是一個Nt×Nt階且元素全為1的矩陣；0≤γl≤1，l＝1，…，L.在這種情況下，最佳方案隨RSN變化，當(dāng)RSN也極小，即ρl→0時，最佳解在γl＝0時出現(xiàn)，也就是說，最佳信號設(shè)計為全1矩陣在每根發(fā)射天線上的平均分配：

2.2 RIN＜＜RSN（RSN占支配地位）

2.3 RIN＞＞RSN（RIN占支配地位）

2.4 一般情況

2.4.1 迭代注水

當(dāng)干擾比較小時，采用迭代注水的思想實現(xiàn)納什均衡。文獻(xiàn)［18］采用迭代方法來決定最優(yōu)發(fā)射相關(guān)矩陣和接收轉(zhuǎn)換。在每一次迭代中，每個收發(fā)對在接收端測定干擾，同時優(yōu)化總發(fā)射功率下各自的容量。在下一次迭代中，接收端干擾是不同的，計算的傳輸相關(guān)矩陣更接近最優(yōu)值。這種方案使系統(tǒng)的發(fā)射功率最為合理的分配到各個子支路中，使得信道容量的增益取得最大值，但它同時需要用戶l發(fā)射端已知自身信道狀態(tài)信息Hl，l和干擾加噪聲協(xié)方差矩陣Rl.由于用戶持續(xù)迭代，增加了計算復(fù)雜度，且通過數(shù)值方法結(jié)果顯示，這個算法并不總是收斂。

文獻(xiàn)［19］致力于解決在向量輸入向量輸出的高斯多接入信道中尋找最佳發(fā)射協(xié)方差矩陣的問題，提出采用迭代注水算法來達(dá)到最佳信號方向與每條鏈路最佳功率分配的均衡。而文獻(xiàn)［20］在 MIMO高斯干擾信道下，提出了采用迭代注水算法最大化每條鏈路互信息的理論構(gòu)想，并且此算法對信道矩陣沒有做任何假設(shè)，因此，可以應(yīng)用到任意MIMO干擾系統(tǒng)中。

2.4.2 獨立注水

上面的情況下存在特例：當(dāng)干擾為0，即ηl，j＝0時，Rl＝I，采用獨立的注水方案可以得到最佳系統(tǒng)性能。系統(tǒng)中用戶根據(jù)自身信道狀態(tài)信息決定自身協(xié)方差矩陣，獨立的運用傳統(tǒng)注水［1］，得出最佳互信息。這種方案只需要知道用戶自身的信道狀態(tài)信息Hl，l，且復(fù)雜度很低。

2.4.3 梯度投影算法

一個用戶的協(xié)方差矩陣的變化會導(dǎo)致所有用戶互信息的改變，因此，為了得到系統(tǒng)容量，發(fā)射端在決定自身協(xié)方差矩陣時必須以特定方式合作，從而得到最大的自身互信息并對其他用戶產(chǎn)生最小的干擾?？梢圆捎枚喾N凸優(yōu)化的方法來尋找最優(yōu)發(fā)射協(xié)方差矩陣Ql，不同的方法可以得到不同的結(jié)果，得到的系統(tǒng)性能和復(fù)雜度也并不相同。如采用牛頓迭代法和最速下降法，可以得到最優(yōu)的發(fā)射協(xié)方差矩陣Ql，但它們具有大計算量、高復(fù)雜度、對矩陣運算要求高等缺陷。考慮到系統(tǒng)復(fù)雜性方面（包括矩陣變量和矩陣運算）的要求，目前采用的是凸約束問題中無約束最速下降法的一種擴(kuò)展算法——梯度投影（GP）算法［27］。用戶數(shù)目越大，我們通過梯度投影算法得到的改善越大。我們的目的是在Q1，…，QL∈ΦPSD1的情況下，最大化式（3）中的互信息I（Q1，…，QL）.在文獻(xiàn)［25］中，根據(jù)用戶更新協(xié)方差矩陣的方式，有全局梯度投影和迭代梯度投影兩種算法，下面進(jìn)行簡單介紹。

1）全局梯度投影

全局梯度投影的過程是：給定初始值Q1（0），…，QL（0），選擇合適的步長αk，根據(jù)下式（8）來對其進(jìn)行更新：

式中：Qi（k）是Q′i（k）在ΦPSD1上的投影，而

0＜αk≤1是步長，sk是一個標(biāo)量，αk和sk通過在可行方向上利用Armijo規(guī)則來決定，i＝1，…，L，▽QiI（Q1（k），…，QL（k））是互信息在Q1（k），…，QL（k）處的梯度。由于Qi（k＋1）是Qi（k）和）的凸組合，所以Qi（k＋1）總是屬于ΦPSD1.這個更新過程一直持續(xù)到其收斂到穩(wěn)定點，對任意Q∈ΦPSD1滿足〈▽I），Q－〉≤0.

這種方法的優(yōu)勢在于它算法簡單，在約束條件下得出最優(yōu)解的效率比較高，矩陣運算沒有那么復(fù)雜，但是它的復(fù)雜度比起迭代注水要高得多，且需要一個集中控制，這個集中控制掌握了所有信道狀態(tài)信息和全部用戶的協(xié)方差矩陣，并通過這些信息使得用戶更新他們的協(xié)方差矩陣。

2）迭代梯度投影

迭代梯度投影是基于全局梯度投影的，它是一個分布式算法，用戶通過迭代方法更新自身協(xié)方差矩陣。在每一次迭代過程中，當(dāng)其他用戶協(xié)方差矩陣還沒改變時，用戶l利用梯度投影方法來更新自身協(xié)方差矩陣Ql.

迭代梯度投影的過程是：選取初始值Q1（0），…，QL（0），選擇合適的步長αki，根據(jù)下式（10）來對其進(jìn)行更新：

式中，Qi（k）是Q′i（k）在ΦPSD1上的投影，而

0＜αki≤1是步長，ski是一個標(biāo)量，αki和ski通過在可行方向上利用Armijo規(guī)則來決定，i＝1，…，L.根據(jù)梯度投影算法的性質(zhì)，我們有I（Q（k＋1））≥I（Q（k））.由于I（Q）是上界，迭代梯度投影算法可以確保是收斂的，它總是收斂到一個穩(wěn)定點。

相比于全局梯度投影算法，迭代梯度投影算法的優(yōu)勢在于它不要求用戶即時更新，所以不需要集中控制。每個用戶只要知道必要信息，就可以自己更新自己的協(xié)方差矩陣。在這個意義上，此算法有點類似于納什均衡［1］中每個用戶獨立地最大化函數(shù)值。不同的是，這個算法中每個用戶最大化系統(tǒng)互信息，而納什均衡中每個用戶最大化自身互信息。此算法與全局梯度投影算法一樣，每個用戶需要知道所有信道狀態(tài)信息和全部用戶的協(xié)方差矩陣，且復(fù)雜度也比較高。

2.4.4 主要方案性能對比

根據(jù)文獻(xiàn)［25］中的性能仿真，可以得到目前常用的獨立注水、納什均衡和迭代梯度投影算法（包括迭代梯度投影和全局梯度投影）的遍歷互信息對比，其中迭代梯度投影算法和全局梯度投影算法的性能基本一致，在這里統(tǒng)稱為GP（梯度投影）算法。對于2×2MIMO系統(tǒng)，用戶L＝2，信噪比RSN為0dB和10dB時的性能如圖2所示。

圖2顯示，獨立注水性能是最差的，而梯度投影算法能給出最佳性能。當(dāng)RIN很小時，GP算法可以獲得最佳性能，而獨立注水和納什均衡的仿真結(jié)果也非常接近最佳性能；在干擾噪聲都比較大的時候，納什均衡很明顯地超越了獨立注水算法，而GP算法相對納什均衡有所改善。

本文根據(jù)RIN和RSN所占比例，對不同情況下使用的不同方案進(jìn)行了簡要介紹，表1從復(fù)雜度、發(fā)射端用戶l需求信息、收斂性、協(xié)作、集中控制、最佳條件幾個方面對各個方案進(jìn)行了對比。

表1 方案對比

3 存在的問題

綜合目前的研究成果來看，共道干擾MIMO系統(tǒng)最優(yōu)信號設(shè)計的研究還存在以下不足：

1）最優(yōu)解問題

在存在共道干擾下的MIMO系統(tǒng)中，最優(yōu)性問題求解在于怎樣在給定條件下得到最大信道互信息，可以簡單表示為

如果僅考慮空間（時不變）功率調(diào)度，每條鏈路的信源協(xié)方差矩陣僅優(yōu)化自身互信息，這種非協(xié)作特性必定導(dǎo)致類似納什均衡［28］的次優(yōu)解。目前，梯度投影算法［24－25］應(yīng)用于考慮空間和時間結(jié)合的功率調(diào)度時，提供了更高的容量，但這個方案具有非凸性，也只能保證局部最優(yōu)解。

2）網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

大部分文獻(xiàn)考慮的是一個對稱網(wǎng)絡(luò)，并未考慮非對稱網(wǎng)絡(luò)情況下的空時功率調(diào)度問題。對稱網(wǎng)絡(luò)中，對于遍歷容量不會出現(xiàn)公平性問題，而一旦是非對稱的網(wǎng)絡(luò)，公平性問題隨之產(chǎn)生，代價函數(shù)也會改變。在圖3［29］中給出一個非對稱網(wǎng)絡(luò)示例，其中五個節(jié)點均勻?qū)R成一條直線，形成了一個到達(dá)共同接入點AP的傳遞鏈。在給定的時間／頻率帶寬R、3R、5R內(nèi)，實線箭頭所示的三條鏈路可以進(jìn)行功率調(diào)度。由于沒有能在同一時間／頻率帶寬發(fā)射和接收的節(jié)點，虛線箭頭所示的兩條鏈路不得不在另一個不同的時間／頻率帶寬內(nèi)進(jìn)行調(diào)度。文獻(xiàn)［29］對此進(jìn)行了詳細(xì)分析。到目前為止，對于非對稱網(wǎng)絡(luò)的通用準(zhǔn)則是“成比例公平”，形式為鏈路容量的對數(shù)和。

圖3 非對稱網(wǎng)絡(luò)示例

3）信息需求問題

當(dāng)僅考慮空間功率調(diào)度時，所需要的是信道矩陣和發(fā)射協(xié)方差矩陣的完整信息，這在實際中非常困難；而在僅考慮干擾特別強(qiáng)（凸函數(shù)）和特別弱（凹函數(shù)）兩種情況時，每條鏈路需要假設(shè)一個時不變發(fā)射協(xié)方差矩陣。近年來，部分學(xué)者在帶反饋的MIMO干擾系統(tǒng)下設(shè)計最優(yōu)信號方案［11］，或在接收端根據(jù)反饋所得的信道狀態(tài)信息和函數(shù)凹凸性以及相關(guān)矩陣運算，得到最佳功率調(diào)度方案［23，25］。目前，在發(fā)射端未知瞬時信道狀態(tài)信息時，已有研究者對分布式MIMO鏈路設(shè)計了空時功率調(diào)度方

案［24］。

4 結(jié) 論

本文系統(tǒng)分析了不同的RIN（干擾噪聲比）和RSN（信噪比）情況下系統(tǒng)所采用的解決方案，當(dāng)干擾極小時，系統(tǒng)采用等功率分配來獲得最佳性能；當(dāng)干擾極大時，系統(tǒng)采用單流量方案可以得到最佳性能；而在存在干擾的一般情況下，相比于注水方案和納什均衡方案，全局梯度投影算法和迭代梯度投影算法可以得到最佳系統(tǒng)性能。在分析的過程中，發(fā)現(xiàn)了第3節(jié)中所存在的最優(yōu)解問題、網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)問題以及信息需求問題，根據(jù)這些問題，下一步的研究工作可從以下幾個方面開展：

1）深入分析共道干擾下MIMO系統(tǒng)容量的凹凸性問題，找出解決非凸問題的最佳辦法，如尋找一個分布式算法，它具有更小的復(fù)雜性且需要的信息比迭代梯度投影方法更少，同時它能比納什均衡提供更好的性能。目前，已有研究者在MIMO Ad hoc網(wǎng)絡(luò)中提出基于博弈論的理論方法，它相較于注水與梯度投影可以提供更高的能量效率和系統(tǒng)容量。

2）減少搜尋算法的復(fù)雜性，利用一些統(tǒng)計量來代替瞬時值，解決最佳功率調(diào)度的最佳性問題。

3）考慮空間相關(guān)性及其自由度，利用天線選擇相關(guān)技術(shù)得到MIMO系統(tǒng)最佳性能，尋找更好的天線選擇方案，從而最大化MIMO系統(tǒng)容量。

4）基于本文中對稱網(wǎng)絡(luò)下共道干擾MIMO系統(tǒng)的相關(guān)研究，考慮非對稱網(wǎng)絡(luò)，尋找更好的方法來解決公平問題。

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