低冗余度多輸入多輸出雷達陣列結構設計

王 偉 馬躍華 王咸鵬

（哈爾濱工程大學自動化學院，黑龍江 哈爾濱 150001）

引 言

多輸入多輸出（MIMO）雷達作為一種新型的雷達體制，已經(jīng)成為人們研究的熱點［1－3］。MIMO雷達在發(fā)射端發(fā)射相互正交的波形，再在接收端通過一組匹配濾波器將其分離，可以形成一個虛擬陣列［4］。虛擬陣列技術給 MIMO雷達帶來了諸多優(yōu)勢，如更高的空間分辨率［5］、增強的抗干擾能力［6］、更多的可分辨目標數(shù)目［7］，以及更靈活的波束方向圖設計［8－9］等。但同時，為了得到虛擬陣列所必需的正交波形發(fā)射以及接收端的匹配濾波器組等條件，都增加了MIMO雷達的成本。如何利用有限的發(fā)射陣元和接收陣元產(chǎn)生最優(yōu)的虛擬陣列是提高MIMO雷達性能和節(jié)約系統(tǒng)成本的關鍵。

早期的MIMO雷達文獻多采用均勻線陣，陸珉等［10］提出了一系列準則來設計發(fā)射和接收陣列使得MIMO雷達虛擬陣列為均勻線陣，以方便利用傳統(tǒng)的方法進行波達方向（DOA）估計。不過由于非均勻線陣在空間分辨率等方面的優(yōu)勢，近年來非均勻線陣在MIMO雷達中的應用正受到越來越多的關注。Bliss等［5，11］首先提出采用非均勻陣列可以大大擴展虛擬陣列的孔徑，并給出了一種發(fā)射／接收陣列配置方法，以得到具有最長連續(xù)子陣的虛擬陣列。Chen等［12］將最小冗余的概念引入到 MIMO雷達中，并采用窮盡搜索算法尋求發(fā)射／接收陣列結構以形成最小冗余的虛擬陣列。張娟等［13］考慮收發(fā)同陣的情況下，利用最小實際物理陣元數(shù)形成最大孔徑的低冗余虛擬陣列。以上幾種MIMO雷達陣列結構設計方法［11－13］都是采用窮盡搜索算法以尋求最優(yōu)的發(fā)射和接收陣列結構，這種算法運算量非常大，只適合陣元數(shù)較少的情況。董健等［14］提出一種基于差集和循環(huán)差集組合的MIMO雷達陣列結構設計方法來形成最小冗余虛擬陣列，這種方法雖然避免了陣元位置選擇時的復雜運算，但當總的陣元數(shù)較大時，不同的發(fā)射陣元數(shù)和接收陣元數(shù)組合增多，如何在其中尋找使虛擬陣列孔徑最大的組合值得研究。

本文提出一種新的陣列結構設計方法，該方法利用最小冗余陣組合來設計發(fā)射和接收陣列結構，使得MIMO雷達虛擬陣列為最小冗余陣，由于最小冗余陣已經(jīng)得到廣泛應用和深入研究［15］，所以利用這些已有的最小冗余陣進行組合來設計MIMO雷達陣列避免了復雜的陣元位置選擇過程，易于工程實現(xiàn)，可以用于大陣元數(shù)的MIMO雷達陣列結構設計；另外在此基礎上，本文還分析了在總的物理陣元數(shù)給定的情況下，如何分配發(fā)射陣元數(shù)和接收陣元數(shù)可以使虛擬陣列具有最大的孔徑，使得本文所提方法更加簡單實用。

1 最小冗余虛擬陣列模型

考慮MIMO雷達工作在窄帶遠場條件下，發(fā)射陣列和接收陣列位于同一直線。M個發(fā)射陣元位置關于半波長的歸一化坐標表示為｛uT，m｝，m＝1，2，…，M；N個接收陣元位置關于半波長的歸一化坐標為｛uR，n｝，n＝1，2，…，N。M個發(fā)射波形為φ（t）＝［φ1（t），…，φM（t）］T，發(fā) 射 波 形 滿 足 正 交 條件，即

式中：T0為雷達脈沖寬度；IM表示M×M的單位陣；（·）T和（·）H分別表示矩陣轉置和共軛轉置。

假設遠場點目標方位為θ，則N個接收陣元接收到的目標響應可表示為

式中：α（θ）＝［exp（juT，1πsinθ），…，exp（juT，Mπsinθ）］和b（θ）＝［exp（juR，1πsinθ），…，exp（juR，Nπsinθ）］為相應的發(fā)射和接收導引矢量。

對每個接收陣元的接收信號關于M個發(fā)射波形進行匹配濾波，分離出來的信號的總數(shù)為NM。第n個接收陣元處對第m個信號的匹配濾波結果為

NM個分離出來的信號可以看作是一個等效陣列的接收信號，這個等效陣列的陣元坐標可以表示為

NM元的陣列就是MIMO雷達的虛擬陣列，而實際使用的實際物理陣元數(shù)只有M＋N個，這大大增加了MIMO雷達的自由度，給MIMO雷達帶來了更高的角度分辨率和更好的性能。

為了使MIMO雷達的虛擬陣列為最小冗余陣，根據(jù)最小冗余陣的定義，需要有

式中：k，k′＝1，2，…，NM；m，m′＝1，2，…，M；n，n′＝1，2，…，N；L為最小冗余陣的最大孔徑。

MIMO雷達陣列設計問題可以描述為如何利用有限的物理陣元來產(chǎn)生具有最大孔徑的最小冗余虛擬陣列，如式（6）所示

式中：｜｛·｝｜表示集合的勢；c是總的物理陣元數(shù)。

這是一個關于點集的優(yōu)化問題。當陣元數(shù)較少時可以采用窮盡搜索算法進行求解，但是隨著陣元數(shù)的增加，搜索空間急劇增加，運算量增大，使得這種算法不適用于陣元數(shù)較大的情況。本文使用最小冗余陣組合的方法給出這個優(yōu)化問題的一種最優(yōu)解形式。

2 陣列結構設計

優(yōu)化問題（6）中的第二個約束條件可以變換為

在此，令接收陣列為最小冗余陣，根據(jù)最小冗余陣定義有

式中：LR為此最小冗余接收陣列的最大孔徑。

在此條件下，式（7）中的第二項｛（uR，n－uR，n′）｝包含所有［－LR，LR］之間的整數(shù)?？梢酝ㄟ^設計式（7）中的第一項使得其中不同元素與第二項的和無冗余，并且同時滿足兩項和包含［－L，L］之間的所有整數(shù)。設第一項中任意兩個相鄰元素為vk，vk＋1，vk＋1＞vk，則它們應該滿足如下條件

可得，vk＋1－vk＝2LR＋1，所以第一項集合可以表示為

可見，此發(fā)射陣列為間距擴展了2LR＋1倍的最小冗余陣，其中LT為發(fā)射最小冗余陣的最大孔徑。所以可以得出這樣的結論：令MIMO雷達接收陣列為最小冗余陣，發(fā)射陣列為間距擴展2LR＋1倍的最小冗余陣，所得虛擬陣列也為最小冗余陣，最大孔徑長度為（2LR＋1）＊LT＋LR.

討論在給定總的陣元數(shù)的情況下如何配置發(fā)射陣元數(shù)和接收陣元數(shù)以使最小冗余虛擬陣列孔徑最大。

根據(jù)最小冗余陣性質，可知LR≤N（N－1）／2，LT≤M（M－1）／2，取LR和LT的極大值做近似，則最小冗余虛擬陣列的最大孔徑長度可以表示為

將c＝M＋N帶入式（11），則有

這是一個關于N的一元四次方程，通過數(shù)學分析可知極大值出現(xiàn)在N＝c／2附近。所以，在給定總的陣元數(shù)的情況下，為了得到最大孔徑的最小冗余虛擬陣列，發(fā)射陣元數(shù)目和接收陣元數(shù)目應盡量接近，具體可按下式分配：

式中i為自然數(shù)。

為了得到最小冗余的虛擬陣列，MIMO雷達陣列結構設計具體步驟可以總結如下：

首先，在給定總的物理陣元數(shù)c情況下，根據(jù)式（13）確定接收陣元數(shù)N與發(fā)射陣元數(shù)M；然后令N元接收陣列為最小冗余陣，M元發(fā)射陣列為間距擴展了2LR＋1倍的最小冗余陣，最后，得到的MIMO雷達虛擬陣列即為最小冗余陣。

從上述MIMO雷達陣列結構設計過程可以看出，本文所提陣列設計方法是在已有的最小冗余陣的基礎上通過簡單的變換組合來實現(xiàn)虛擬陣列的低冗余度，該方法簡單易于工程實現(xiàn)，可以用于大陣元數(shù)的MIMO雷達系統(tǒng)，同時具有很高的陣元利用率。

3 實驗仿真

為了分析本文設計的陣列結構的性能，并與文獻［14］中設計的陣列比較，對兩種陣列結構下 MIMO雷達的波束方向圖進行了仿真。仿真時，MIMO雷達總的陣元數(shù)為8，利用本文提出的陣列結構設計方法，發(fā)射陣元數(shù)和接收陣元數(shù)都取為4，接收陣列取為最小冗余陣，關于半波長歸一化的坐標為｛uR，n｝＝ ｛0，1，4，6｝，發(fā)射陣列為間距擴展了（2＊6＋1）倍的最小冗余陣，關于半波長歸一化的坐標為｛uT，m｝＝13＊｛0，1，4，6｝＝ ｛0，13，52，78｝.文獻［14］中提出的一種陣列結構的發(fā)射陣元和接收陣元關于半波長歸一化的坐標可以分別表示為｛uT，m｝＝｛0，21，36｝，｛uR，n｝＝｛0，3，4，9，11｝.各發(fā)射陣元發(fā)射相互正交的信號，并在接收端進行匹配濾波分離出來。期望的遠場點目標方向為0°，信噪比為－5dB.采用最小方差無失真（MVDR）波束形成器。由于主要關心的是主波束寬度和最高旁瓣水平，所以圖1只給出了兩種陣列結構下MIMO雷達在（－20°，20°）之間的波束方向圖。

從圖1可以看出，在給出的兩種陣列結構中，本文設計陣列結構下的MIMO雷達具有更窄的主波束寬度，但兩者相差不大；另外可以看出，兩個波束方向圖的第一旁瓣電平也幾乎一樣。從波束方向圖可以直觀的看出，采用本文所提方法設計的陣列結構和文獻［14］中設計的陣列結構的MIMO雷達系統(tǒng)具有幾乎相同的性能。

表1給出了不同物理陣元數(shù)情況下，采用兩種不同的陣列結構設計方法可以得到的MIMO雷達虛擬陣列的最大孔徑，并比較了波束方向圖－3dB主波束寬度。

圖1 兩種陣列結構下MIMO雷達的波束方向圖

表1 不同陣元數(shù)的陣列孔徑和主波束寬度

從表1可以看出，當總的陣元數(shù)小于等于8時，本文所提方法與文獻［14］中的方法可以得到完全相同的虛擬陣列孔徑以及主波束寬度；當物理陣元數(shù)大于8時，本文所提方法得到的虛擬陣列的孔徑略小于文獻［14］中的方法，這是因為不存在陣元數(shù)大于5的最優(yōu)最小冗余陣，也就是說當總的陣元數(shù)大于8時，發(fā)射陣列或者接收陣列會出現(xiàn)一定程度的冗余，減小了陣列孔徑。不過，由于孔徑長度變化不大，所以對于空間分辨率影響并不大。從表1還可以看出，當總的陣元數(shù)為9時，主波束寬度變化僅為0.03°；當總的陣元數(shù)為10時，主波束寬度相差為0.02°.所以整體而言，兩種陣列結構設計方法都可以使MIMO雷達具有很高的空間分辨率，不過由于本文所采用的是在工程中廣泛應用的最小冗余陣進行組合，所以本文提出的陣列結構設計方法易于工程實現(xiàn)。

表2以總的陣元數(shù)等于8為例，分析了不同發(fā)射陣元數(shù)目與接收陣元數(shù)目的配置對MIMO雷達虛擬陣列孔徑的影響。

從表2可以看出當接收陣元數(shù)和發(fā)射陣元數(shù)都為4時，虛擬陣列孔徑最大，這驗證了前面提到的設計準則，即在設計MIMO雷達陣列時應盡量使發(fā)射陣元數(shù)目與接收陣元數(shù)目相同，這樣可以獲得最大孔徑的虛擬陣列，從而進一步提高陣元的利用率。這一準則也使得本文提出的陣列結構設計方法具有重要的實用意義，因為設計系統(tǒng)時需要考慮的一個重要因素是成本問題，在成本一定的情況下，所能獲得的總的發(fā)射陣元和接收陣元（包括相應的發(fā)射機和接收機）的數(shù)目也就確定了，這一準則可以使MIMO雷達利用有限的成本獲得最大的虛擬陣列孔徑和最高的空間分辨率。

表2 不同發(fā)射和接收陣元數(shù)配置時的陣列孔徑

4 結 論

本文提出了一種基于最小冗余陣組合的MIMO雷達陣列結構設計方法，可以使MIMO雷達虛擬陣列為最小冗余陣。另外，研究了在給定陣元數(shù)的情況下，如何分配發(fā)射陣元數(shù)和接收陣元數(shù)使MIMO雷達虛擬陣列孔徑最大。本文提出的方法避免了復雜的陣元位置搜索過程，簡單易于實現(xiàn)，陣元利用率高，可以用于大陣元數(shù)的MIMO雷達系統(tǒng)，具有重要的實用意義。

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