帶有期望補償的自適應魯棒控制律設計及比較分析?

陶瑞超,楊亞非

(哈爾濱工業(yè)大學控制與仿真中心,黑龍江哈爾濱 150080)

隨著計算機技術的不斷發(fā)展,國內外學者對伺服系統(tǒng)控制算法進行了大量的研究,使得伺服系統(tǒng)的控制性能得到了很大的提高.傳統(tǒng)的控制算法PID控制適用于可建立精確數學模型的確定性系統(tǒng),通過對誤差輸入信號進行比例、積分、微分運算合成控制輸出[1],由于其結構簡單易于實現,成為應用范圍最為廣泛、應用時間最長的控制算法,但是對含有不確定性的非線性系統(tǒng)難以進行有效控制.自適應魯棒控制[2-4]既具有自適應控制的學習能力和高精度的穩(wěn)態(tài)輸出,又具有魯棒控制對于未建模動態(tài)和擾動的魯棒性以及優(yōu)越的暫態(tài)性能,能夠滿足伺服系統(tǒng)高精度的跟蹤要求.傳統(tǒng)的自適應魯棒控制回歸量在模型補償中和參數自適應律中都是直接根據狀態(tài)變量計算的,其自適應環(huán)節(jié)的性能在實際應用中可能會受到測量噪聲的影響.本文以傳統(tǒng)自適應魯棒控制為基礎,給出了帶有期望補償的自適應魯棒控制方法,并對控制性能進行比較分析.

1 建立被控對象模型

伺服系統(tǒng)的執(zhí)行機構為電機,在電機模型的推導過程中,由于電氣響應很快,電流的動態(tài)特性與機械的動態(tài)特性相比是可以忽略的.電機的數學模型表達為[5]

式中:Y代表慣性負載的位置;M為慣性負載的轉動慣量;u為電機的輸入電壓;F為所有不確定非線性如摩擦力矩Ff,波動力矩Fr和外部擾動Fd的總和.根據對多種經典摩擦模型的分析,簡便并且恰當的方法是認為摩擦力矩是速度的靜態(tài)非線性函數,設為Ff(﹒y),其形式為

式中:B是系統(tǒng)的等價粘滯摩擦系數;Ffn是非線性摩擦項,其模型為[6]

式中:fs是最大靜摩擦值;fc是最小庫倫摩擦值;﹒ys和ξ是用來描述 Stribeck效應的經驗參數.由于系統(tǒng)中其他組成部分造成的誤差,摩擦力矩還與角位置y有關,將這部分摩擦力矩歸于外部擾動Fd.

由摩擦模型的函數式(3)可知,該模型在速度為零時是不連續(xù)的,因此不能采用該模型作為摩擦補償的模型,因為電機無法輸出不連續(xù)的力矩.為避免上述問題,利用一個簡單連續(xù)的摩擦模型來近似實際的不連續(xù)摩擦模型,選取摩擦模型的近似模型為

式中:Af未知;Sf(x2)為連續(xù)函數,將近似摩擦模型的誤差歸為系統(tǒng)的總擾動d,d=ˉFfn-Ffn+Fd.

將摩擦模型的近似模型式(4)代入電機模型式(1),得到被控對象模型為

式中:x=[x1,x2]T代表被控對象的位置和速度的狀態(tài)向量;y是位置輸出,=d-dn,dn代表系統(tǒng)總擾動力矩d的標稱值.

取xd(t)為期望輸出軌跡,跟蹤誤差表示為z=x-xd(t),控制的目的是設計有界的控制律u使跟蹤誤差z(t)盡可能小.

2 帶有期望補償的自適應魯棒控制

定義期望回歸量 φd(t)=φ(xd(t)),回歸量誤差 ~φ=φ(x)-φd,用期望回歸量 φd(t)替代被控對象模型式(6)中的 φ(t).選取自適應律形式為[7]

性質1:該映射具有如下性質

因此,帶有期望補償的自適應魯棒控制控制律表示為

綜上,將期望補償自適應魯棒控制律式(11)代入系統(tǒng)模型式(6)中可得

由中值定理可得

式中:gf(x2,t)是確定的_非線性函數.設計ks1為足夠大的正數,使得矩陣

是正定的.由式(13)可以得出,如果要使矩陣A≥0,則當且僅當ks1滿足

結論:若采用帶有期望補償的自適應魯棒控制律式(12)和基于非光滑投影的參數自適應律式(8),則:①當系統(tǒng)存在非線性不確定性時,系統(tǒng)輸出漸進趨近于常數;②若系統(tǒng)只存在參數不確定性,穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差為零,并且當滿足持續(xù)激勵條件時,參數估計值趨近于它們的真值,并且由于期望補償自適應魯棒控制的自適應函數關于反饋信號是線性的(與z有關),該積分型自適應律可以使參數估計^θ和模型補償ua都對于測量噪音不敏感.

選取期望軌跡為正弦曲線xd=sint,采用期望自適應魯棒控制律進行補償,得到仿真結果如圖1.

圖1 帶有期望補償的自適應魯棒控制跟蹤誤差曲線Fig.1 Tracking error of DCARC control law

由仿真曲線可以看到:帶有期望補償的自適應魯棒控制的跟蹤誤差趨近于一個非常小的常數,并且跟蹤性能的動態(tài)響應快速.

3 控制性能對比

采用PID控制反饋補償時,被控對象模型式(1)改寫成

在對象模型中,利用已知的變量y(t),﹒y(t),yd(t),﹒yd(t),¨yd(t)設計系統(tǒng)控制輸入為

將式(16)代入式(1)中可以得到系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為

通過閉環(huán)函數極點配置可以計算出Kp,Ki,Kd的值.在仿真驗證時,由于參數 θ1,θ2,θ3是未知的,所以初始估計值(0),(0),(0)代替為

同樣選取期望軌跡為正弦曲線xd=sint,采用期望自適應魯棒控制律進行補償,得到的仿真結果如圖2所示.

圖2 PID控制跟蹤誤差曲線Fig.2 Tracking error of PID control law

由圖2可以看到:系統(tǒng)誤差存在衰減振蕩過程,并且最終的輸出誤差存在一定穩(wěn)態(tài)誤差.帶有期望補償的自適應魯棒控制性能與PID控制相比,跟蹤誤差更小,并且具有良好的參數估計效果.

4 結 論

本文采用帶有期望補償自適應魯棒控制方法實現對伺服系統(tǒng)的控制,通過采用Matlab/Simulink進行仿真驗證.由仿真得到的跟蹤誤差曲線可見,帶有期望補償的自適應魯棒控制方法能夠滿足高精度跟蹤的性能要求.與傳統(tǒng)PID控制進行對比,通過仿真結果可以看到:帶有期望補償的自適應魯棒控制性能可以得到更高精度的伺服跟蹤效果.

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