Mathcad在弦振動(dòng)大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用

趙旺，周薇薇，陳永紅（淮南師范學(xué)院物理與電子信息系，安徽淮南 232038）

Mathcad在弦振動(dòng)大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用

趙旺，周薇薇，陳永紅
（淮南師范學(xué)院物理與電子信息系，安徽淮南 232038）

以弦振動(dòng)特性的研究為例，闡述Mathcad軟件在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用。Mathcad可以對駐波運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行形象直觀的仿真模擬，還可以對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行方便快捷的分析處理，從而極大地豐富教學(xué)手段，有效地提升教學(xué)質(zhì)量。

Mathcad；駐波；仿真模擬；數(shù)據(jù)處理

1 引言

Mathcad是美國PTC公司旗下的一款交互式的數(shù)值計(jì)算系統(tǒng)，集文本編輯、數(shù)學(xué)計(jì)算、程序編輯和仿真于一體，可廣泛應(yīng)用于代數(shù)運(yùn)算、微積分、矩陣運(yùn)算、符號計(jì)算、變量與單位的定義和計(jì)算、圖形處理和程序編寫等[1]。它的主要特點(diǎn)包括可以在工作區(qū)任意位置輸入，且輸入格式與人們習(xí)慣的數(shù)學(xué)書寫格式非常接近，因而形象、直觀便于閱讀；采用動(dòng)態(tài)的所見即所得（WYSWYG）界面，調(diào)整任何參數(shù)，相應(yīng)的結(jié)果也自動(dòng)發(fā)生改變。Mathcad可以看作是一個(gè)功能強(qiáng)大的計(jì)算器，還可以與Microsoft Office、AutoCAD、MatLab等軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)交換與整合。它沒有復(fù)雜的規(guī)則，運(yùn)行并不要求具備較多的計(jì)算機(jī)知識，因此，特別適合教師、學(xué)生、工程人員等用戶使用。

在自然界中，振動(dòng)現(xiàn)象是廣泛存在的。而弦振動(dòng)特性的研究一直以來是高等學(xué)校大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的傳統(tǒng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)之一，通過該實(shí)驗(yàn)的開設(shè)，學(xué)生對波的形成、傳播和干涉能夠產(chǎn)生更加直觀、深刻的認(rèn)識。但在實(shí)驗(yàn)的開展過程中，存在以下問題：在抽象的實(shí)驗(yàn)原理與具體的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象之間不容易建立聯(lián)系，給教師授課和學(xué)生理解帶來了困難；實(shí)驗(yàn)后期數(shù)據(jù)較多，且處理比較繁瑣，需要計(jì)算、作圖等多個(gè)步驟。實(shí)踐表明，充分利用一些數(shù)學(xué)軟件則可以緩解這種狀況[2,3]。本文以Mathcad 14.0版本為例，介紹其對弦振動(dòng)現(xiàn)象的仿真模擬以及對數(shù)據(jù)的最小二乘法分析和圖像表達(dá)的典型應(yīng)用方法。

2 實(shí)驗(yàn)原理及內(nèi)容

依據(jù)激勵(lì)裝置的不同，弦振動(dòng)的實(shí)驗(yàn)可通過兩種方式實(shí)現(xiàn)：一是通過振動(dòng)音叉驅(qū)動(dòng)[4]；二是使用固定均勻弦振動(dòng)儀[3]。后者是利用在兩端固定并載有交流電流的金屬弦線在磁場中受到安培力作用振動(dòng)并產(chǎn)生共振而形成駐波，是傳統(tǒng)的電振音叉的升級換代產(chǎn)品，具有無噪聲、無污染的特點(diǎn)，并且通過函數(shù)信號發(fā)生器可以方便地調(diào)節(jié)頻率，上述兩點(diǎn)都是后者優(yōu)于前者之處。

二者的實(shí)驗(yàn)原理基本相同。以前者為例，如圖1所示，將細(xì)弦線的一端固定在電振音叉上，另一端繞過滑輪掛上砝碼。音叉振動(dòng)強(qiáng)迫弦線振動(dòng)（弦振動(dòng)頻率和音叉的頻率γ相等），形成一列向滑輪端前進(jìn)的橫波，稱為入射波。入射波在滑輪處反射后形成沿相反方向傳播的反射波。這樣入射波與反射波在同一弦線上相互干涉，適當(dāng)調(diào)節(jié)砝碼重量或弦長（音叉端到滑輪軸間的線長），弦線上的波就能形成駐波。這時(shí)，可以看到弦線上的波就被分成了幾段，每段波兩端始終靜止不動(dòng)的點(diǎn)稱為波節(jié)，而中間振幅最大的點(diǎn)稱為波腹。

圖1 弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

由于弦線的兩端點(diǎn)是固定靜止不動(dòng)的,故兩端點(diǎn)必為波節(jié)。這里設(shè)入射波為正弦波，沿x軸正方向傳播，則入射波和反射波可分別表示為：

式中A為簡諧波的振幅，T為周期，λ為波長，x為弦線上質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)位置。

兩波疊加后的合成波為駐波，其方程為：

這樣相鄰的波節(jié)（或波腹）間的距離都是半個(gè)波長。相鄰兩個(gè)波節(jié)構(gòu)成一個(gè)半波區(qū)，若此時(shí)弦上有n個(gè)半波區(qū)，則波長λ=2l/n，因此，弦上的波速v可表示為：

將（3）代入（4）式，可以得出弦振動(dòng)規(guī)律：

綜合上述討論，弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容主要包括兩點(diǎn)[4]：一是定性觀察弦振動(dòng)時(shí)形成的駐波；二是定量驗(yàn)證弦振動(dòng)的波長λ與張力T的關(guān)系。

3 Mathcad對駐波運(yùn)動(dòng)的模擬

通過使用Mathcad可以方便的對駐波的形成和運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行模擬，這樣在抽象的物理公式和實(shí)際的觀測現(xiàn)象之間建立聯(lián)系，從而達(dá)到增強(qiáng)學(xué)生對駐波的理解的目的。

由于式（1）中入射波和反射波表達(dá)式是一種通式，為了操作方便，我們做了對（1）式做了如下變形，令X=x/λ，Y=y/A，則：

下面我們對某一時(shí)刻進(jìn)行模擬。以t/T= 1/8時(shí)刻為例，運(yùn)行Mathcad，菜單欄插入→圖表→X-Y繪圖，在出現(xiàn)的繪圖區(qū)域的x軸占位符處輸入“X”,在y軸占位符處輸入“sin[2π(X-1/8)],sin [2π(X+1/8)],sin[2π(X-1/8)]+sin[2π(X+1/8)]”。這樣，Mathcad就可以快捷地繪制出入射波Y1=sin [2π(X-1/8)]，反射波Y2=sin[2π(X+1/8)]和合成駐波Y=sin[2π(X-1/8)]+sin[2π(X+1/8)]的圖像。在繪圖區(qū)域右鍵→格式，可以很方便地對X-Y軸、軌跡、數(shù)字格式和標(biāo)簽等圖像屬性進(jìn)行編輯；右鍵→追蹤，則可以查看圖像上任意一點(diǎn)所對應(yīng)的坐標(biāo)值。t/T=1/8時(shí)刻所得波形圖如圖2所示，其中，虛線分別表示入射波和反射波，實(shí)線則代表合成的駐波。

圖2 t/T=1/8時(shí)刻，入射波、反射波和合成駐波的波形圖

同理，我們可以繪制出任意時(shí)刻合成駐波的波形圖。另外，我們可以利用Mathcad中的內(nèi)置變量FRAME，設(shè)計(jì)創(chuàng)建圖示動(dòng)畫[5]，從而動(dòng)態(tài)地表達(dá)駐波隨時(shí)間的波形變化。圖3選取了幾個(gè)典型時(shí)刻（t/T=0,1/8,1/4,3/8,1/2）的合成駐波的圖像。由圖3可以總結(jié)出駐波運(yùn)動(dòng)規(guī)律：駐波可以分為幾個(gè)分段；同一分段中的各質(zhì)點(diǎn)作振幅不同、相位相同的運(yùn)動(dòng)，中間的點(diǎn)振幅最大，越靠近兩端，振幅越小，兩端的點(diǎn)則始終保持靜止不動(dòng)；相鄰分段上的各點(diǎn)，振動(dòng)相位相反。波節(jié)（或波腹）位置，相鄰波節(jié)（或波腹）間的距離，也與本文第二部分的理論推導(dǎo)一致。因此，Mathcad對駐波運(yùn)動(dòng)的模擬，在物理公式與實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象之間搭建了一座橋梁，可以使學(xué)生對駐波的認(rèn)知更加容易，也更加深刻。

圖3 駐波波形隨時(shí)間的變化

4.Mathcad對實(shí)驗(yàn)結(jié)果的分析

弦振動(dòng)最終獲得的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1所示，接下來就是對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理，定量驗(yàn)證波長λ與張力T之間的關(guān)系。

表1 弦振動(dòng)測量數(shù)據(jù)

由式（5），可以看出波長λ與張力T并不是簡單的線性關(guān)系，直接建立經(jīng)驗(yàn)公式一般是比較困難的，因此，將式（5）兩側(cè)取對數(shù)，得

這樣就lnλ與lnT間就構(gòu)成了線性關(guān)系。

圖解法是處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的常用方法，其優(yōu)點(diǎn)是直線更加容易描繪，圖像更加直觀形象，更重要的是直線的斜率和截距往往包含著深刻的物理內(nèi)涵，便于求出某些物理量以及建立關(guān)系式等。但它的缺點(diǎn)也很明顯：第一必須由原始數(shù)據(jù)計(jì)算出繪圖所需數(shù)據(jù)，計(jì)算量較大；第二作圖用坐標(biāo)紙精度不足，并且在圖線的繪制上（如橫縱軸范圍選擇）往往帶有較大的任意性，所得的結(jié)果常常因人而異，并且很難對它做進(jìn)一步的誤差分析。

在研究直線的擬合問題時(shí)，用最小二乘法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)也是一種通用的方法。使用最小二乘法從觀測到的數(shù)據(jù)中可以求出一個(gè)最佳的經(jīng)驗(yàn)公式y(tǒng) =a+bx，使得觀測值和擬合值的偏差平方和最小。按這一最佳經(jīng)驗(yàn)公式做出的圖線雖不一定通過每一個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，但是它以最接近這些實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的方式平滑地穿過它們。根據(jù)實(shí)驗(yàn)獲得的自變量x=x1，x2，. ..xn與因變量y=y1，y2，...yn的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法，可以求出上述待定參量[3]：

式中

r稱作相關(guān)系數(shù)，可以用于衡量擬合的準(zhǔn)確性。| r|的值在0和1之間，越接近于1，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)越密集在所求的直線的周圍。由（8）式可以看出，最小二乘法的缺點(diǎn)就是計(jì)算任務(wù)非常繁重，且易出錯(cuò)。

現(xiàn)在我們用Mathcad幾步即可完成對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理。如圖4所示，將表1中m、l1、l2和l3在Mathcad中以矩陣表示，首先利用簡單的矩陣運(yùn)算求出張力T和平均波長λ，然后將lnT數(shù)據(jù)賦值于x，將lnλ賦值于y，最后輸入函數(shù)語句slope (x,y)以求解斜率，intercept(x,y)以求解截距，corr (x,y)以求解相關(guān)系數(shù)。計(jì)算結(jié)果表明，相關(guān)系數(shù)等于0.9996，說明實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的線性關(guān)系良好（見圖5）；斜率為0.5068，與式（7）的理論計(jì)算值（0.5）較為吻合，證明了波長λ與張力T的開方成正比。

圖4 Mathcad對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析處理示例

圖5 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與所擬合得到的直線

5 結(jié)論

Mathcad是一款界面友好、功能豐富而強(qiáng)大的計(jì)算軟件。它能對物理實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象進(jìn)行仿真模擬，使抽象的問題形象化、直觀化，加深了學(xué)生對物理知識的理解和認(rèn)識；還能夠快捷地對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析計(jì)算，極大地減輕了計(jì)算負(fù)擔(dān)。因此，對教師而言，Mathcad可以有效地輔助教學(xué)，提高課堂講授效果；對學(xué)生而言，Mathcad的熟練掌握與靈活運(yùn)用，不僅僅有助于大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，還能夠給學(xué)習(xí)、生活等各個(gè)方面帶來便捷。

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O4-39

A

1009-9530（2012）03-0087-03

2012-01-12

安徽省高校人才培養(yǎng)模式創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)區(qū)項(xiàng)目（2009cxsyq024）；安徽省高校省級教學(xué)團(tuán)隊(duì)建設(shè)項(xiàng)目（20100904）

趙旺（1982-），男，淮南師范學(xué)院物理與電子信息系講師，博士，主要從事稀土發(fā)光材料的研究。