一步法精度影響及適用范圍分析

林四海，陳西強(qiáng)，劉 豐 ，凃道勇

(福建省電力勘測(cè)設(shè)計(jì)院，福建 福州 350003)

電力線路勘測(cè)和一般的線路勘測(cè)有其自身的特點(diǎn)，線路窄而長(zhǎng)，電力線走廊通視條件一般較差，尤其是在山區(qū)，且對(duì)平面和高程精度要求不一致[1]。由于GPS技術(shù)其特有的技術(shù)優(yōu)勢(shì)，在電力線路勘測(cè)中已得到了廣泛的應(yīng)用[2]。

GPS測(cè)量直接得到的是WGS-84系統(tǒng)下的大地坐標(biāo)及大地高，而工程應(yīng)用中所采用的一般為1954北京坐標(biāo)系或西安80坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，且高程一般為1985高程系統(tǒng)下的值。這就導(dǎo)致存在兩者之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。LEICA Geo Office Combined一共提供3種方法[3]，即經(jīng)典三維法、一步法和兩步法。其中一步法是一種簡(jiǎn)單的強(qiáng)制擬合的方法，其優(yōu)點(diǎn)是對(duì)點(diǎn)的數(shù)量要求不高，可以平面和高程分開(kāi)處理，其高程誤差不影響平面。不需要相關(guān)的投影和橢球信息。適用于小區(qū)域以及獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)，在小區(qū)域幾個(gè)點(diǎn)轉(zhuǎn)換的精度甚至優(yōu)于經(jīng)典三維法的轉(zhuǎn)換精度。但該轉(zhuǎn)換方法只適用于小的區(qū)域，不適合進(jìn)行外推，在外推時(shí)精度損失很快。

針對(duì)電力線路其自身的特點(diǎn)，在現(xiàn)實(shí)工程應(yīng)用中，對(duì)線路區(qū)域內(nèi)已知點(diǎn)的投影和橢球信息一般比較缺乏，其線路兩邊外控點(diǎn)位數(shù)量有限，因此一步法可以得到廣泛應(yīng)用。本文將從一步法的基本理論出發(fā)，對(duì)先驗(yàn)坐標(biāo)值及高程值的精度對(duì)轉(zhuǎn)換后的坐標(biāo)影響及其適用范圍從理論上給出詳細(xì)的分析，對(duì)工程實(shí)踐具有一定的理論指導(dǎo)意義。

1 一步法原理

1.1 平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

設(shè)i點(diǎn)的1954年北京平面坐標(biāo)為 ( XiYi)54，其對(duì)應(yīng)的WGS84在橫軸墨卡托投影下的平面坐標(biāo)位 ( xiyi)84，則其在平面坐標(biāo)之間存在的轉(zhuǎn)換關(guān)系為[4]：

其中：u為尺度比參數(shù)， R (εz) 為繞Z軸的旋轉(zhuǎn)量參數(shù)， ( x0y0)T為兩個(gè)平面直角坐標(biāo)系的平移參數(shù)，當(dāng) εz很小時(shí)，有cos εz= 1 ，sin εz=εz，并假設(shè)u=1+du，同時(shí)去掉二階高次項(xiàng)，則(1)式簡(jiǎn)化可表示為：

則由(2)式可得誤差方程：

當(dāng)由n個(gè)點(diǎn)參與坐標(biāo)系配置時(shí)，誤差方程可以表示為：

簡(jiǎn)記：

并假設(shè)其權(quán)矩陣為P，根據(jù)最小二乘原理可得轉(zhuǎn)換參數(shù)及其相應(yīng)協(xié)因數(shù)陣為：

1.2 高程擬合

在高程方面，一步法中高程的解算主要是通過(guò)簡(jiǎn)單的GPS高程擬合來(lái)實(shí)現(xiàn)，當(dāng)公共點(diǎn)位數(shù)為0時(shí)，不提供高程轉(zhuǎn)換參數(shù)，當(dāng)只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，即只提供一個(gè)插值常數(shù)進(jìn)行強(qiáng)制擬合，這種方法一般精度比較低；當(dāng)由兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則由兩個(gè)高程點(diǎn)推算的平均改正數(shù)進(jìn)行套合，只適合于小區(qū)域；當(dāng)多余2個(gè)以上時(shí)，通常利用平面擬合進(jìn)行高程參數(shù)的求解，對(duì)于平坦或微丘小地區(qū)，大地水準(zhǔn)面近似看作線性的光滑平面 (變化量約為每10km為0.1m) ，這時(shí)可采用最為簡(jiǎn)單的一階多項(xiàng)式曲面擬合，即平面擬合[5]。該擬合法需要確定3個(gè)參數(shù)，因此至少需要知道3個(gè)已知點(diǎn)。 它是采用削高補(bǔ)低的原則，平滑出一個(gè)曲面來(lái)代表擬合區(qū)的似大地水準(zhǔn)面，供內(nèi)插和外推使用來(lái)求解待定點(diǎn)的正常高。

設(shè)測(cè)點(diǎn)的高程異常ξ與該點(diǎn)的平面坐標(biāo)x，y有以下函數(shù)關(guān)系[6]：

式中： f(x,y)為ξ中的趨勢(shì)值， Δ為誤差。設(shè)

寫(xiě)成矩陣形式有：

式中：

對(duì)于每個(gè)已知點(diǎn)，都可以列出以上方程，并假設(shè)其權(quán)矩陣為P，根據(jù)最小二乘原理即在∑ ?2=min 的條件下可得擬合參數(shù)及其相應(yīng)協(xié)因數(shù)陣為：

再按(9)式解出待定點(diǎn)的高程異常值ξ=，從而求出正常高H常。

2 初始值對(duì)轉(zhuǎn)換精度的影響

2.1 初始坐標(biāo)對(duì)平面轉(zhuǎn)換參數(shù)的影響

由前面分析可知，轉(zhuǎn)換參數(shù)的單位權(quán)中誤差為：

則由(7)式可知轉(zhuǎn)換參數(shù)的精度為：

假設(shè)1954北京坐標(biāo)系下的坐標(biāo)與WGS84坐標(biāo)系下的坐標(biāo)是相對(duì)獨(dú)立的，則由誤差傳播定律[7]可知，轉(zhuǎn)換參數(shù)的精度可用已知坐標(biāo)的精度來(lái)表示為：

由(17)可知參與坐標(biāo)系配置的已知坐標(biāo)點(diǎn)精度直接影響到轉(zhuǎn)換參數(shù)的精度，并以近似線性的關(guān)系傳遞給轉(zhuǎn)換后的新坐標(biāo)值。

2.2 已知高程對(duì)高程擬合參數(shù)的影響

假設(shè)大地高H84和正常高H常是相互獨(dú)立的，同理分析可得出擬合參數(shù)精度與已知高程點(diǎn)精度的關(guān)系為：

由(18)式可知，已知點(diǎn)高程的大地高及正常高的精度對(duì)轉(zhuǎn)換參數(shù)的綜合影響是線性的，并以線性的形式傳遞給最終求解的高程異常值。

需要指出的是，參與高程擬合的已知點(diǎn)與參與平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)的已知點(diǎn)可以相同，也可以不同。并由以上分析可知，其平面精度與高程精度互不影響。

3 適用范圍分析

3.1 投影平面長(zhǎng)度變形分析

一步法這種轉(zhuǎn)換方法的進(jìn)行是通過(guò)將高程與點(diǎn)位分開(kāi)進(jìn)行轉(zhuǎn)換。在平面點(diǎn)位轉(zhuǎn)換中，首先將WGS84地心坐標(biāo)投影到臨時(shí)的橫軸墨卡托投影，然后通過(guò)平移，旋轉(zhuǎn)和比例變換使之與計(jì)算的“真正的”投影相符合。由此可知其變換的前提是在一個(gè)局部的平面格網(wǎng)坐標(biāo)系中進(jìn)行轉(zhuǎn)換，即以水平面代替了具有一定曲率的大地水準(zhǔn)面。從而要求點(diǎn)與點(diǎn)之間長(zhǎng)度投影變形必須在規(guī)范范圍之內(nèi)或者更嚴(yán)格的要求以內(nèi)。通常投影后對(duì)長(zhǎng)度的變形影響相對(duì)變化見(jiàn)式(19)[8]：

其中：S表示地面上兩點(diǎn)的圓弧長(zhǎng)度，R表示地球半徑，ΔS表示投影后長(zhǎng)度的變形量，單位均為km。由此可以得出其相對(duì)誤差趨勢(shì)圖見(jiàn)圖1。

圖1 投影長(zhǎng)度變形相對(duì)誤差趨勢(shì)圖

由圖1可以看出，當(dāng)在10km以內(nèi)，其相對(duì)誤差在1/1217700以內(nèi)，而隨著長(zhǎng)度的增加，其變形相對(duì)誤差相應(yīng)增大。為滿足以水平面代替了具有一定曲率的大地水準(zhǔn)面，一般在10km以內(nèi)都可以滿足小于1/40000的變形精度要求。

3.2 電臺(tái)信號(hào)發(fā)射半徑分析

考慮RTK作業(yè)模式的特點(diǎn)，其中使用一步法時(shí)流動(dòng)站需接受基準(zhǔn)站電臺(tái)發(fā)射出的相位差分改正信息才能得到精確的GPS在WGS84下的大地坐標(biāo)，進(jìn)而進(jìn)行正確的轉(zhuǎn)換，故信息鏈通訊信號(hào)的強(qiáng)度很重要。

由于數(shù)據(jù)鏈電臺(tái)采用高頻載波發(fā)送數(shù)據(jù)，而高頻無(wú)線電信號(hào)是沿直線傳播的，這就要求參考站發(fā)射天線和流動(dòng)站接收機(jī)天線之間理論上無(wú)遮擋信號(hào)的障礙物。但在現(xiàn)實(shí)工程實(shí)踐中，往往存在地形、建筑物、無(wú)線電信號(hào)發(fā)射臺(tái)之類的影響。一般當(dāng)電臺(tái)信號(hào)的發(fā)射功率一定時(shí)，它的發(fā)射距離與基準(zhǔn)站電臺(tái)天線高度和流動(dòng)站天線高度以及區(qū)域的地形條件存在一定的非線性關(guān)系，其中值得參考的是TRIMMRKII電臺(tái)的發(fā)射半徑D與天線高的關(guān)系見(jiàn)式(20)[9-10]：

式中：4.24為天寶經(jīng)驗(yàn)值，H1電臺(tái)的天線高，H2流動(dòng)站的天線高，a為不同地區(qū)的地形條件系數(shù)。

當(dāng)H2=2m時(shí)，電臺(tái)發(fā)射的半徑與基準(zhǔn)站電臺(tái)天線高及不同地形條件系數(shù)的關(guān)系如圖2所示。其中a取值為0.1～1.0之間，對(duì)于山區(qū)地形起伏高差越大，其系數(shù)越小。

圖2 電臺(tái)信號(hào)發(fā)射半徑與基準(zhǔn)站天線高度及地形條件系數(shù)的關(guān)系

從圖2分析可知，當(dāng)流動(dòng)站天線高度一定時(shí)，電臺(tái)信號(hào)發(fā)射半徑隨著基準(zhǔn)站天線高度的增加而增加，并在0～1m之間電臺(tái)信號(hào)發(fā)射半徑隨著天線高度的增加而增加的速度明顯，1m～5m之間其速度漸趨平緩。同時(shí)，不同的地形條件系數(shù)對(duì)電臺(tái)發(fā)射半徑的影響存在明顯差異，地形條件越差(對(duì)山區(qū)來(lái)說(shuō)起伏高差越大)，其發(fā)射半徑就限制越大，發(fā)射半徑越小。根據(jù)福建地形條件及工程實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，其系數(shù)一般在0.2～0.5之間，即當(dāng)基站電臺(tái)天線高度為5m時(shí)，其電臺(tái)信號(hào)發(fā)射半徑在3km～8km之間。

4 結(jié)論

電力線路勘測(cè)具有線路長(zhǎng)而窄，電力線路走廊一般通視條件差等顯著特點(diǎn)，其定位模式主要為RTK+全站儀模式。一步法應(yīng)于電力線路RTK放樣，從理論上對(duì)已知點(diǎn)的數(shù)量要求不高，可以平面和高程分開(kāi)處理，其高程精度與平面精度互不影響。同時(shí)，參與配置坐標(biāo)系的已知點(diǎn)平面坐標(biāo)精度及高程精度對(duì)后期測(cè)量及放樣點(diǎn)的精度具有近似線性的影響。因此，在實(shí)踐工程應(yīng)用中，對(duì)已知點(diǎn)的先驗(yàn)精度及可靠性必須做一個(gè)良好的檢核，其檢核方式一般可以通過(guò)對(duì)已知點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行復(fù)測(cè)確定。

對(duì)于其適用范圍而言，一步法在理論上可以達(dá)到10km的作業(yè)半徑，但是受地形條件、電臺(tái)發(fā)射功率及其天線高度的影響，在福建地區(qū)的工程實(shí)踐應(yīng)用中，其作業(yè)半徑最大范圍在3km～8km之間。因此可以知道，一步法只能適用于小的區(qū)域，當(dāng)超過(guò)最大作業(yè)范圍時(shí)，必須重新進(jìn)行配置坐標(biāo)系。

[1]GB50548-2010，330kV～750kV架空輸電線路勘測(cè)規(guī)范[S].

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