考慮最低允許質量水平的逆向物流生產(chǎn)庫存模型及其粒子群算法

陳 铓，龔存宇

（湖南工程學院 機械工程學院，湘潭 411101）

0 引 言

對舊產(chǎn)品進行回收并循環(huán)利用能夠減少廢棄物數(shù)量，保護自然環(huán)境，同時企業(yè)也可以通過回收舊產(chǎn)品再生利用在經(jīng)濟上得到收益，故近年來各界對進行產(chǎn)品回收再制造也就是逆向物流管理更加關注.Dobos［1］指出逆向物流管理即是將已使用過的或者可重復使用的零件和產(chǎn)品從客戶處回收到生產(chǎn)者進行再處理.大多數(shù)逆向物流庫存模型一般假設回收產(chǎn)品的質量水平符合再制造的要求，然而現(xiàn)實的逆向物流系統(tǒng)中回收產(chǎn)品的質量水平確實參差不一，需要進行檢驗才能決定再處理的方式.Salameh［2］研究了所有回收的舊產(chǎn)品在全數(shù)檢驗完成后，將其中的不良品以低價賣出為原則的逆向物流庫存問題，假設不允許缺貨且補貨為瞬間完成.Papachristos［3］以Salameh模型為基礎，對不允許缺貨發(fā)生的庫存模型進行最優(yōu)經(jīng)濟訂購量求解，其中假設不良品是在檢查完畢后直到訂購量用完后才進行銷售.Eroglu［4］則依循先前的方法并增加了允許缺貨的條件.

Chan等人［5］亦對此問題進行研究，發(fā)現(xiàn)回收產(chǎn)品的不良率越高，所需要對外訂購的新產(chǎn)品的批量也越大.Porteus［6］認為回收產(chǎn)品的質量與再制造批量之間存在著顯著關系，即在給定的概率下，回收產(chǎn)品的批量足夠大就會出現(xiàn)不良品，如此再制造系統(tǒng)便會因為重工等相關的操作而發(fā)生額外的費用.Porteus提供了三項生產(chǎn)質量改善的方法，即降低過程失控的機會、降低固定成本以及同時使用上述兩種方法.Lee［7］將生產(chǎn)的時間長度視為決策的主要因素，并強調(diào)用檢驗的方式進行質量控制以建立EPQ模型.

圖1 逆向物流庫存系統(tǒng)

本文以Salameh模型為基礎提出如圖1所示的逆向物流生產(chǎn)庫存系統(tǒng)，其中只有那些滿足最低質量水平的已使用過的產(chǎn)品才被允許從客戶處購買回來供再制造，但是由于回收產(chǎn)品的質量參差不齊，所以將質量水平作為隨機變量處理，研究目標是最小化平均總庫存成本.

1 符號定義與假設

1.1 符號定義

（1）決策變量

T：一個制造與再制造周期的時間長度；

P：回收產(chǎn)品與新產(chǎn)品的價格比（0≤P≤1）；

q：允許的最低質量水平（0≤q≤1）；

（2）輸入?yún)?shù)：

a，θ：價格函數(shù)的參數(shù)（0≤a≤1）；

b，Φ：質量函數(shù)的參數(shù)（0≤b≤1）；

c，δ：再制造成本函數(shù)的參數(shù)；

hS：單位時間銷售備用品的庫存持有成本；

hR：再制造產(chǎn)品的庫存持有成本；

hraw：外購原材料的庫存持有成本；

CM：單位制造成本；

（1／γ）D：再制造的速率；

（1／β）D：制造的速率；

SR：再制造的準備成本；

SM：制造的準備成本；

D：需求率；

Pn：產(chǎn)品的銷售價格；

Craw：原材料的單位購買成本；

Co：有原材料的訂貨成本；

（3）模型參數(shù)：

R：回收產(chǎn)品的數(shù)量；

CR：再制造的單位成本；

HS，1：新制造產(chǎn)品在銷售備用倉庫存儲時平均庫存成本；

HS，2：再制造產(chǎn)品在銷售備用倉庫存儲時平均庫存成本；

HR：再制造存貨的平均庫存成本；Hraw：原材料的平均庫存成本；

1.2 模型假設

假設無限計劃期內(nèi)客戶需求是穩(wěn)定的，為已知的常數(shù)，由制造和再制造產(chǎn)品共同滿足.回收率是回收產(chǎn)品的質量水平和單位回購價格的函數(shù)，即舊產(chǎn)品的回收率取決于最低允許的質量水平以及回購價格與新產(chǎn)品價格的比例.只有那些滿足最低質量水平的舊產(chǎn)品才被允許從客戶處購買回來以供再制造，但是由于回收產(chǎn)品的質量參差不齊，所以將質量水平作為隨機變量處理，假設回收產(chǎn)品的質量水平服從均勻分布.回收產(chǎn)品將由再制造庫存轉移到再制造環(huán)節(jié)，所有回收的產(chǎn)品均進行再制造，再制造產(chǎn)品的質量與新生產(chǎn)的產(chǎn)品是相同的，另外再制造的單位成本依賴于回收產(chǎn)品的質量水平.再制造產(chǎn)品被存儲在銷售備用倉庫中，假設庫存容量是無限的.由于假設不允許缺貨發(fā)生，新產(chǎn)品必須是新制造的并儲存在銷售備用倉庫中以滿足市場需求.在新產(chǎn)品制造中，從外部供應商訂購原材料采用經(jīng)濟訂購批量（EOQ）.另外假設每個周期中新品制造與回收品再制造均為單一批次，即一個周期內(nèi)僅進行一次制造和再制造作業(yè).

2 庫存模型的建立

2.1 回收率函數(shù)

假設舊產(chǎn)品的回收數(shù)量R是價格因素與質量因素的函數(shù)，本文采用 V?r?s［8］提出的需求函數(shù)進行修改，同時假設這兩個因素是相互獨立的.質量因素是指生產(chǎn)廠家為再制造作業(yè)規(guī)定的回收產(chǎn)品的最低允許質量水平，質量函數(shù)為fq＝beφq.價格因素是指舊產(chǎn)品的回購價格與新產(chǎn)品的價格之比，價格函數(shù)的數(shù)學形式為R＝R（p，q）＝D（1－αe－θp）be－φq.于是舊產(chǎn)品的回收率函數(shù)為

2.2 各類存貨的庫存持有成本

以回收產(chǎn)品的庫存水平下降至零為節(jié)點，定義T為兩個相鄰節(jié)點的時間間隔，表示為周期時間長度.再制造需要的時間為TR，新產(chǎn)品制造需要的時間為TM，于是T＝TR＋TM.本文提出的逆向物流生產(chǎn)庫存系統(tǒng)中有三種不同的存貨，即再制造庫存、銷售備用庫存和原材料庫存（如圖2所示）.

圖2 三種存貨的庫存水平

（1）新產(chǎn)品的銷售備用庫存的平均庫存成本

（2）再制造產(chǎn)品的銷售備用庫存的平均庫存成本

（3）再制造庫存的平均庫存成本

（4）外購原材料的平均庫存成本

2.3 系統(tǒng)的平均總庫存成本

逆向物流生產(chǎn)庫存系統(tǒng)的平均總成本包括平均庫存持有成本、平均設置成本、平均訂購成本、平均再制造成本、平均生產(chǎn)成本、平均采購成本和平均回購成本.

（1）平均庫存持有成本

平均持有成本是方程（1）至（4）之和.

（2）再制造和制造的平均設置成本

（3）原材料的平均訂購成本

（4）平均再制造成本

平均再制造成本是預期再制造的成本乘以舊產(chǎn)品的回收數(shù)量.

其中CR＝ce－δx

（5）平均制造成本

平均制造成本等于再制造產(chǎn)品不能滿足的需求的數(shù)量乘以單位制造成本

（6）平均原材料成本

根據(jù)公式（9），原材料所需的材料平均金額可以表示為

（7）平均回購成本

回購成本等于從客戶回購舊產(chǎn)品的價格乘以數(shù)量

（8）平均總庫存成本

逆向物流生產(chǎn)庫存系統(tǒng)的平均總成本可以表示為

假設P和Q為已知數(shù)，對上式取T的一階、二階偏導數(shù)

由于SR，SM，CO，T均為正數(shù)，所以二階偏導數(shù)值大于零.由于p、q為已知值，TC在T為凸，令一階偏導數(shù)為零求解T，即可得到T的最優(yōu)值

3 模型求解與數(shù)值算例

在上節(jié)建立的逆向物流生產(chǎn)庫存模型中有三個決策變量，即實數(shù)T、p和q，其范圍在0～1之間.由于目標函數(shù)的數(shù)學復雜性，因此本文提出了基于粒子群優(yōu)化的啟發(fā)式算法.

3.1 粒子群算法

粒子群優(yōu)化算法（PSO）是一個連續(xù)的非線性函數(shù)的優(yōu)化方法.Kennedy［9］使用鳥群和魚群的比喻介紹了這種方法.粒子群算法是受個人之間的社會行為的啟發(fā)，這些人（我們稱之為粒子）在整個n維搜索空間運動，每個粒子代表一個問題的潛在解決方案.所有的粒子可以分享他們對搜索空間的信息，這樣他們就可以得到全局最好的解決辦法.在每次迭代中，每個粒子的速度根據(jù)給定的算法更新和計算.

粒子群優(yōu)化算法如下：

步驟1初始化一個隨機事件的立場和對p－q的粒子尺寸速度陣列.

步驟2計算T＊.

步驟3在搜索空間計算每個粒子的TC.

步驟4檢查是否符合停止運算的標準.如果符合標準，即停止，否則轉到步驟5.

步驟5更新每個粒子的pbest值和gbest值.

步驟6使用pbest，gbest和以前的速度更新每個粒子的位置.

步驟7轉到步驟2.

3.2 數(shù)值算例

本文使用C＋＋編程對提出的啟發(fā)式算法性能進行了測試，并通過網(wǎng)格搜索方法得到次優(yōu)解.測試問題的參數(shù)值為：hS＝4，hR＝3，hraw＝1，CM＝30，SR＝5000，SM＝5000，D＝1000，Pn＝100，Craw＝20，Co＝1000，a＝0.9，b＝0.9，γ＝0.6，β＝0.5，δ＝1.對于三個不同的θ和Φ值，一共有9個算例.

表1 粒子群啟發(fā)式算法的性能

0.01 1 0.7 0.06 0.51 20.76 2009.24 18755.03 48534..51 ＜0.01 1 0.04 0.20 20.42 2052.54 18379.30 48709.83 ＜0.01 2 0.05 0.16 20.80 2003.82 18803.24 48976.82 ＜0.01 2 0.06 0.11 17.02 2599.64 14421.37 48483.73 ＜

表2 網(wǎng)格搜索算法的性能

如表1、表2所示，在所有情況下粒子群優(yōu)化算法的計算時間小于0.01s，然而網(wǎng)格搜索算法的計算時間超過1min.

表3 PSO與網(wǎng)格搜索算法的性能對比

如表3所示，基于粒子群的啟發(fā)式算法的性能與網(wǎng)格搜索算法一樣良好，即次優(yōu)解的最大差值為0.4519%.因此，本文提出的算法可以在很短的時間內(nèi)得到次優(yōu)解.

4 結 論

本文對以再制造與新制造產(chǎn)品共同滿足固定需求的逆向物流生產(chǎn)庫存系統(tǒng)進行了研究.本文引入在以往文獻中被忽略的但是在現(xiàn)實世界中很重要的最低允許質量水平的概念，假設舊產(chǎn)品的回收率是質量水平與單位回購價格的函數(shù)，以此變量建立了庫存成本函數(shù).由于逆向物流庫存模型的復雜性，本文提出了粒子群優(yōu)化算法去求解該模型.為了檢驗粒子群算法的性能，本文將該算法得到的次優(yōu)解與網(wǎng)格搜索方法進行了比較，結果發(fā)現(xiàn)該算法與網(wǎng)格搜索方法得到相同結果的時間基本相同，由此證明了本算法的有效性.

［1］Dobos I.，Richter.An Extended Production／Recycling model with Stationary Demand and Return Rates［J］.International Journal of Production Economics，2008，90（3）：311－323.

［2］Salameh M.K.，Jaber M.Y.Economic Production Quantity Model for Items with Imperfect Quality［J］.International Journal of Production Economics，2000，64：59－64.

［3］Papachristos S.，Konstantaras I.Economic Ordering Quantity Models for Items with Imperfect Quality［J］.International Journal of Production Economics，2006，100：148－154.

［4］Eroglu A，Ozdemir G.An Economic Order Quantity Model with Defective Items and Shortages［J］.International Journal of Production Economics，2009，106：544－549.

［5］Chan W.M.，Ibrahim R.N.，Lochert P.B.A new EPQ model：Integrating Lower Pricing，Rework and Reject Situations［J］.Production Planning and Control，2003，14（7）：588－595.

［6］Porteus E.L.Optimal lot Sizing，Process Quality Improvement and Setup Cost Reduction［J］.Operations Research，1986，34（1）：137－144.

［7］Lee H.L.，Rosenblatt M.J.Simultaneous Determination of Production Cycle and Inspection Schedules in a Production Systems［J］.Management Science，1987，33（9）：1125－1136.

［8］V?r?s J.Product Balancing Under Conditions of quality Inflation，Cost Pressures and Growth Strategies［J］.European Journal of Operational Research，2002，14（11）：153－166.

［9］Kennedy J.，Eberhart R.Particle Swarm Optimization［J］Proc.of Neural Networks 1995，IEEE International Conference on 1995，l4：1942－1948.