修理工可單重休假且延遲修理的預防維修更換策略

李海霞， 孟憲云， 陳雁東， 蔣燕美， 趙 丹， 陳變娟

(1.燕山大學 理學院 河北 秦皇島 066004；2.山西省廣靈縣第一中學校 山西 大同 037500)

0 引言

可修系統(tǒng)的最優(yōu)更換問題已經成為該領域研究的熱點，基于“修復如新”的系統(tǒng)，許多學者經過研究并取得了不少成果[1-2].文獻[3]針對系統(tǒng)修理后的壽命隨機遞減、維修時間隨機遞增而最終系統(tǒng)不能再工作也不能再修理的問題，提出了“幾何過程”.文獻[4-5]對預防維修能夠“修復如新”，而故障維修為“修復非新”的系統(tǒng)進行了討論.文獻[6]對有延遲修理的修理工多重休假的單部件可修系統(tǒng)進行了討論.文獻[7]對單重休假的可修系統(tǒng)進行了討論.文獻[8-9]對預防性維修策略進行了討論.

本文假定系統(tǒng)預防維修為“修復如新”，而故障維修為“修復非新”，且系統(tǒng)每次故障以概率1-p延遲修理，并選擇以系統(tǒng)的故障次數(shù)N為更換策略，利用更新過程和幾何過程理論，使得系統(tǒng)經長期運行單位時間內期望費用達到最小.另外，對預防維修的定長間隔時間T及更換策略N也進行了討論.最后，通過數(shù)值算例分析了該結果的有效性.

1 模型假設

假設1設t=0時，系統(tǒng)是新的，修理工開始一次休假，且假定休假時間小于預防維修的定長間隔時間T.休假結束時，若系統(tǒng)的工作時間達到指定時間T尚未發(fā)生故障，修理工立即對系統(tǒng)進行預防維修，且假定預防維修是“修復如新”的；若系統(tǒng)故障，修理工對其進行修理；若系統(tǒng)沒有故障，修理工等待，待系統(tǒng)的工作時間未達到指定時間T而發(fā)生故障時，修理工對其進行修理，且假定故障維修是“修復非新”的，預防維修和修理結束，開始下一次休假.

假設4系統(tǒng)更換時，用新的同型部件更換，更換如新，且更換時間忽略不計.

假設5系統(tǒng)在單位時間內的工作報酬、故障維修費用、預防維修費用、待修時造成的損失和故障后延遲修理造成的損失分別為C1,C2,C3,C4,C5，而系統(tǒng)更換一次費用為C.

2 主要結果及證明

定理1系統(tǒng)的故障次數(shù)為N時，系統(tǒng)經長期運行單位時間內期望費用為

(1)

其中，

圖1為系統(tǒng)的一個可能進程圖，設τ1為系統(tǒng)第一次更換時間，τn(n≥2)為系統(tǒng)第n-1次更換與第n次更換之間的間隔時間.顯然，{τ1,τ2,…}為一個更新過程，相鄰兩次更換的間隔時間為一個更新周期.令D(N)為系統(tǒng)經長期運行單位時間內期望費用，根據(jù)更新報酬定理得

(2)

圖1 系統(tǒng)的一個可能進程圖Fig.1 A possible progressive figure of the system

由系統(tǒng)進程圖1以及模型假設得更新周期長度為

根據(jù)文獻[4]中定理1及條件期望的性質知，

(3)

(4)

將(3)式和(4)式代入(2)式得定理.證畢.

推論在本文考慮的策略中，如不考慮預防維修，則公式(1)中的結果DN為

因為B(T,N)為關于T的單調減函數(shù)，所以C(N)為其下確界，如果D(N)≥C(N)，則有C(N)≤D(N)

由定理2可得

因此本文的策略N*優(yōu)于C(N)中的策略N**.

3 數(shù)值算例

設Xn,Yn,Zn,Wn及Vn的分布函數(shù)分別為

其中，a>1,01,τ<∞,t≥0,n=1,2,….因此，

(5)

(6)

(7)

將(5)，(6)和(7)式代入(1)式，則(1)式成為

(8)

其中,

令a=1.01;b1=0.95;b2=0.98;d=2;λ=600;μ1=16;μ2=8;β=400;τ=0.6;C1=15；C2=45;C3=30;C4=22;C5=25;C=10 000;T=720;p=0.7，由(8)式得表1.

由表1可知，系統(tǒng)經長期運行單位時間內最小期望費用為Dmin(5)=1.745 9，即最優(yōu)的更換策略為N*=5，且是唯一存在的.

表1 D(N)隨N的變化規(guī)律Tab.1 The change of D(N) over N

4 結論

本文提出了一類新的修理工單重休假且延遲修理的預防維修更換模型.該模型以系統(tǒng)的故障次數(shù)為更換策略，選取系統(tǒng)經長期運行單位時間內期望費用為目標函數(shù)，利用幾何過程和更新過程的理論，建立了數(shù)學模型，并通過數(shù)值算例驗證了該結果的有效性.特別地，本文的策略N優(yōu)于不考慮預防維修的策略N.該結果對指導企業(yè)合理使用及維護設備、降低生產成本、提高經濟效益和系統(tǒng)安全性都具有一定的指導意義和參考價值.

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