具有連續(xù)變量高階差分方程的振動(dòng)性

趙玉萍

(青海民族大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院 青海 西寧 810007)

0 引言

本文研究具有連續(xù)變量的高階差分方程

Δd(x(t)-p(t)x(t-τ))+q(t)x(t-σ)=0, 0

(1)

解的振動(dòng)性. 其中Δx(t)=x(t+τ)-x(t)，τ>0是步長,d≥1是奇數(shù)，σ>0是給定的,p(t)∈C([t0,+∞),R),q(t)∈C([t0,+∞),[0,+∞)).

1 基本引理

引理1[5]假設(shè)d≥1是整數(shù),z(t+nτ)是實(shí)數(shù)列, 如果Δdz(t+nτ)最終定號(hào), (即當(dāng)n充分大后恒有Δdz(t+nτ)>0或有Δdz(t+nτ)<0), 則Δiz(t+nτ)最終嚴(yán)格單調(diào)且定號(hào)i=0,1,…,d-1.

引理2[5]假設(shè)d≥1是奇數(shù)，z(t+nτ)是正實(shí)數(shù)列且有界，Δdz(t+nτ)最終為負(fù), 則最終有Δdz(t+nτ)≥Δz(t+nτ).

引理3[6]假設(shè)d≥1是奇數(shù)，z(t+nτ)是負(fù)的實(shí)數(shù)列, Δdz(t+nτ)最終為負(fù), 則Δz(t+nτ)<0.

引理4[6]假設(shè)d≥1是奇數(shù),z(t+nτ)是正的實(shí)數(shù)列, 且Δdz(t+nτ)最終為負(fù), 則Δd-1z(t+nτ)>0.

2 主要結(jié)果

證明取充分大n1，n1≥n0，t>t0，使得

(2)

T是連續(xù)的，對(duì)?x∈B1(n≥n1)有

證明證明類似于定理1，取充分大n1，n1≥n0，t>t0，使得

(3)

x(t)就是方程(1)的一個(gè)有界的最終正解.

定理3設(shè)0

(H1)存在函數(shù)y(u)∈C(R,R),使得x(u)≥y(u),uy(u)>0(u≠0),且y(u)≥m>0,m是常數(shù);

則方程(1)的解振動(dòng).

證明反證法. 設(shè)方程(1)具有非振動(dòng)解，不失一般性，設(shè)x(t)是最終正解. 令z(t)=x(t)-p(t)x(t-τ)，則方程(1)可變形為Δdz(t)+q(t)x(t-σ)=0，則z(t)>0.

事實(shí)上，Δdz(t)=-q(t)x(t-σ)<0, 由引理1知，z(t)>0或z(t)<0. 如果z(t)<0，則z(t+nτ)<0，由引理3，Δz(t+nτ)<0. 于是n≥n1,z(t+nτ)≤z(t+n1τ)<0, 因此x(t+nτ)≤z(t+n1τ)+p(t+nτ)x(t+nτ-τ)≤z(t+n1τ)+x(t+nτ-τ),n≥n1.

Δz(t+nτ) ≤Δdz(t+nτ)

≤-y(t+nτ-σ)q(t+nτ)

≤-mq(t+nτ)z(t+nτ)

由條件(H2)z(t+nτ)→-∞(n→+∞). 這與z(t+nτ)>0矛盾.所以方程(1)的解振動(dòng).

參考文獻(xiàn)：

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