非開(kāi)普勒軌道下衛(wèi)星交會(huì)變軌決策研究

張 拓 高曉光 樊 昊

西北工業(yè)大學(xué)電子信息學(xué)院，西安 710129

隨著航天技術(shù)尤其是載人航天技術(shù)的發(fā)展，空間交會(huì)對(duì)接技術(shù)也得到了迅速發(fā)展和廣泛應(yīng)用。要使飛船成為天地間的有效運(yùn)輸工具，以及進(jìn)行大型航天器的在軌裝配和長(zhǎng)期軌道運(yùn)行，就必須解決交會(huì)對(duì)接技術(shù)[1]。而航天器在何種條件下進(jìn)行交會(huì)變軌機(jī)動(dòng)成為完成交會(huì)任務(wù)的關(guān)鍵所在，這就需要我們對(duì)交會(huì)變軌的時(shí)機(jī)和條件進(jìn)行合理的判斷和決策。

目前，有關(guān)非開(kāi)普勒軌道上的空間動(dòng)力學(xué)研究與控制已經(jīng)成為空天領(lǐng)域的研究重點(diǎn)和熱點(diǎn)。從軌道動(dòng)力學(xué)和軌道控制的角度，航天器的運(yùn)行軌道可以分為開(kāi)普勒軌道(KO)和非開(kāi)普勒軌道(NKO)兩大類[2]。非開(kāi)普勒軌道是由于作用在航天器上的外力產(chǎn)生的。如果在衛(wèi)星機(jī)動(dòng)變軌問(wèn)題中采用非開(kāi)普勒軌道,則可以通過(guò)在衛(wèi)星上持續(xù)作用推力實(shí)現(xiàn)[3-4]。衛(wèi)星在非開(kāi)普勒軌道上的運(yùn)動(dòng)特征不同于開(kāi)普勒軌道上的，由于作用在衛(wèi)星上的攝動(dòng)力與發(fā)動(dòng)機(jī)推力在時(shí)刻變化，傳統(tǒng)的開(kāi)普勒軌道根數(shù)求解方法在非開(kāi)普勒軌道上就不再適用了，因此尋求一種求解非開(kāi)普軌道上的動(dòng)力學(xué)參數(shù)的方法就顯得尤為重要。

在本文衛(wèi)星的變軌決策問(wèn)題中，通過(guò)目標(biāo)衛(wèi)星和追蹤衛(wèi)星之間的相對(duì)位置、標(biāo)稱飛行時(shí)間和真近點(diǎn)角等參量的變化，在Hill坐標(biāo)系中利用比例導(dǎo)引的方法求解衛(wèi)星進(jìn)行機(jī)動(dòng)變軌時(shí)所需的速度增量，然后再根據(jù)Lagrange插值算法[5]，解出衛(wèi)星在任意特征點(diǎn)上變軌機(jī)動(dòng)所需要的速度增量。從而獲取追蹤衛(wèi)星完成交會(huì)機(jī)動(dòng)變軌所消耗的燃料量(速度增量與燃料消耗量的比沖)，再將此燃料消耗量與追蹤衛(wèi)星所攜帶的燃料量相比較判斷此時(shí)追蹤衛(wèi)星是否進(jìn)行軌道機(jī)動(dòng)，完成交會(huì)機(jī)動(dòng)變軌決策。

1 建立交會(huì)變軌決策模型

為了對(duì)非開(kāi)普勒軌道上交會(huì)變軌問(wèn)題進(jìn)行分析和實(shí)現(xiàn)具體仿真，首先要建立衛(wèi)星的非開(kāi)普勒軌道交會(huì)模型。通過(guò)模型進(jìn)行仿真來(lái)研究非開(kāi)普勒軌道上交會(huì)變軌決策的方法。

1.1 Hill微分方程

一般情況下，研究一個(gè)航天器(稱為追蹤航天器)相對(duì)于另一個(gè)距離較近的航天器(稱為目標(biāo)航天器)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)采用Hill坐標(biāo)系。

首先給出Hill坐標(biāo)系的定義。本文研究衛(wèi)星的變軌決策問(wèn)題時(shí)所采用的坐標(biāo)系為Hill坐標(biāo)系。

圖1 Hill坐標(biāo)系示意圖

Hill坐標(biāo)系(即目標(biāo)航天器軌道坐標(biāo)系)Oxyz的原點(diǎn)O位于目標(biāo)航天器的質(zhì)心，Oxz平面為目標(biāo)航天器的軌道面，z軸與目標(biāo)航天器的地心矢徑重合，指向地心;x軸沿軌道周向，指向運(yùn)動(dòng)方向;y軸沿軌道面負(fù)法線方向，如圖1所示。該坐標(biāo)系的單位矢量為i,j,k。

設(shè)追蹤衛(wèi)星機(jī)動(dòng)加速度f(wàn)在Hill坐標(biāo)系的x軸、y軸與z軸上的分量分別為ax,ay與az，則以Hill坐標(biāo)系表示的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程式具有下列形式：

(1)

上式稱為Hill微分方程。其中x，y，z分別為距離矢量在Hill坐標(biāo)系的x軸、y軸與z軸方向上的分量；μ為地球引力常數(shù)；r1,r2分別為目標(biāo)衛(wèi)星與追蹤衛(wèi)星的軌道半徑；θ為平近點(diǎn)角。

假設(shè)目標(biāo)衛(wèi)星的軌道為圓軌道，且目標(biāo)衛(wèi)星只受地心引力作用，追蹤衛(wèi)星受地心引力與發(fā)動(dòng)機(jī)推力共同作用，兩衛(wèi)星的相對(duì)距離與這兩衛(wèi)星到地心的距離相比很小，從而忽略公式(1)中非線性項(xiàng)，而保留其線性項(xiàng)，式(1)化簡(jiǎn)為

(2)

該式稱為Clohessy-Wiltshire方程，簡(jiǎn)稱為C-W方程。其中ax,ay與az分別為追蹤衛(wèi)星的機(jī)動(dòng)加速度在Hill坐標(biāo)系的x軸、y軸與z軸上的分量；x，y，z分別為距離矢量在Hill坐標(biāo)系的x軸、y軸與z軸方向上的分量；n為平均運(yùn)動(dòng)。這里采用C-W方程描述兩近距衛(wèi)星的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。

1.2 變軌決策

對(duì)于變軌決策問(wèn)題，歸結(jié)到工程實(shí)際中主要考慮能量的消耗。假設(shè)追蹤衛(wèi)星有一個(gè)燃料攜帶量，這個(gè)燃料攜帶量必然導(dǎo)致追蹤衛(wèi)星本身有一個(gè)可以接受的所需速度增量Δv的區(qū)間。如果追蹤衛(wèi)星變軌所需燃料超過(guò)了這個(gè)區(qū)間，那么變軌接近動(dòng)作將無(wú)法完成，導(dǎo)致衛(wèi)星變軌任務(wù)無(wú)法完成。這里追蹤衛(wèi)星采用非開(kāi)普勒軌道進(jìn)行軌道轉(zhuǎn)移，它將時(shí)刻受到發(fā)動(dòng)機(jī)推力作用。由于空間非開(kāi)普勒軌道所表現(xiàn)出來(lái)的行為在數(shù)學(xué)上具有動(dòng)力學(xué)性質(zhì),因此從科學(xué)角度來(lái)深入探討其內(nèi)在的動(dòng)力學(xué)機(jī)制將成為可能的趨勢(shì)[6]。由于衛(wèi)星在非開(kāi)普勒軌道下運(yùn)行時(shí)，時(shí)刻受到自身發(fā)動(dòng)機(jī)推力的作用，這時(shí)軌道根數(shù)就失去解析解，求解衛(wèi)星變軌所需速度增量Δv的工作將無(wú)法完成。

在以上分析和假設(shè)的條件下，可以采用一定精度的比例導(dǎo)引律計(jì)算變軌加速度，利用擬合邊界條件的方法進(jìn)行變軌決策。首先確定所需速度增量Δv與哪些特征條件有關(guān)。接著，再選取一些典型的特征條件，在這些特征條件的基礎(chǔ)上通過(guò)數(shù)字仿真模擬交會(huì)的過(guò)程并求得所需速度增量Δv。變換不同的條件多次求解Δv，獲得滿足邊界條件的大量仿真數(shù)據(jù)，畫(huà)出衛(wèi)星變軌的決策曲面。在實(shí)際決策過(guò)程中，根據(jù)當(dāng)前邊界條件擬合出邊界條件函數(shù)，由當(dāng)前滿足變軌機(jī)動(dòng)的條件結(jié)合變軌決策曲面進(jìn)行綜合分析。

1.3 計(jì)算變軌速度增量

在計(jì)算變軌速度增量之前，假設(shè)忽略作用在這2個(gè)衛(wèi)星上的大氣阻力攝動(dòng)之差，目標(biāo)衛(wèi)星不做機(jī)動(dòng)動(dòng)作，追蹤衛(wèi)星主動(dòng)接近目標(biāo)衛(wèi)星，并忽略軌道攝動(dòng)，而且目標(biāo)衛(wèi)星的軌道是固定的圓軌道。

由于追蹤衛(wèi)星在變軌過(guò)程中持續(xù)受到自身發(fā)動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的不規(guī)則推力的影響，則追蹤衛(wèi)星的變軌機(jī)動(dòng)是非開(kāi)普勒軌道機(jī)動(dòng)。追蹤衛(wèi)星要在非開(kāi)普勒軌道的條件下完成交會(huì)變軌任務(wù)，必須要計(jì)算軌道控制量。若追蹤衛(wèi)星按照計(jì)算出的控制量改變當(dāng)前運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，則其會(huì)按照一定的軌跡接近目標(biāo)衛(wèi)星。在一般情況下，設(shè)計(jì)一定的導(dǎo)引律作為追蹤衛(wèi)星接近目標(biāo)衛(wèi)星的交會(huì)變軌參數(shù)的計(jì)算方法。導(dǎo)引律的優(yōu)劣決定了機(jī)動(dòng)的精度以及機(jī)動(dòng)的代價(jià)的高低。為了方便起見(jiàn)，這里參考已有的研究成果[7]，選擇比例導(dǎo)引律作為追蹤衛(wèi)星接近目標(biāo)衛(wèi)星的導(dǎo)引規(guī)律。

在變軌決策仿真中采用如下矢量形式的比例導(dǎo)引率。某時(shí)刻追蹤衛(wèi)星位于Sm點(diǎn)，目標(biāo)衛(wèi)星位于ST點(diǎn)。設(shè)追蹤衛(wèi)星速度為vm，目標(biāo)衛(wèi)星速度為vT，追蹤衛(wèi)星的位置矢量Rm，目標(biāo)衛(wèi)星位置矢量RT,如圖2所示。

圖2 Hill坐標(biāo)系下比例導(dǎo)引示意圖

視線的絕對(duì)張角為η，追蹤衛(wèi)星方位角為θm，目標(biāo)衛(wèi)星方位角為θT和進(jìn)入角q及觀測(cè)角φ之間存在下列關(guān)系：

q=η-θT

(3)

φ=η-θm

(4)

導(dǎo)引律為

(5)

追蹤衛(wèi)星和目標(biāo)衛(wèi)星在Hill坐標(biāo)系下的相對(duì)速度為：

vr=vm-vT

(6)

追蹤衛(wèi)星和目標(biāo)衛(wèi)星在Hill坐標(biāo)系下的相對(duì)距離為：

Rr=Rm-RT=R·r0

(7)

則目標(biāo)線相對(duì)于追蹤衛(wèi)星的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度在Hill坐標(biāo)系下的投影為

(8)

由質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)定律可知：質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)所需的法向加速度大小等于其轉(zhuǎn)動(dòng)角速度矢量與其速度的矢量之積。由此根據(jù)比例導(dǎo)引律得到此時(shí)所需加速度矢量a為

×vm)

(9)

其中：K為比例導(dǎo)引系數(shù)，本文中在仿真時(shí)將K取值為4。

由此，根據(jù)上述比例導(dǎo)引律求取在非開(kāi)普勒軌道中，追蹤衛(wèi)星完成軌道交會(huì)變軌機(jī)動(dòng)過(guò)程中所需的加速度矢量，進(jìn)一步可以積分求解出追蹤衛(wèi)星變軌所需的速度增量。

對(duì)于非開(kāi)普勒軌道情況下的變軌決策，采用擬合邊界函數(shù)的方法。由于處于非開(kāi)普勒軌道上的衛(wèi)星受力狀況時(shí)刻在變化，而且衛(wèi)星在非開(kāi)普勒軌道上運(yùn)行不符合開(kāi)普勒三大定律，也不能使用二體問(wèn)題的基本方程求解，這時(shí)變軌所需要的參數(shù)就無(wú)法求取其解析解。隨機(jī)選取特征點(diǎn)，利用上面所述的比例導(dǎo)引方法計(jì)算追蹤衛(wèi)星在這些特征點(diǎn)上的變軌所需的速度增量，然后采用拉格朗日線性插值算法可以求取任意特征點(diǎn)上的速度增量，從而完成變軌決策判斷。

這里簡(jiǎn)述一下Lagrange插值算法。計(jì)算各個(gè)特征標(biāo)稱飛行時(shí)間的速度增量，構(gòu)造滿足插值條件Ln(tk)=vk，k=0,1,…,n的插值多項(xiàng)式。Lagrange插值算法多項(xiàng)式可以表示為：

(10)

當(dāng)n=1時(shí)，有

(11)

當(dāng)n=2時(shí)有

(12)

這里僅需用到2階Lagrange插值算法，故不再詳細(xì)闡述。通過(guò)以上拉格朗日插值算法，可以擬合出任意特征點(diǎn)變軌所需的速度增量，進(jìn)而求取邊界條件數(shù)據(jù)。

2 仿真結(jié)果

假設(shè)追蹤衛(wèi)星有一個(gè)燃料攜帶量，這個(gè)燃料攜帶量必然導(dǎo)致追蹤衛(wèi)星有一個(gè)可以接受的所需速度增量Δv的區(qū)間。在這里為了說(shuō)明問(wèn)題，選取特征條件為標(biāo)稱飛行時(shí)間?和追蹤衛(wèi)星與目標(biāo)衛(wèi)星的相對(duì)距離d，分別改變?和d的取值進(jìn)行交會(huì)變軌數(shù)據(jù)仿真，計(jì)算速度增量Δv。仿真的初始條件如表1所示。

表1 目標(biāo)衛(wèi)星和追蹤衛(wèi)星的初始軌道根數(shù)

利用Lagrange插值算法計(jì)算邊界條件函數(shù)方法求取相對(duì)距離d為5～30km，標(biāo)稱飛行時(shí)間?在0～2π之間的速度增量為Δv。為了方便起見(jiàn)，將相對(duì)距離和標(biāo)稱飛行時(shí)間取整，這樣計(jì)算起來(lái)比較方便。每1km之間?取1～5rad，共5個(gè)特征點(diǎn)并得到4組數(shù)據(jù)，如表2～5所示。

表2 d=30km時(shí)Δv隨?的變化關(guān)系表

表3 d=20km時(shí)Δv隨?的變化關(guān)系表

表4 d=10km時(shí)Δv隨?的變化關(guān)系表

表5 d=5km時(shí)Δv隨?的變化關(guān)系表

根據(jù)仿真的初始條件，追蹤衛(wèi)星在Hill坐標(biāo)系下的坐標(biāo)初始化為(-30000.0m,110.0m,200.0m)，目標(biāo)衛(wèi)星的坐標(biāo)在Hill坐標(biāo)系下為(0, 0, 0)。由仿真數(shù)據(jù)畫(huà)出追蹤衛(wèi)星在Hill坐標(biāo)系下的運(yùn)行軌跡，如圖3所示。

圖3 追蹤衛(wèi)星在Hill坐標(biāo)系下的運(yùn)行軌跡

根據(jù)Lagrange插值算法擬合出?隨d變化的曲線，如圖4所示。

圖4 Δv隨?和d取值變化曲線

圖4中標(biāo)稱飛行時(shí)間?單位量綱為s，所需速度增量的單位量綱為m/s。

3 總結(jié)與分析

在實(shí)際問(wèn)題中知道追蹤衛(wèi)星變軌所需的速度增量Δv是機(jī)動(dòng)時(shí)刻追蹤衛(wèi)星與目標(biāo)衛(wèi)星之間相對(duì)距離d與標(biāo)稱飛行時(shí)間?的函數(shù)，可以寫(xiě)成下列表達(dá)式：

Δv=f(d,?)

(13)

采用非開(kāi)普勒軌道機(jī)動(dòng)時(shí)，根據(jù)非開(kāi)普勒軌道衛(wèi)星運(yùn)行的特點(diǎn)，知道函數(shù)沒(méi)有解析解，只能通過(guò)數(shù)字仿真求解，通過(guò)大量數(shù)字仿真求取邊界條件，并根據(jù)以上數(shù)字仿真求出的大量數(shù)據(jù)，畫(huà)出追蹤衛(wèi)星變軌所需的速度增量Δv與追蹤衛(wèi)星與目標(biāo)衛(wèi)星之間相對(duì)距離d、追蹤衛(wèi)星標(biāo)稱飛行時(shí)間?之間的三維曲面圖，即可以擬合出1個(gè)邊界決策曲面如圖5所示。

圖5 Δv隨d與?的函數(shù)變化決策曲面

圖5為根據(jù)數(shù)字仿真的特征點(diǎn)擬合出的函數(shù)式(13)的曲面。從該決策曲面可以看出：

1)在一定相對(duì)距離下，所需速度增量隨著標(biāo)稱轉(zhuǎn)移時(shí)間的減小迅速增大；

2)在一定標(biāo)稱轉(zhuǎn)移時(shí)間內(nèi)，所需速度增量隨相對(duì)距離的增大而增大；

3)圖中包絡(luò)線上及其以下的空間代表可以進(jìn)行交會(huì)變軌機(jī)動(dòng)的區(qū)域，如果在實(shí)際的交會(huì)變軌決策中計(jì)算出所需的速度增量位于包絡(luò)線以上的某位置時(shí)，則此時(shí)不能做出變軌機(jī)動(dòng)；如果計(jì)算出的速度增量位于包絡(luò)面上及其以下某個(gè)位置時(shí)，則此時(shí)可以進(jìn)行交會(huì)變軌機(jī)動(dòng)。

4 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)對(duì)非開(kāi)普勒軌道上追蹤衛(wèi)星的交會(huì)變軌決策問(wèn)題的研究，提出了在非開(kāi)普勒軌道的條件下衛(wèi)星交會(huì)變軌決策問(wèn)題的近似求解方法。利用變軌決策的邊界條件畫(huà)出變軌決策曲面來(lái)解決非開(kāi)普軌道機(jī)動(dòng)變軌決策問(wèn)題。但由于在分析求解追蹤衛(wèi)星變軌所需的速度增量時(shí)，只考慮了兩衛(wèi)星之間距離及標(biāo)稱飛行時(shí)間等因素，使得決策曲面的精度不是很高，文中的變軌決策模型還有待在以后的工作中進(jìn)一步優(yōu)化。

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