修正黏性摩擦的LuGre模型的摩擦補償

譚文斌，李醒飛，向紅標(biāo)，吳騰飛，張晨陽

(1. 天津大學(xué)精密測試技術(shù)及儀器國家重點實驗室，天津 300072；

2. 天津理工大學(xué)機械工程學(xué)院，天津 300384；3. 天津商業(yè)大學(xué)機械工程學(xué)院，天津 300131)

摩擦力矩在機械伺服系統(tǒng)中普遍存在，并對機械伺服系統(tǒng)產(chǎn)生極大的不利影響，主要表現(xiàn)為機械伺服系統(tǒng)低速時出現(xiàn)爬行，穩(wěn)態(tài)時有較大的靜差或出現(xiàn)極限環(huán)振蕩等．隨著工業(yè)的發(fā)展，機械伺服系統(tǒng)的性能要求越來越高，對摩擦力矩的補償已成為當(dāng)前研究熱點[1]．為最大程度消除摩擦力矩的不利影響，摩擦補償必須同時具備快速性和精確性．基于摩擦模型的補償作為摩擦補償方法中應(yīng)用最為廣泛的一種，可以預(yù)估系統(tǒng)的摩擦力矩[2]，并通過前饋控制實現(xiàn)補償?shù)目焖傩?，而其補償?shù)木_性則取決于所依賴的摩擦模型的精確性．

隨著對摩擦研究的不斷深入，摩擦模型經(jīng)歷了由靜態(tài)模型到動態(tài)模型發(fā)展過程[3]，其中Canudas[4-5]于1995年提出的 LuGre摩擦模型，由于其能精確地描述預(yù)滑動位移、摩擦滯環(huán)、變靜摩擦、爬行以及Stribeck效應(yīng)等各種摩擦動靜態(tài)特性，已成為當(dāng)前基于模型的摩擦補償時最常采用的一種摩擦模型．如Felix等[6]利用 LuGre模型減輕了非理想振動；陳劍鋒等[7]基于LuGre模型進行了氣缸摩擦力特性實驗；王曉東等[8]將 LuGre模型和辨識結(jié)果引入電液加載系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，有效地提高了電液加載系統(tǒng)控制精度．但是 LuGre模型描述摩擦特性的精確性還有待進一步驗證，該模型認(rèn)為穩(wěn)定狀態(tài)下，摩擦在高速階段隨速度呈線性變化，但也有學(xué)者通過大量實驗發(fā)現(xiàn)該結(jié)論與實驗情況并不完全一致，如 Erkorkmaz等[9]通過 Kalman濾波器提取等效摩擦力矩的信號，發(fā)現(xiàn)高速階段隨著速度的增加，摩擦力矩的增加幅度降低．因此需要根據(jù)開放式伺服系統(tǒng)的實際情況對LuGre模型進行修正，以獲得更為精確的摩擦模型．

筆者在對傳統(tǒng)的 LuGre摩擦模型的黏性摩擦進行了修正，提出了 LuGre的修正模型，并基于該修正模型利用前饋補償?shù)目刂品桨笇崿F(xiàn)了開放式伺服系統(tǒng)的摩擦補償，有效地改善了系統(tǒng)的跟蹤性能，提高了系統(tǒng)的控制精度．

1 LuGre摩擦模型及修正

1.1 傳統(tǒng)LuGre摩擦模型

LuGre摩擦模型認(rèn)為剛體表面是通過有彈性的鬃毛接觸的，下表面材料的剛度大于上表面．當(dāng)施加外力時，由于切向力作用，鬃毛產(chǎn)生變形，從而產(chǎn)生摩擦力，當(dāng)切向力足夠大時，鬃毛進一步變形，以致產(chǎn)生滑動．設(shè)狀態(tài)量 z代表接觸面鬃毛的平均變形，摩擦力矩Tf可由LuGre模型描述[4]為

式中：θ˙為電機旋轉(zhuǎn)角速度；0σ為剛性系數(shù)，1σ為阻尼系數(shù)，均為動態(tài)摩擦參數(shù)；Tc為庫倫摩擦，Ts為靜摩擦，Bθ為黏性摩擦系數(shù)，θ˙s為切換速度，均為靜態(tài)摩擦參數(shù)．另外，該模型假設(shè) θ˙ (g)總是嚴(yán)格正實且有界．

當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)，即0z=˙時，由式(1)～式(3)得到此時摩擦力矩Tfss和速度之間的對應(yīng)關(guān)系為

因此，在穩(wěn)態(tài)時 LuGre摩擦模型能準(zhǔn)確地反映Stribeck效應(yīng)，如圖1所示．

圖1 Stribeck效應(yīng)Fig.1 Stribeck effect

1.2 LuGre摩擦修正模型

圖2所示為一種典型的開放式伺服系統(tǒng)，由工業(yè)控制計算機、Turbo PMAC運動控制器、交流伺服系統(tǒng)、滾珠絲杠螺母副、直線導(dǎo)軌以及運動平臺組成．

圖2 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.2 System structure diagram

當(dāng)平臺移動處于較低范圍內(nèi)(0～30,mm/s)時，傳統(tǒng) LuGre摩擦模型能很好地估計系統(tǒng)的摩擦力矩，基于該模型的摩擦補償可以有效地提高伺服系統(tǒng)的跟蹤精度[2]．當(dāng)速度為 0～150,mm/s時，根據(jù)文獻[2]所述方法可以得到上述系統(tǒng)的速度與摩擦力矩對應(yīng)關(guān)系，同時利用文獻[2]中低速條件下辨識得到的LuGre摩擦模型，對不同速度時的摩擦力矩進行估計，結(jié)果如圖3所示．從圖3中可以看出低速條件下辨識得到的 LuGre摩擦模型，在高速時對摩擦力矩的估計存在較大偏差，而且隨著速度的繼續(xù)升高，偏差越來越大．

圖3 平臺移動速度與摩擦力矩的對應(yīng)關(guān)系Fig.3 Relationship between platform speed and friction torque

由于在速度較高時，式(4)中非黏性摩擦部分基本不隨速度的變化而改變，因此圖4反映了黏性摩擦隨速度的增大其增長逐漸減緩的性質(zhì)，與 LuGre模型描述不符．從而需要對黏性摩擦進行修正，建立一種修正模型，新模型應(yīng)既能描述黏性摩擦增加趨勢變化的現(xiàn)象，又能體現(xiàn)傳統(tǒng)LuGre模型的特點．

本文描述黏性摩擦的公式為

(1) 對式(5)求導(dǎo)得

圖4 開放伺服系統(tǒng)摩擦前饋補償方案Fig.4 Friction feedforward compensation scheme of open servo system

由此可知，式(5)能很好地滿足建立修正模型的要求．據(jù)此，本文提出一種LuGre的修正模型為

式中：Bθ1為黏性摩擦斜率因子，N m?；Bθ2為黏性摩擦變化因子，s/rad．

2 前饋補償控制策略

伺服系統(tǒng)中由于摩擦力矩的影響，將產(chǎn)生一定的穩(wěn)態(tài)誤差，并且摩擦力矩越大，則穩(wěn)態(tài)誤差越大，同時，由摩擦的特性可知，摩擦隨速度的增加而增加，因此系統(tǒng)速度越高時，也將產(chǎn)生更大的穩(wěn)態(tài)誤差，需要采用合適的控制策略對其補償，以提高控制系統(tǒng)的性能．

通過辨識得到伺服系統(tǒng)準(zhǔn)確的摩擦模型后，可設(shè)計前饋補償器進行摩擦補償．其基本思想是在伺服系統(tǒng)的控制信號或者在電機力矩輸出轉(zhuǎn)矩上疊加一個補償信號來提高伺服系統(tǒng)的跟蹤精度，從而改善伺服系統(tǒng)的性能．圖 4所示為采用的摩擦前饋補償方案．首先對開放式伺服系統(tǒng)進行速度加速度前饋補償，確保由輸入信號引起的穩(wěn)態(tài)誤差為零；然后基于LuGre摩擦修正模型，在系統(tǒng)控制信號u上疊加摩擦補償信號，完成對伺服系統(tǒng)的摩擦前饋補償．利用Turbo PMAC控制器的用戶自定義伺服算法功能[10]，可以編寫實現(xiàn)該控制策略的伺服算法程序．

3 實驗及結(jié)果分析

首先分別辨識傳統(tǒng)模型和修正模型的參數(shù)，得到辨識結(jié)果如表1所示．

然后利用辨識后的模型對穩(wěn)態(tài)時的系統(tǒng)摩擦力矩進行估計，結(jié)果如圖 5所示，可以看出當(dāng)系統(tǒng)具有較高速度時，傳統(tǒng) LuGre模型對伺服系統(tǒng)摩擦力矩的估計具有較大的偏差，最大誤差為 0.023,N·m，而本文提出的修正模型在不同速度條件下均具有較高的估計精度，最大誤差為 1.7×10-3,N·m，為有效實現(xiàn)開放式伺服系統(tǒng)的摩擦補償提供條件．

表1 模型參數(shù)辨識結(jié)果Tab.1 Results of model parameter identification

圖5 平臺移動速度與摩擦力矩的對應(yīng)關(guān)系Fig.5 Relationship between platform speed and friction torque

最后驗證本文中提出的基于修正模型的摩擦前饋補償方法的有效性．采用 3種不同的補償方法，方法 A僅做速度、加速度前饋補償；方法 B在方法 A的基礎(chǔ)上，基于傳統(tǒng) LuGre模型進行摩擦前饋補償；方法 C在方法 A基礎(chǔ)上，基于修正模型進行摩擦前饋補償．當(dāng)系統(tǒng)具有較高的運行速度時，觀測對比 3種補償方法下系統(tǒng)的跟蹤誤差．

輸入勻加速運動信號(加速度為 500,mm/s2)時，如圖6所示，采用方法A時，系統(tǒng)的跟蹤誤差從零以較快速度增大到 40,μm，然后慢速增大，最大為91,μm；采用方法 B時，穩(wěn)態(tài)誤差在約±9,μm 的范圍內(nèi)波動；而采用方法C時，穩(wěn)態(tài)誤差的波動范圍縮小到約±5,μm．

輸入正弦信號(r(t)＝5,sin(3,πt)mm)時，如圖 7所示，采用方法A時，系統(tǒng)的跟蹤誤差從零快速增大215,μm 附近，然后快速減小，其穩(wěn)態(tài)誤差在±80,μm范圍內(nèi)波動；采用方法B時，系統(tǒng)的跟蹤誤差從零快速增大 160,μm 附近，然后快速減小，其穩(wěn)態(tài)誤差在±12.5,μm 范圍內(nèi)波動；采用方法 C 時，其穩(wěn)態(tài)誤差得到更好的抑制，在±8,μm范圍內(nèi)波動．

圖6 勻加速運動時的跟蹤誤差和位移曲線Fig.6 Curves of tracking error and displacement for uniformly accelerated motion

圖7 正弦運動時的跟蹤誤差和位移曲線Fig.7 Curves of tracking error and displacement for sinusoidal motion

由此可知，采用基于傳統(tǒng)模型或者修正模型的摩擦前饋補償時，開放式伺服系統(tǒng)的跟蹤性能得到不同程度的改善；而修正模型能更準(zhǔn)確地預(yù)估系統(tǒng)的摩擦力矩，基于修正模型的摩擦前饋補償能使系統(tǒng)跟蹤誤差得到更好的抑制，提高了系統(tǒng)的控制精度．

4 結(jié) 論

(1) 對傳統(tǒng) LuGre摩擦模型的黏性摩擦進行了修正，建立了 LuGre摩擦修正模型，并提出了一種基于修正模型的摩擦前饋補償方案．

(2) 當(dāng)系統(tǒng)具有較高速度時，修正模型對系統(tǒng)摩擦力矩的最大估計誤差為 0.001,7,N·m，優(yōu)于傳統(tǒng)模型的 0.023,N·m．

(3) 與基于傳統(tǒng)模型的摩擦補償相比，基于修正模型的摩擦補償時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，加速運動時由±9,μm 降到±5,μm，正弦運動時由±12.5,μm 降到±8,μm．

(4) 本文中提出的摩擦模型在不同速度條件下均能對系統(tǒng)摩擦力矩進行準(zhǔn)確預(yù)估，采用本文提出的補償方案能有效地抑制摩擦干擾對伺服系統(tǒng)的不利影響，提高了伺服系統(tǒng)的跟蹤性能．

［1］ 向紅標(biāo)，裘祖榮，李醒飛，等. 測量機滾珠絲杠z軸伺服系統(tǒng)的動力學(xué)建模及補償[J]. 天津大學(xué)學(xué)報，2011，44(4)：291-296.

Xiang Hongbiao，Qiu Zurong，Li Xingfei，et al. Dynamic modeling and compensation for the ball screwzaxis servo system of measuring machine [J].Journal of Tianjin University，2011，44(4)：291-296(in Chinese).

［2］ 譚文斌，李醒飛，向紅標(biāo)，等. 應(yīng)用穩(wěn)態(tài)誤差分析辨識LuGre模型參數(shù)[J].光學(xué)精密工程，2011，19(3)：664-671.

Tan Wenbin，Li Xingfei，Xiang Hongbiao，et al.Parameter identification of LuGre model based on analysis of steady state error [J].Opt Precision Eng，2011，19(3)：664-671(in Chinese).

［3］ 劉麗蘭，劉宏昭，吳子英，等. 機械系統(tǒng)中摩擦模型的研究進展[J]. 力學(xué)進展，2008，38(2)：201-213.

Liu Lilan，Liu Hongzhao，Wu Ziying，et al. An overview of friction models in mechanical systems [J].Advances in Mechanics，2008，38(2)：201-213(in Chinese).

［4］ Canudas C. A new model for control of systems with friction [J].IEEE Transactions on Automatic Control，1995，40(3)：419-425.

［5］ Canudas C. Comments on “a new model for control of systems with friction”[J].IEEE Transactions on Automatic Control，1998，43(8)：1189-1190.

［6］ Felix J L P，Balthazar J M，Brasil R M L，et al. On LuGre friction model to mitigate nonideal vibrations [J].Journal of Computational and Nonlinear Dynamics，2009，4(3)：034503.

［7］ 陳劍鋒，劉 昊，陶國良. 基于 LuGre摩擦模型的氣缸摩擦力特性實驗 [J]. 蘭州理工大學(xué)學(xué)報，2010，36(3)：55-59.

Chen Jianfeng，Liu Hao，Tao Guoliang，et al.Experiment on friction characteristics of pneumatic cylinders base on LuGre model [J].Journal of Lanzhou University of Technology，2010，36(3)：55-59(in Chinese).

［8］ 王曉東，焦宗夏，謝劭辰. 基于 LuGre模型的電液加載系統(tǒng)摩擦補償[J]. 北京航空航天大學(xué)學(xué)報，2008，34(11)：1254-1257.

Wang Xiaodong，Jiao Zongxia，Xie Shaochen. LuGrebased compensation for friction in electro-hydraulic loading [J].Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2008，34(11)：1254-1257(in Chinese).

［9］ Erkorkmaz K，Kamalzadeh A. High bandwidth control of ball screw drives[J].CIRP Annals-Manufacturing Technology，2006，55(1)：393-398.

［10］ Delta Tau Data Systems，Inc. Turbo PMAC User Manual[EB/OL]. http：//www. deltatau. com/Manuals/ default. aspx，2008-09-16.