一個新超混沌系統(tǒng)及其線性反饋同步*

高智中

(安徽科技學院理學院,安徽 鳳陽 233100)

隨著基于混沌的保密通信領域的技術研究和發(fā)展，對混沌系統(tǒng)的復雜性提出了更高要求?；煦绶纯刂频哪康闹痪褪钱a生更復雜的混沌信號，包括更復雜的吸引子拓撲結構和超混沌的動力學特性。對超混沌系統(tǒng)及其同步的研究將是信息工程領域中混沌應用的一個重要課題。設計超混沌系統(tǒng)的方法主要是采用仿真計算來發(fā)現和驗證超混沌吸引子的存在。近幾年，能產生超混沌吸引子的系統(tǒng)屢見報道，受到了廣大科研工作者的普遍關注并取得了大量成果[1-10]。目前對混沌同步的研究主要有以下幾個方面：混沌系統(tǒng)完全同步、相同步、廣義同步、滯后同步和投影同步等,控制器的設計大多采用非線性控制器，且為每個子狀態(tài)設計了控制器[11]。本文在一個新三維自治混沌系統(tǒng)基礎上，通過引入非線性控制器，構造了一個可產生超混沌現象的四維系統(tǒng)，分析了該四維系統(tǒng)的動力學行為，包括平衡點性質、吸引子的存在性與有界性、對稱性、Lyapunov指數譜和分岔圖等，系統(tǒng)超混沌的存在性通過Lyapunov指數譜得到驗證。與以往的超混沌系統(tǒng)相比，該系統(tǒng)的結構較簡單，且超混沌的參數范圍較大。對該系統(tǒng)的某一狀態(tài)變量設計了一種線性牽制控制器，實現了該系統(tǒng)的線性反饋同步，結果表明該方法正確有效。

1 超混沌模型及其超混沌吸引子

2006年Liu等[12]提出了1個新的混沌系統(tǒng),其動力學方程為

當a=10,b=35,c=1.4時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

該四維系統(tǒng)保證了吸引子相空間的維數為4，且含有非線性乘積項，滿足了產生超混沌的必要條件[13]。選取典型參數a=10,b=35,c=1.4,m=13，初始值(10,10,10,10)，利用Jacobi方法計算系統(tǒng)的Lyapunov指數為LE1=0.400 1,LE2=0.173 9,LE3=0,LE4=-11.957 6， 其中有兩個正的Lyapunov指數，并且所有Lyapunov指數之和小于零，其Lyapunov維數為3.048，充分說明系統(tǒng)處于超混沌運動，對應的超混沌吸引子在各平面上的投影如圖1所示。

2 新超混沌系統(tǒng)的動力學分析

2.1 對稱性

顯然系統(tǒng)存在一個對稱變換S:(x,y,z,u)→(-x,-y,z,-u)，在變換S的作用下具有不變性，即系統(tǒng)關于z軸對稱，并且這種對稱性對所有的系統(tǒng)參數均成立。

2.2 平衡點及其穩(wěn)定性

令系統(tǒng)的每一個方程等于零，得系統(tǒng)的唯一平衡點O(0,0,0,0)，它與系統(tǒng)參數的取值無關。系統(tǒng)在平衡點O(0,0,0,0)處的Jacobi矩陣為

其特征方程(λ+1.4)(λ3+10λ2-350λ+130)=0，四個特征根分別是λ1=-1.4,λ2=-24.501 4,λ3=14.125 8,λ4=0.375 6都為實根，其中兩個為正值，兩個為負值，所以此平衡點是不穩(wěn)定的鞍點，這從理論上證明了該系統(tǒng)存在超混沌的可能性。

2.3 吸引子的存在性與有界性

2.4 動力學行為演化

在已有的混沌分析方法中，只有Lyapunov指數法可以區(qū)分系統(tǒng)是處于混沌狀態(tài)還是超混沌狀態(tài)，其它方法均不能區(qū)分系統(tǒng)是處于混沌狀態(tài)還是超混沌狀態(tài)[14]。當固定a=10,b=35,c=1.4，變量x隨新引入的參數m在[0,40]變化的分岔圖和Lyapunov指數譜圖(這里略去了第四根Lyapunov指數曲線)如圖2(a)和(b)所示。利用Lyapunov指數譜分析時,對于平衡點有LE40,LE2=0,LE4LE2>0,LE3=0,LE4<0,LE1+LE2+LE3+LE4<0。從圖2(b)可以看出,當m∈[0,23.4]時,存在兩個正的Lyapunov指數,顯然系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)；而m∈[23.4,30]時系統(tǒng)的LE1=0,LE4

圖2 (a) 系統(tǒng)的分岔圖，(b) 系統(tǒng)的Lyapunov指數譜圖

為了說明系統(tǒng)中周期和擬周期軌跡的特點，本文分別對典型參數m=25,31,40這些m值上的相軌跡進行數值仿真，經計算當m=25時系統(tǒng)的Lyapunov指數為0,-0.091,-0.099,-11.204 6，系統(tǒng)處于周期狀態(tài)；當m=31時系統(tǒng)的Lyapunov指數為0,0,-0.089 3,-11.307 6，系統(tǒng)處于擬周期狀態(tài)；當m=40時系統(tǒng)的Lyapunov指數為0,-0.094 2,-0.091 6,-11.214 2， 系統(tǒng)處于周期狀態(tài)。圖3和圖4分別給出了系統(tǒng)在z-u平面上和x-u平面上的相軌跡圖，由圖可見系統(tǒng)的各狀態(tài)在不同平面上的相軌跡具有不同的形狀。

圖3 系統(tǒng)的相軌跡在z-u平面上的投影

圖4 系統(tǒng)的相軌跡在x-u平面上的投影

3 新超混沌系統(tǒng)的線性反饋同步

設驅動系統(tǒng)為

構造響應系統(tǒng)為

其中p為待設計的線性反饋控制器。

令誤差變量為

則兩系統(tǒng)的誤差系統(tǒng)可化為

選取線性控制器p=-13e1-10e4，則誤差系統(tǒng)可進一步化為

4 結 論

本文基于一個三維混沌系統(tǒng)構造了一個新的四維超混沌系統(tǒng)，簡要地分析了系統(tǒng)的基本動力學行為，通過分岔圖、Lyapunov指數譜及相圖的數值仿真研究了超混沌系統(tǒng)的運動規(guī)律。設計了一種線性牽制控制器，實現了該系統(tǒng)的線性反饋同步，結果表明該方法容易實現、同步速度快、同步結果穩(wěn)定。所得結果為該超混沌系統(tǒng)在混沌保密通信中的應用提供了理論參考。

圖5 兩系統(tǒng)的同步誤差曲線

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