諧和與隨機噪聲聯(lián)合參數(shù)激勵下Mathieu系統(tǒng)的矩穩(wěn)定性*

張又又，戎海武

(1．佛山科學技術(shù)學院信息與教育技術(shù)中心，廣東 佛山 528000；2. 佛山科學技術(shù)學院數(shù)學系，廣東 佛山 528000)

Mathieu系統(tǒng)是一個典型的模型，很多實際問題可以用該系統(tǒng)來描述，并且具有豐富的動力學現(xiàn)象[1-2]。對于確定性諧和激勵下Mathieu系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，已經(jīng)有許多成熟的理論成果[3-4]。在實際系統(tǒng)中，隨機噪聲往往是不可避免的，例如研究暴風雨、地震和海浪等對系統(tǒng)的影響。研究隨機噪聲激勵下Mathieu系統(tǒng)的響應(yīng)問題引起的眾多研究者的注意[5-11]，也許首先研究此類問題的學者是Stratonovich和Romanovski[5],Cai等[6]則研究了隨機外激下Mathieu系統(tǒng)的響應(yīng)。對于Mathieu系統(tǒng)，人們更為關(guān)注的是隨機參激下系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，而隨機穩(wěn)定性有多種定義，常用的有幾乎必然穩(wěn)定性和矩穩(wěn)定性等[12]。戎海武等[7]用多尺度法求出了隨機隨機參激下Mathieu系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)，根據(jù)Lyapunov指數(shù)的符號可以確定系統(tǒng)的幾乎必然穩(wěn)定性。研究較多的是矩穩(wěn)定性[8-10]，都用用隨機平均法進行研究。Li等[11]則用隨機Melnikov方法研究了系統(tǒng)的分叉和混沌。而對于在確定性諧和與隨機噪聲聯(lián)合激勵情形，則很少見到研究，本文將在這方面做一些嘗試。本文用隨機平均法研究了在確定性諧和與隨機噪聲聯(lián)合參數(shù)激勵下Mathieu系統(tǒng)的矩穩(wěn)定性問題，對于一階矩給出系統(tǒng)穩(wěn)定充分必要條件的解析表達式，對于二階矩給出系統(tǒng)穩(wěn)定充分必要條件的數(shù)值算法。

1 模型的提出及隨機平均法

考慮受到確定性諧和與隨機噪聲聯(lián)合參數(shù)激勵下Mathieu系統(tǒng)

εβΩΩ2[1+εξ(t)]y=0

(1)

(2)

由于(2)式右端有小參數(shù)ε，可以用隨機平均法[12-13]進行研究。(2)式右端中有諧和激勵sin Ω1t，常用的坐標變換y(t)=a(t)cosφ(t)不適合，可以采用如下的坐標變換[13]

(3)

將(3)式代入(2)式可得

(4)

對(4)式進行確定性和隨機平均[12-13]可得如下Stratonovich意義下的隨機微分方程

(5)

(6)

2 矩穩(wěn)定性

從方程(6)可以看出，平凡解(零解)y1(t)=y2(t)=0是存在的，本文就討論平凡解的穩(wěn)定性。常見的穩(wěn)定性討論中主要有幾乎必然穩(wěn)定性和矩穩(wěn)定性，本文討論方程(6)平凡解的矩穩(wěn)定性。在下面的推導過程中主要研究一、二階矩的穩(wěn)定性，其他高階矩的穩(wěn)定性可以類似討論。引入數(shù)學期望算子E[●]，利用伊藤[12]法則由方程(6)可以得到一階矩E[y1],E[y2]滿足的常微分方程為

(7)

由常微分方程的理論可以知道E[y1],E[y2]穩(wěn)定的充分必要條件是方程(7)系數(shù)矩陣的特征值λ的實部都小于零，容易知道λ滿足的方程為

(8)

由(8)式可以求得兩個特征值λ1,λ2為

(9)

由(9)式可以知道λ1,λ2的實部都小于零即E[y1],E[y2]穩(wěn)定的充分必要條件是

(10)

(11)

A=

(12)

特征值的實部都小于零。由(12)式可以知道矩陣A,B特征值實部符號相同，為了簡單起見考慮矩陣B的特征值λ,容易知道λ滿足的方程為

det(λI3×3-B)=

(13)

式中I3×3表示3階單位矩陣。從(13)式可以看出，λ滿足的方程是3次多項式方程，3次多項式方程根的解析表達式很復雜，給定系統(tǒng)參數(shù)后可以用數(shù)值方法由(13)求出λ的數(shù)值解λ1,λ2,λ3，則系統(tǒng)二階矩穩(wěn)定的充分必要條件是λ1,λ2,λ3的實部都小于零，

Re(λi)<0,i=1,2,3

(14)

圖1 系統(tǒng)(1)矩穩(wěn)定區(qū)域

圖2 系統(tǒng)(1)矩穩(wěn)定區(qū)域

圖3 系統(tǒng)(1)矩穩(wěn)定區(qū)域

圖4 系統(tǒng)(1)矩穩(wěn)定區(qū)域

圖5 系統(tǒng)(1)矩穩(wěn)定區(qū)域

3 結(jié)論與討論

用隨機平均法研究了確定性諧和與隨機噪聲聯(lián)合參數(shù)激勵下Mathieu系統(tǒng)的矩穩(wěn)定性，給出了一階矩穩(wěn)定充分必要條件的解析表達式和二階矩穩(wěn)定充分必要條件的數(shù)值算法。結(jié)果表明，無論是相對于一階矩還是二階矩的穩(wěn)定性，隨著隨機噪聲強度變大、確定性諧和激勵振幅變大，系統(tǒng)的穩(wěn)定性區(qū)域變小從而使得系統(tǒng)變得不穩(wěn)定，從而表明隨機噪聲使得系統(tǒng)不穩(wěn)定化。而當調(diào)諧參數(shù)趨于零系統(tǒng)達到參數(shù)主共振情形時，系統(tǒng)的穩(wěn)定性區(qū)域變得最小。當隨機噪聲強度逐漸變小趨于零時，由二種矩穩(wěn)定性給出的穩(wěn)定性區(qū)域變得一致。

本文研究中，變換(3)是一種比較有力的工具，可以用于處理確定性諧和與隨機噪聲聯(lián)合激勵的情形。從圖2和圖3中還發(fā)現(xiàn)一種類似于確定性系統(tǒng)跳躍現(xiàn)象的穩(wěn)定域跳躍現(xiàn)象。

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