基于扭擺的力學(xué)譜儀在強(qiáng)迫振動模式下的延時誤差分析*

楊岳彬，左文龍，保延翔，劉樹郁，李龍飛，熊小敏

(1.中山大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，廣東 廣州 510006;2.中山大學(xué)光電材料與技術(shù)國家重點實驗室∥廣東省光伏技術(shù)重點實驗室∥物理科學(xué)與工程技術(shù)學(xué)院 廣東 廣州 510275;3.中山大學(xué)東校區(qū)教學(xué)實驗中心 廣東 廣州 510006)

內(nèi)耗是表征固體機(jī)械能損耗的物理量，內(nèi)耗與固體中的微結(jié)構(gòu)，如：相界、位錯、空位的性質(zhì)及其演化等有重要聯(lián)系[1]?；谂[的內(nèi)耗儀即葛氏扭擺[2]是目前低頻內(nèi)耗測量中重要的實驗手段，近年來被廣泛應(yīng)用于合金馬氏體相變[3-5]、缺陷運動[6-8]等研究領(lǐng)域。近年來扭擺型內(nèi)耗儀在經(jīng)過改進(jìn)后也可以實現(xiàn)對流體黏彈性行為的測量，因此發(fā)展成為了集固體內(nèi)耗測量、流體黏彈性測量為一體的力學(xué)譜測量儀器。

扭擺型內(nèi)耗儀的工作模式分為自由衰減和強(qiáng)迫振動兩種，在實際內(nèi)耗測量中人們發(fā)現(xiàn)：雖然強(qiáng)迫振動法具有可以實現(xiàn)連續(xù)變頻測量的優(yōu)點，但強(qiáng)迫振動法的測量精度遠(yuǎn)低于自由衰減法，利用強(qiáng)迫振動法測量得到的內(nèi)耗值往往比自由衰減法測量得到的結(jié)果偏大。在進(jìn)行流體黏彈性測量中，我們也發(fā)現(xiàn)測量結(jié)果計算出的黏度與理論值總是存在2-3%左右的系統(tǒng)誤差。

本文分析、討論了扭擺型內(nèi)耗儀在強(qiáng)迫振動法測量內(nèi)耗時的系統(tǒng)誤差，發(fā)現(xiàn)誤差主要是由測量系統(tǒng)中電路延時及機(jī)械延時導(dǎo)致的。在此基礎(chǔ)上我們提出了測量系統(tǒng)總延時的實驗方法，同時使用測量得到的系統(tǒng)延時對扭擺型力學(xué)譜儀在強(qiáng)迫振動模式下的測量結(jié)果進(jìn)行了修正，從而使之在強(qiáng)迫振動模式下可測量得到更為精確的固體內(nèi)耗值及液體黏度值。

1 基于扭擺的強(qiáng)迫振動法測量固體內(nèi)耗時主要誤差分析

我們首先利用倒扭擺內(nèi)耗儀討論在強(qiáng)迫振動模式下測量內(nèi)耗時的主要誤差來源。

倒扭擺內(nèi)耗測量儀結(jié)構(gòu)如圖 1 (a)所示，其中1為擺桿，2為底座及支架，3為固體試樣，4為懸線及扭絲，5為電磁線圈，6為永磁鐵，7為反射鏡，8為螺桿，9為附加配重砝碼(3組)，10為光源，11為二象限光電池。

圖1 倒扭擺內(nèi)耗測量儀示意圖

當(dāng)電磁線圈中通過交變電流時，將會產(chǎn)生交變磁場，使擺桿作同頻率的強(qiáng)迫振動。這時，擺桿的運動方程如下

(1)

(2)

如果測量得到各個頻率下應(yīng)變落后于應(yīng)力的相位差以及系統(tǒng)的共振頻率，就可以根據(jù)(2)式得到樣品的內(nèi)耗-頻率譜。我們測量了恒彈性合金的內(nèi)耗-頻率譜如圖 2所示，內(nèi)耗-頻率譜上出現(xiàn)了一個很寬的內(nèi)耗峰，更換其它樣品如：銅，鈦等，都在相近的頻率存在類似的內(nèi)耗峰，這表明，圖 2中的內(nèi)耗峰不是樣品本身的性質(zhì)，而是由于測量系統(tǒng)引起的系統(tǒng)誤差。

圖2 強(qiáng)迫振動法測量得到的內(nèi)耗—頻率譜

從交變應(yīng)力的施加方法看，應(yīng)力是通過具有一定的長度(約60 cm)的擺桿傳遞到樣品上的，該過程需要用扭轉(zhuǎn)振動的波動方程進(jìn)行嚴(yán)格描述。當(dāng)利用強(qiáng)迫振動法進(jìn)行內(nèi)耗測量時，由于忽略了扭轉(zhuǎn)振動在擺桿上的傳播所需要的時間，使得在實際測量應(yīng)變落后于應(yīng)力的相位差時引入了系統(tǒng)誤差。

另一方面，從應(yīng)變的測量方法看，擺桿扭轉(zhuǎn)的角位移是通過如圖 1 (b)所示的光杠桿法進(jìn)行測量的。擺桿扭轉(zhuǎn)時，光斑在左右兩塊光電池上的分布發(fā)生變化，進(jìn)而產(chǎn)生交變電流信號。為了對這一應(yīng)變信號進(jìn)行放大以進(jìn)行檢測分析，同時保證電路擁有非常低的噪聲以及失真度，我們使用了如圖 3 (a)所示的電路。其中，引入電容CF使電路保持穩(wěn)定，電阻RF則決定了電路的增益。

上述電路可以等效為一個有源二階巴特沃斯低通濾波器。電路的等效模型如圖3(b)所示[9]。該電路的相位特性如下[10]

圖 3 應(yīng)變信號測量電路

(4)

式中α表示濾波器的阻尼比，其值為濾波器Q值的倒數(shù)，ω0=2πfb為截止角頻率，ω為系統(tǒng)當(dāng)前工作的角頻率。

由(4)式可以看出，電路的延時表達(dá)式是非線性的，由α及ω0共同決定。而且，實際中，往往無法精確標(biāo)定光電池的結(jié)電容和內(nèi)阻，因此從電路角度精確標(biāo)定(4)式引起的相位偏差幾乎是不可能的。

綜上所述，在扭擺的諧振子模型中，機(jī)械波傳播所帶來的延時和應(yīng)變測量電路的延時是測量應(yīng)變落后于應(yīng)力相位差的系統(tǒng)誤差的主要來源。并且隨著測量頻率的增大，延時對相位差測量的影響會越發(fā)嚴(yán)重，導(dǎo)致相位差的誤差增大?；谂[的內(nèi)耗儀在測量相位差時都采用了類似的模式，因此同樣受到了系統(tǒng)延時誤差的影響。這使得內(nèi)耗儀無法在較高的頻率下進(jìn)行準(zhǔn)確的測量。

2 扭擺系統(tǒng)延時的測量原理及其實現(xiàn)

考慮扭擺型內(nèi)耗儀在另一種模式——自由衰減模式下進(jìn)行內(nèi)耗測量時，是通過測量衰減波形幅值的變化得到樣品內(nèi)耗的。這一過程并不涉及到波形的相位測量，因而上述系統(tǒng)延時不影響自由衰減的測量結(jié)果。

我們提出如下的測量系統(tǒng)延時的方法：首先通過自由衰減法測量得到樣品在自由衰減頻率ω下的內(nèi)耗精確值為tanφ，考慮強(qiáng)迫振動的共振頻率為ω0，則在頻率ω進(jìn)行強(qiáng)迫振動測量時應(yīng)變落后于應(yīng)力下相位差δ應(yīng)該滿足：

(5)

若這時通過頻率為ω的強(qiáng)迫振動測量得到的應(yīng)變與應(yīng)力的相位差為δ′，則δ′-δ即為由系統(tǒng)延時引起的誤差。假設(shè)這時系統(tǒng)延時為τ，考慮到測量頻率為ω，則由系統(tǒng)延時引起的強(qiáng)迫振動相位差測量誤差為ωτ，由此我們可以計算出系統(tǒng)的延時τ：

(6)

為了使自由衰減的頻率ω與強(qiáng)迫振動測量時的系統(tǒng)共振頻率ω0不至于太接近，并且讓系統(tǒng)可以在不同的多個頻率下進(jìn)行自由衰減測量，我們設(shè)計了一種可以在保持樣品狀態(tài)不變的情況下改變系統(tǒng)轉(zhuǎn)動慣量的裝置如圖 1 (c)。裝置包括擺桿上增加的一個垂直于擺桿軸線的螺桿，以及與之相配的三組配重砝碼(圖中只畫出一組)，每組砝碼可以旋緊固定在擺桿中加入的螺桿上，以改變系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量，從而實現(xiàn)了進(jìn)行不同頻率下自由衰減測量。

根據(jù)上述的方法，利用三組不同的配重對三個頻率下的延時進(jìn)行測量：其中自由衰減分別在三組不同的配重下進(jìn)行測量，相應(yīng)的得到了三個不同頻率，53.21 Hz，45.72 Hz以39.36 Hz及 下的樣品內(nèi)耗，之后在沒有附加配重的條件下測量得到了系統(tǒng)的共振頻率為70.53 Hz并在頻率53.21 Hz，45.72 Hz以及39.36 Hz下測量了強(qiáng)迫振動的相位差。可以計算出相應(yīng)不同頻率下的系統(tǒng)延時如表 1所示。

表1 不同頻率下的內(nèi)耗及延時

3 修正強(qiáng)迫振動法測量時延時產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差

3.1 修正強(qiáng)迫振動法測量固體內(nèi)耗的誤差

根據(jù)上述方法測量得到的不同頻率下的系統(tǒng)延時后，即可對采用強(qiáng)迫振動測量內(nèi)耗的方法進(jìn)行修正。在強(qiáng)迫振動模式下測量得到不同頻率下的相位差δ′(ω)后，使用之前測量得到的不同頻率下的系統(tǒng)3延時通過插值法獲得相應(yīng)頻率下的系統(tǒng)延時τ(ω)，并根據(jù)δ=δ′-ωτ相位差的測量結(jié)果進(jìn)行了修正，并根據(jù)修正后的相位差計算得到了系統(tǒng)不同頻率下的內(nèi)耗值：

我們使用強(qiáng)迫振動法對金屬Ti樣品在30～50 Hz這一頻段的內(nèi)耗進(jìn)行了測量，并利用之前獲得的系統(tǒng)延時通過插值法擴(kuò)展后對測量得到的相位差進(jìn)行了修正。根據(jù)修正后的結(jié)果計算出樣品的內(nèi)耗-頻率曲線，并與自由衰減測量得到的內(nèi)耗比較如圖 4所示。

圖4 強(qiáng)迫振動內(nèi)耗經(jīng)過延時修正后的結(jié)果及與自由衰減內(nèi)耗的比較

從圖 4中可以看出，使用延時對強(qiáng)迫振動的測量結(jié)果進(jìn)行修正后，在很寬的頻率范圍內(nèi)均可使強(qiáng)迫振動測量得到的固體樣品內(nèi)耗和自由衰減測量得到的內(nèi)耗更接近。但對于不同的樣品，由于樣品長度不完全一致，機(jī)械部分造成的延時可能略有不同，這也導(dǎo)致經(jīng)過修正后的內(nèi)耗與自由衰減的測量結(jié)果之間存在偏差。綜上所述，使用延時修正已經(jīng)很大程度上改善了強(qiáng)迫振動測量法直接測量內(nèi)耗絕對值的誤差。本文通過測量延時，可以有效地對強(qiáng)迫振動的內(nèi)耗測量結(jié)果進(jìn)行修正，使強(qiáng)迫振動法也可以有效的測量出樣品內(nèi)耗的精確值，同時也為扭擺型內(nèi)耗儀在寬頻率的連續(xù)變頻內(nèi)耗譜的測量奠定了基礎(chǔ)。

3.2 修正強(qiáng)迫振動法測量液體黏度的誤差

基于扭擺的內(nèi)耗儀也可以通過加裝附件作為流變儀用于進(jìn)行液體黏彈性測量。如圖 5所示，圖中1為擺桿，2為底座及支架，3為固體試樣，4為懸線及扭絲，5為電磁線圈，6為永磁鐵，7為反射鏡，8為螺桿，9為轉(zhuǎn)桶，10為盛液桶。未加入液體時，可以通過強(qiáng)迫振動法測量得到系統(tǒng)的內(nèi)耗，而加入液體后，系統(tǒng)的損耗由固體樣品的內(nèi)耗和液體引起的阻尼損耗組成，這時系統(tǒng)的運動方程為：

(1+itanφ)θ=M0eiωt

(7)

其中ML為液體的黏滯耦合力矩，若考慮密度為ρ、黏度為η的純黏性流體，當(dāng)轉(zhuǎn)桶半徑為r、液體與轉(zhuǎn)桶的接觸面積為S、振動頻率為ω時，液體對轉(zhuǎn)桶產(chǎn)生的黏滯耦合力矩為：

·ei(ωt-δ)·ei3π/4

(8)

由此可以計算出這時應(yīng)變落后于應(yīng)力的相位差為：

(9)

圖5 基于扭擺的流變儀示意圖

如果可以準(zhǔn)確的測量得到固體樣品的內(nèi)耗以及加入液體后強(qiáng)迫振動的相位差，即可計算出待測液體的黏度：

(10)

上述的方法可以實現(xiàn)對液體黏度的絕對測量，而實現(xiàn)絕對測量則需要實現(xiàn)固體內(nèi)耗以及相位差準(zhǔn)確值的測量。我們利用上述儀器對18 ℃下水的黏度進(jìn)行了測量。若在測量中不考慮延時的影響，則測量得到的固體內(nèi)耗和加入液體后的相位差均偏大，這時計算得到的水黏度為1.041 mPa·s，與文獻(xiàn)報道中18 ℃下水的黏度1.056 mPa·s相差約2%。若考慮系統(tǒng)在測量頻率下的延時，對測量得到的固體內(nèi)耗和加入液體后的相位差進(jìn)行修正后，計算得到的水的黏度為1.059 mPa·s，與文獻(xiàn)報道中的值非常接近。這說明在利用這類方法進(jìn)行相位差測量時，通過修正延時引起的系統(tǒng)誤差，可以有效地提高測量的準(zhǔn)確度。

4 結(jié) 論

本文通過分析倒扭擺內(nèi)耗儀在強(qiáng)迫振動模式下的測量原理，指出扭擺型內(nèi)耗儀強(qiáng)迫振動法測量誤差主要來源于系統(tǒng)延時——包括機(jī)械波傳播延時和電路延時。本文提出了測量系統(tǒng)延時的方法，利用測量得到的系統(tǒng)延時分別對強(qiáng)迫振動模式下固體內(nèi)耗和液體黏度的測量結(jié)果進(jìn)行了修正，很大程度上消除了內(nèi)耗測量值的系統(tǒng)誤差，同時使液體黏度的絕對測量誤差由3%減少到1%以內(nèi)。這些結(jié)果表明，通過修正系統(tǒng)延時誤差可以有效的提高力學(xué)譜儀在強(qiáng)迫振動模式下的測量精度，為實現(xiàn)高精度的固體內(nèi)耗-頻率譜、流體黏彈性-頻率譜的測量提供了重要的幫助。

參考文獻(xiàn)：

[1]NOWICK A S,BERRY B S.Anelastic relaxation in crystalline solids[M].Academic Press,1972.

[2]葛庭燧.扭擺內(nèi)耗儀的發(fā)明和內(nèi)耗研究的開拓與發(fā)展[J].力學(xué)進(jìn)展，1994(3): 336-352.

[3]李永華，王芳，鄭潔，等.Ni_(49.8)Ti_(50.2)合金馬氏體逆相變的瞬態(tài)內(nèi)耗與頻率間關(guān)系的定量分析[J].金屬熱處理，2008(2): 85-88.

[4]劉軍民.MnCu合金熱彈性馬氏體相變過程中的非線性內(nèi)耗行為[J].物理學(xué)報，1997(12)：1.

[5]吳青云，宮晨利，廖軍.Cu-Al-Ni-Mn-Ti合金相變弛豫特性的研究[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2008(1): 93-95.

[6]閻琦，史文，李麟，等.內(nèi)耗法研究退火溫度對含釩BH鋼中固溶C原子濃度的影響[J].上海金屬，2011(5): 10-14.

[7]張進(jìn)修，陳嵐，孟薈，等.BaTiO_3陶瓷中氧缺位引起的弛豫內(nèi)耗峰[J].中山大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2004，43(6)：181-182.

[8]劉文峰，李益，歐陽紅群，等.Na_xCo_2O_4陶瓷的力學(xué)弛豫和阻抗弛豫研究[J].中山大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版,2009，48(3)：33-36.

[9]FRANCO S.基于運算放大器和模擬集成電路的電路設(shè)計[M].劉樹棠，朱茂林，榮玟，譯.西安：西安交通大學(xué)出版社，2009.

[10]JUNG W.Op amp applications handbook[M].Amsterdam:Elsevier/Newnes,2006.