基于粒子群優(yōu)化算法的均值-VaR投資組合選擇*

曾艷姍，李仲飛

(1.中山大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510275；2. 仲愷農(nóng)業(yè)工程學(xué)院 計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510225；3. 中山大學(xué)嶺南學(xué)院∥金融工程與風(fēng)險(xiǎn)管理研究中心，廣東 廣州 510275)

Value-at-Risk (VaR)，也稱(chēng)風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值，是指在某一給定置信水平和時(shí)間水平下可能遭受的最大損失[1]。1994年， Morgan J P投資銀行首先推出了基于VaR的風(fēng)險(xiǎn)度量系統(tǒng)。隨后，VaR被廣泛應(yīng)用于各大金融機(jī)構(gòu)和監(jiān)管部門(mén)，成為度量金融風(fēng)險(xiǎn)的重要標(biāo)準(zhǔn)。它在金融業(yè)的廣泛應(yīng)用，激發(fā)了學(xué)術(shù)界的研究興趣，一些學(xué)者采用VaR代替方差作為風(fēng)險(xiǎn)度量，研究了均值-VaR模型下的最優(yōu)投資決策問(wèn)題。Alexander等[2]在收益率服從正態(tài)分布的假設(shè)下，最小化給定期望收益水平下投資組合的VaR，得到了該模型最優(yōu)解及有效前沿的表達(dá)式，并把相應(yīng)的結(jié)果推廣到了收益率為非正態(tài)分布的情形。姚京等[3]在文獻(xiàn)[2]的基礎(chǔ)上引入負(fù)債，討論了均值-VaR模型有效前沿的一些性質(zhì)。姚海祥等[4]把基于均值和VaR的一般二元效用函數(shù)(關(guān)于均值遞增，關(guān)于VaR遞減)作為模型的目標(biāo)函數(shù)，研究在收益率服從正態(tài)分布時(shí)含無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)且借貸利率不同情形下的均值-VaR模型。上述文獻(xiàn)中都允許賣(mài)空，但我國(guó)作為新興的證券市場(chǎng)，目前對(duì)賣(mài)空交易是完全禁止的。張鵬[5]使用旋轉(zhuǎn)算法求解了在正態(tài)分布情形下不允許賣(mài)空的均值-VaR模型。還有一些學(xué)者是通過(guò)把VaR作為約束引入模型中，研究VaR約束對(duì)最優(yōu)投資組合的影響[6-8]。

然而，上述研究均未考慮有限賣(mài)空約束(允許賣(mài)空，但賣(mài)空不能超過(guò)一定的比例)、投資比例約束及交易成本。事實(shí)上，有限賣(mài)空在發(fā)達(dá)證券市場(chǎng)具有普遍性。在賣(mài)空交易中，當(dāng)投資者認(rèn)為某種證券價(jià)格將下跌時(shí)，可以通過(guò)繳納一部分保證金向券商借入證券賣(mài)出，等價(jià)格跌到一定程度后再買(mǎi)回同樣證券交還以牟取價(jià)差。從市場(chǎng)角度看，賣(mài)空制度有利于加強(qiáng)市場(chǎng)的有效性和流動(dòng)性，從投資者角度看，賣(mài)空既豐富了其盈利模式又為其提供了避險(xiǎn)工具。但是在監(jiān)管能力不足以駕馭賣(mài)空活動(dòng)的情況下，賣(mài)空可能引致市場(chǎng)動(dòng)蕩、市場(chǎng)濫用和交割混亂等問(wèn)題。因此，即使賣(mài)空交易已被絕大多數(shù)成熟證券市場(chǎng)所采用，賣(mài)空行為仍然受到一些限制。例如，美國(guó)通過(guò)調(diào)整保證金比率的高低來(lái)控制證券市場(chǎng)的賣(mài)空交易量，各證券交易所也都設(shè)有追加保證金的規(guī)定。香港交易所對(duì)賣(mài)空交易的監(jiān)管更嚴(yán)格，可以根據(jù)市場(chǎng)狀況隨時(shí)暫停某一證券的賣(mài)空交易或者限定賣(mài)空數(shù)量上限。再者，由于投資者受到某些法律法規(guī)的約束及自身風(fēng)險(xiǎn)管理的需要，投資在某些資產(chǎn)上的資金比例不能超過(guò)一定值。此外，在交易過(guò)程中，需支付印花稅等交易成本。因此，在本文中，我們考慮了限制投資在個(gè)股上的資金比例，限制賣(mài)空總量及交易成本的情形。首先構(gòu)建了更貼近實(shí)際的均值-VaR模型，在收益率服從正態(tài)分布和非正態(tài)分布兩種情形下證明了均值-VaR有效前沿的性質(zhì)及與均值-方差有效前沿的關(guān)系；其次，給出了求解模型的PSO算法，進(jìn)一步采用A股市場(chǎng)實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行了數(shù)值實(shí)驗(yàn)；最后，正如Byrne等[9]所啟示的，沒(méi)有一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)度量是完勝的，理解現(xiàn)有風(fēng)險(xiǎn)度量的異同使投資者根據(jù)投資目標(biāo)準(zhǔn)確地選擇恰當(dāng)?shù)娘L(fēng)險(xiǎn)度量更為重要，Byrne等[9]使用市場(chǎng)數(shù)據(jù)比較了n階半偏差、絕對(duì)偏差、極大極小風(fēng)險(xiǎn)與方差在最小化“風(fēng)險(xiǎn)度量”下得到的投資組合。在本文中，我們通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)分析VaR與方差風(fēng)險(xiǎn)度量在選擇投資組合上的特點(diǎn)與異同，比較了賣(mài)空總量限制與個(gè)股賣(mài)空比例限制對(duì)投資者賣(mài)空行為的制約程度和投資決策的影響，并探討其原因，為中國(guó)證券市場(chǎng)的賣(mài)空約束研究提供一些參考。相比而言，本文有兩方面的創(chuàng)新：(i)同時(shí)考慮了三種貼合市場(chǎng)實(shí)際的約束，構(gòu)造了更接近實(shí)際的模型；(ii) 采用了較新的粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行求解。

本文結(jié)構(gòu)如下：第一節(jié)構(gòu)建了相應(yīng)的均值-VaR模型；第二節(jié)給出了PSO算法，敘述了PSO算法中的約束修正函數(shù)以及模型的算法流程；第三節(jié)采用A股市場(chǎng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了數(shù)值實(shí)驗(yàn)，討論了VaR風(fēng)險(xiǎn)度量在投資組合選擇上的特點(diǎn)、驗(yàn)證均值-VaR與均值-方差有效前沿的關(guān)系以及有限賣(mài)空約束對(duì)投資決策的影響；最后一節(jié)是結(jié)論。

1 均值-VaR投資組合模型

假設(shè)投資者選擇n種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)進(jìn)行組合投資，第i種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的期望收益率為ri，它們收益率的協(xié)方差矩陣為∑=(σij)n×n(假設(shè)是非奇異的)，xi表示投資在第i種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的資金比例，則投資組合x(chóng)=(x1,x2,…,xn)滿足

(1)

≤1+2k

(2)

當(dāng)k=0時(shí)，不允許賣(mài)空，當(dāng)k=+∞時(shí)，允許(無(wú)限)賣(mài)空。

設(shè)投資在各個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的資金比例具有上、下界限制。這個(gè)限制既可能是由于某些法律法規(guī)、監(jiān)管條件所決定，也有可能出于自身風(fēng)險(xiǎn)管理的需要。設(shè)li≥0和ui≥0，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比例限制為

-li≤xi≤ui,i=1,2,…,n

(3)

當(dāng)li=ui=+∞時(shí)，對(duì)投資在第i個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的資金比例無(wú)限制；當(dāng)li=0時(shí)，則限制第i個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)不允許賣(mài)空。滿足(1)-(3)的投資組合的集合記作S，即

(4)

(5)

投資組合的方差為

σij

(6)

為了得到不同期望收益下，方差最小的投資組合，引入?yún)?shù)λ∈[0,1]，令F0(x)=λ×(6)-(1-λ)×(5)，則均值-方差(M-V)模型可表示為

s.t. (1)-(4)

(7)

當(dāng)λ=0時(shí)，模型(7)得到最大化期望收益的投資組合，不考慮投資組合的方差風(fēng)險(xiǎn)。當(dāng)λ=1時(shí)，模型(7)得到最小化方差風(fēng)險(xiǎn)的投資組合，不考慮該組合期望收益。由此,λ的大小反映出投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度，稱(chēng)λ為風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)。取任意λ∈[0,1]，對(duì)應(yīng)可得到模型(7)的最優(yōu)投資組合，這些投資組合均值和方差構(gòu)成的集合{ (均值, 方差) }為模型(7)的有效前沿。

設(shè)投資組合的收益率為γ，給定置信度α(α>0.5)，則γ的VaR定義為

Prob(γ≤-VaRα)=1-α

用μ和σ分別表示γ的期望和標(biāo)準(zhǔn)差，則VaRα=κ(α)σ-μ， 即

(8)

為了得到不同期望收益下，最小化VaR的投資組合，引入風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)λ∈[0,1]，令F1(x)=λ×(8)-(1-λ)×(5)，則均值-VaR (M-VaR)模型可表示為

s.t. (1)-(4)

(9)

定義1 給定置信度α(α>0.5)，投資組合x(chóng)∈S在均值-VaR模型的有效前沿上當(dāng)且僅當(dāng)不存在投資組合x(chóng)′∈S，使得E(x′)≥E(x)和Vα(x′)≤Vα(x)且其中至少有一個(gè)不等式嚴(yán)格成立。

定理1 給定置信度α1>α2>0.5，模型(9)在置信度α2下的有效前沿是其在置信度α1下的有效前沿的子集。

≤

定理2 給定置信度α(α>0.5)，(i) 模型(9)的有效前沿是模型(7)的有效前沿的子集； (ii) 當(dāng)α→1，模型(9)的有效前沿收斂到模型(7)的有效前沿。

2.2.2 滲漏損失 滴灌淖爾底部與側(cè)部主要為黏土層，透水性差。根據(jù)典型淖爾滲漏量計(jì)算結(jié)果，結(jié)合《水庫(kù)設(shè)計(jì)手冊(cè)》中的滲漏損失估算法及滲漏計(jì)算經(jīng)驗(yàn)數(shù)值，考慮到淖爾底部、側(cè)部黏土層分布的不均勻性，淖爾滲漏可參照地質(zhì)優(yōu)良型水庫(kù)，最終確定滲漏損失系數(shù)為0.5%（月滲漏量占月平均蓄水量的比例）。2008—2016 年滲漏損失量為593×104～1 465×104m3，灌溉關(guān)鍵期滲漏損失占全年滲漏損失量的36%～46%，滲漏損失是淖爾水損失的次要途徑。

2 PSO算法優(yōu)化求解

模型(9)是一個(gè)帶約束的非線性規(guī)劃問(wèn)題，利用最優(yōu)化理論很難得到解析解。PSO算法具有原理簡(jiǎn)單、實(shí)現(xiàn)容易、通用性強(qiáng)、優(yōu)化效果好等特點(diǎn)，已被廣泛用于連續(xù)或離散型優(yōu)化問(wèn)題的求解[12-13]。本文采用PSO算法求解，根據(jù)模型(9)設(shè)定了粒子位置矢量的表達(dá)、迭代更新公式、適應(yīng)度函數(shù)以及設(shè)計(jì)特定的修正函數(shù)處理約束條件，最后給出了算法的流程圖。

2.1 粒子迭代

ω

(10)

(11)

其中，c1和c2為正的加速常數(shù)，r1和r2為[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)，ω為慣性權(quán)因子。

2.2 適應(yīng)度函數(shù)

粒子群算法設(shè)置適應(yīng)度函數(shù)來(lái)評(píng)價(jià)每次迭代后的個(gè)體最優(yōu)粒子和群體最優(yōu)粒子。以模型的目標(biāo)函數(shù)作為適應(yīng)度函數(shù)，可表示為

(12)

(13)

其中，f1(p)是模型(9)在正態(tài)分布情形下第p個(gè)粒子的適應(yīng)度函數(shù)，f2(p)是模型(9)在非正態(tài)分布情形下第p個(gè)粒子的適應(yīng)度函數(shù)。

2.3 約束修正

基于PSO算法的約束優(yōu)化方法主要分為兩類(lèi)[14]： 1)罰函數(shù)法；2)設(shè)計(jì)特定的進(jìn)化操作或約束修正因子。針對(duì)約束(1)-(3)設(shè)計(jì)約束修正函數(shù)，把非可行粒子按原來(lái)得到的迭代位置修正到可行空間S上，使得每次迭代后的粒子位置都是可行解。

(14)

(15)

(16)

(17)

若α=0和δ=0同時(shí)成立， 則滿足約束(3)，調(diào)整結(jié)束。

綜上，約束修正函數(shù)Arrange()的偽代碼如下：

Begin

Ifη-θ≠1 then run (14)

Endif

Ife>0 then run (15)

Endif

Endif

Endif

End

整個(gè)算法的流程圖如圖1所示。

圖1 帶約束修正的PSO算法流程圖

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)與結(jié)果

本節(jié)采用A股市場(chǎng)實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)，進(jìn)一步驗(yàn)證定理1-2，并研究均值-VaR與均值-方差模型中投資組合選擇的異同以及分析有限賣(mài)空約束對(duì)投資決策的影響。

3.1 模型數(shù)據(jù)與算法的參數(shù)設(shè)置

從上證50中隨機(jī)選取6只股票：S1(潞安環(huán)能, 601699)、 S2(海螺水泥, 600585) 、 S3(上海汽車(chē), 600104) 、S4(中金黃金, 600489) 、S5(金地集團(tuán), 600383) 、S6(三一重工, 600031)，以2009年4月1日至11月30日的8個(gè)月的月收益率作為樣本數(shù)據(jù) (數(shù)據(jù)來(lái)源：國(guó)元領(lǐng)航)，得到月收益率的均值見(jiàn)表1。

表1 股票月收益率的均值

協(xié)方差矩陣∑=(σij)6×6為

模型的常量取值：賣(mài)空總量限制k=1，初始投資比例x0=(0.2,0.2,0.2,0.2,0.1,0.1)，投資比例限制(-li,ui)=(-0.5,1)，買(mǎi)入交易費(fèi)率cb=0.4%，賣(mài)出交易費(fèi)率cs=0.5%。

本文的粒子群算法采用線性遞減慣性權(quán)重因子[14]，即

3.2 結(jié)果分析

賣(mài)空比例k=1，置信度α=0.95，λ=0.2，0.5，0.8。 在正態(tài)分布情形下，各運(yùn)行30次取其策略的平均值，圖2是λ=0.2時(shí)的適應(yīng)度函數(shù)值的收斂趨勢(shì)，可以看出帶約束修正的PSO算法的求解結(jié)果收斂且穩(wěn)定。

圖2 適應(yīng)度函數(shù)值的收斂趨勢(shì) (λ=0.2)

表2為正態(tài)分布情形下的結(jié)果，可以看出，λ=0.2時(shí)，投資組合中有4個(gè)股票達(dá)到投資比例的界限(上界或下界)，λ=0.5和λ=0.8時(shí)有3個(gè)股票達(dá)到比例的界限。

表2 正態(tài)分布情形下的均值-VaR模型的最優(yōu)投資組合(k=1,α=0.95)

表3為非正態(tài)分布情形下的結(jié)果，可看到投資組合中達(dá)到投資比例的界限(上界或下界)在λ=0.2時(shí)有3個(gè)股票，λ=0.5有2個(gè)和λ=0.8時(shí)有1個(gè)股票。隨著風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)的增大，投資于各股票的比例由集中趨于分散。

表3 非正態(tài)分布情形下的均值-VaR模型的最優(yōu)投資組合(k=1,α=0.95)

圖3 正態(tài)分布情形下均值-VaR有效前沿

接下來(lái)，考察不同置信度下均值-VaR模型的有效前沿的關(guān)系并比較均值-VaR模型與均值-方差模型下的有效前沿。令λi=0.05i,i=0,1,2,…,20。分別得到均值-方差模型(7)和均值-VaR模型(9)對(duì)應(yīng)不同風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)λi的21組最優(yōu)組合，在均值-方差坐標(biāo)系下描繪出均值-方差模型(7)和均值-VaR模型(9)的最優(yōu)組合的有效前沿。在收益率服從正態(tài)分布(圖3)和非正態(tài)分布(圖4)情形下，可以看到均值-VaR投資組合的有效前沿都是均值-方差有效前沿(AD段)的子集，置信度α=0.8的投資組合的有效前沿(CD段)是置信度α=0.975時(shí)(BD段)的子集。也就是說(shuō)，置信度α(α>0.5)越小，投資者越傾向于高風(fēng)險(xiǎn)高收益的投資組合，置信度的選擇反映出投資者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度。同時(shí)注意到，(i) 投資者選擇VaR作為風(fēng)險(xiǎn)度量，與方差作比較，并不能得到帕累托最優(yōu)的投資組合；(ii) 數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果與定理1，2相符。

圖4 非正態(tài)分布情形下均值-VaR有效前沿

比較方差與VaR兩種風(fēng)險(xiǎn)度量下的投資組合的差異。

從圖5和圖6可看出，當(dāng)λ=1時(shí)，即投資者最小化VaR風(fēng)險(xiǎn)得到的投資組合的收益要比最小化方差風(fēng)險(xiǎn)得到的組合收益要大，對(duì)應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)也大。同時(shí)，隨著λ的變化，均值-VaR模型得到的投資組合的收益和風(fēng)險(xiǎn)變化比均值-方差模型的變化要平穩(wěn)，特別是風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)較大的情形。如，λ∈[0.9,1]時(shí)，均值-方差模型得到的投資組合的風(fēng)險(xiǎn)和收益波動(dòng)大。均值-VaR模型得到的投資組合的收益和風(fēng)險(xiǎn)的范圍要比均值-方差模型的要小，這是因?yàn)椴煌耐顿Y者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)λ所反映的風(fēng)險(xiǎn)程度的主觀感受有所不同，均值-VaR模型中加入了置信度的選擇，使投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)偏好程度的反映更直觀具體，實(shí)際上縮小了投資者的選擇范圍，提高了投資決策的效率。

最后，我們探討一下有限賣(mài)空約束對(duì)投資者決策的影響。

圖5 正態(tài)分布情形時(shí)不同λ對(duì)應(yīng)的最優(yōu)組合下的收益

圖6 非正態(tài)分布情形時(shí)不同λ對(duì)應(yīng)的最優(yōu)組合下的收益

圖7 正態(tài)分布情形下有限賣(mài)空約束對(duì)有效前沿的影響

從圖7和圖8可以看出，對(duì)追求組合收益最大的投資者，賣(mài)空總量限制比個(gè)股的賣(mài)空比例限制對(duì)投資的約束更強(qiáng)。從而對(duì)投資決策影響更大，而對(duì)追求組合風(fēng)險(xiǎn)最小的投資者，情況可能有所不同。對(duì)追求組合收益最大的投資者，對(duì)比表4和表5中λ=0的情形，當(dāng)市場(chǎng)放松賣(mài)空總量約束后，投資者的賣(mài)空總比例由1增加到2，即追求組合收益最大的投資者傾向于大量賣(mài)空收益率低或負(fù)相關(guān)的證券同時(shí)集中買(mǎi)進(jìn)收益高的個(gè)股，因而能夠大幅提高投資者的投資收益同時(shí)又能分散風(fēng)險(xiǎn)。但是也說(shuō)明了，若市場(chǎng)對(duì)賣(mài)空總量不設(shè)限制，容易大量累積信用風(fēng)險(xiǎn)，當(dāng)市場(chǎng)狀態(tài)發(fā)生突然改變，可能會(huì)對(duì)市場(chǎng)造成嚴(yán)重沖擊。對(duì)追求組合風(fēng)險(xiǎn)最小的投資者，對(duì)比表4和表5中λ=1的情形發(fā)現(xiàn)，若最小化帶個(gè)股賣(mài)空比例約束的VaR得到的投資組合的賣(mài)空總量不超過(guò)限制時(shí)，則個(gè)股的賣(mài)空比例約束可能導(dǎo)致不能集中賣(mài)空某只收益低的個(gè)股，從而相同風(fēng)險(xiǎn)下，收益可能要比沒(méi)有賣(mài)空比例限制的要低。

表4 正態(tài)分布情形時(shí)不同約束下的均值-VaR模型的最優(yōu)投資組合(α=0.95)

表5 非正態(tài)分布情形時(shí)不同約束下的均值-VaR模型的最優(yōu)投資組合(α=0.95)

4 結(jié) 論

本文考慮實(shí)際市場(chǎng)的有限賣(mài)空約束，包括賣(mài)空總量限制和個(gè)股投資比例限制，構(gòu)建了帶交易成本的均值-VaR投資組合模型，該模型具有一般性，通過(guò)對(duì)模型中參數(shù)k和l的取值變化，模型可以轉(zhuǎn)化成不允許賣(mài)空和允許(無(wú)限)賣(mài)空的兩種特殊情形。針對(duì)模型的約束條件設(shè)計(jì)特定的約束修正函數(shù)，采用PSO算法求解。在收益率服從正態(tài)分布和非正態(tài)分布兩種情形下，分別對(duì)VaR風(fēng)險(xiǎn)度量和有限賣(mài)空約束對(duì)投資者的投資組合影響進(jìn)行討論，得到以下的結(jié)論：(i) 均值-VaR的有效前沿是均值-方差有效前沿的子集；(ii) 與方差相比，VaR風(fēng)險(xiǎn)度量縮小了投資者的投資組合選擇范圍，置信度越小，該范圍越小；(iii) 與方差相比，追求組合風(fēng)險(xiǎn)最小的投資者若選擇VaR作風(fēng)險(xiǎn)度量將會(huì)得到風(fēng)險(xiǎn)更大的投資組合；(iv) 與個(gè)股賣(mài)空比例限制相比，賣(mài)空總量限制對(duì)追求組合收益最大的投資者的約束更強(qiáng)，從而對(duì)投資決策影響更大。由于有限賣(mài)空在發(fā)達(dá)證券市場(chǎng)具有普遍性，因而本文在允許有限賣(mài)空情況對(duì)VaR風(fēng)險(xiǎn)度量和模型約束的分析更接近實(shí)際。

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