例說(shuō)解析幾何中的解題求簡(jiǎn)意識(shí)

解析幾何是用代數(shù)方法來(lái)研究幾何問(wèn)題的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科，若使用方法不當(dāng)，往往會(huì)使解題過(guò)程繁瑣冗長(zhǎng)，以至很難解答出問(wèn)題.因此如何選取合理解題途徑與方法簡(jiǎn)化運(yùn)算就顯得尤為重要.本文結(jié)合具體問(wèn)題，從回歸定義意識(shí)、巧設(shè)方程意識(shí)、整體推進(jìn)意識(shí)、借助平幾意識(shí)、向量滲透意識(shí)、結(jié)論應(yīng)用意識(shí)六個(gè)方面談?wù)勅绾螐?qiáng)化求簡(jiǎn)意識(shí)，提高解析幾何的求解能力.

所謂求簡(jiǎn)意識(shí)，是指在求解過(guò)程中，全面考查題設(shè)條件以及條件和結(jié)論的聯(lián)系，經(jīng)過(guò)分析、比較，選擇最佳的求解過(guò)程的意識(shí).解析幾何是用代數(shù)方法來(lái)研究幾何問(wèn)題的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科，若使用方法不當(dāng)，往往會(huì)使解題過(guò)程繁瑣冗長(zhǎng)，以至很難解答出問(wèn)題結(jié)果.因此如何選取合理解題途徑與方法簡(jiǎn)化運(yùn)算，就顯得尤為重要.下面結(jié)合具體問(wèn)題，從幾個(gè)方面談?wù)勅绾螐?qiáng)化求簡(jiǎn)意識(shí)，提高解析幾何的求解能力.

一、回歸定義意識(shí)

波利亞曾說(shuō)過(guò)：“當(dāng)你不能解決一個(gè)問(wèn)題時(shí)，不妨回到定義去！”利用定義解題是一種最直接、最本質(zhì)的方法，能起到事半功倍的效果.正確理解概念，掌握其本質(zhì)屬性，并在運(yùn)用中不斷加深認(rèn)識(shí)，是強(qiáng)化求簡(jiǎn)意識(shí)的必要前提.

例1：已知點(diǎn)P（1，-1），曲線C：■+■=1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在曲線C上運(yùn)動(dòng)，求2|MF|+|MP|的最小值.

分析：如果以動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為變量，建立函數(shù)關(guān)系式， 求函數(shù)的最小值，思路易得到，但運(yùn)算較困難，如果能正確理解橢圓的定義，將2|MF|轉(zhuǎn)化為|MN|，再利用幾何性質(zhì)|MN|+|MF|≥|M0N0|+|M0P|，則能簡(jiǎn)捷地求出最小值，即|PM0 |=3.

點(diǎn)評(píng)：凡涉及焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、準(zhǔn)線、焦準(zhǔn)距、焦半徑等問(wèn)題，往往與定義有關(guān)，求解時(shí)采用回歸定義策略能避開(kāi)復(fù)雜的運(yùn)算，使問(wèn)題巧妙獲解.

二、巧設(shè)方程意識(shí)

根據(jù)題設(shè)條件特點(diǎn)，選用恰當(dāng)?shù)闹本€方程和圓錐曲線方程是強(qiáng)化求簡(jiǎn)意識(shí)的重要手段.

例2：求漸近線為x+2y=0且與直線5x-6y-8=0相切的雙曲線的方程.

分析：若設(shè)雙曲線方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，由于焦點(diǎn)位置不確定，則需分情況討論.但如果根據(jù)漸近線方程和雙曲線方程的關(guān)系，把雙曲線方程設(shè)為x2-4y2=λ（λ≠0），則可避開(kāi)討論.設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0），通過(guò)雙曲線方程又可把切線方程巧設(shè)為xx0-4yy0-λ=0，它應(yīng)與5x-6y-8=0重合，得λ=4，從而雙曲線方程為■-y2=1，整個(gè)解題思路體現(xiàn)出簡(jiǎn)潔之美.

點(diǎn)評(píng)：求曲線方程時(shí)，若能根據(jù)題目的特點(diǎn)，采用相應(yīng)的設(shè)法，則可達(dá)到避繁就簡(jiǎn)的目的.

三、整體推進(jìn)意識(shí)

在解析幾何學(xué)習(xí)中，若把要解決的某些數(shù)學(xué)問(wèn)題當(dāng)作一個(gè)整體，對(duì)其進(jìn)行整體分析，整體變換，整體轉(zhuǎn)化，能起到以簡(jiǎn)馭繁作用.從整體入手處理問(wèn)題是強(qiáng)化求簡(jiǎn)意識(shí)的重要思想.

例3：已知點(diǎn)P（a，b）是圓C：x2+y2=r2外一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)引圓C的兩條切線，切點(diǎn)為A、B，求過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線方程.

分析：若按常規(guī)思想方法，則先求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出直線方程.本題由于是字母運(yùn)算，計(jì)算繁雜，學(xué)生往往望而生畏.如果運(yùn)用“設(shè)而不求”的整體思想：設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)A（x1，y1）、B（x2， y2），但不急于去求A、B的坐標(biāo)，再充分考慮題中條件的內(nèi)在聯(lián)系，整體推進(jìn)，使問(wèn)題解答趨于簡(jiǎn)潔.事實(shí)上，設(shè)A（x1，y1）、B（x2， y2），則切線PA、PB的方程分別為x1x+y1y=r2，x2x+y2y=r2，由于PA、PB都過(guò)P點(diǎn)，所以有ax1+by1=r2，ax2+by2=r2，又因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線，故直線AB的方程為ax+by=r2.