有限元方法在“電動(dòng)力學(xué)”中的應(yīng)用研究

摘 要：電動(dòng)力學(xué)作為一門理論物理的基礎(chǔ)課程，是用數(shù)學(xué)語言來描述作為一門理論物理的基礎(chǔ)課程，是用數(shù)學(xué)語言來描述，求解復(fù)雜電磁學(xué)問題的技術(shù)條件，同時(shí)也出現(xiàn)了加有限元方法等有效的計(jì)算方法。文章主要探討有限元方法在“電動(dòng)力學(xué)”中的應(yīng)用研究。

關(guān)鍵詞：有限元方法；電動(dòng)力學(xué)；應(yīng)用

中圖分類號：O442-4 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1006-8937（2012）35-0113-02

光量子就是一種“左”和“右”的奇異偏振粒子，由于偏振的對稱或不對稱，而發(fā)生光波在干涉過程中的系統(tǒng)偏振化。蘇聯(lián)科學(xué)家瓦維洛夫設(shè)計(jì)的許多光學(xué)實(shí)驗(yàn)，十分有趣地說明了光的偏振是光學(xué)過程的基本現(xiàn)象之一。所有的實(shí)驗(yàn)都表明，光是一種粒子現(xiàn)象，而一切單色的運(yùn)動(dòng)的微觀粒子群都表現(xiàn)為粒子的波的本性。

1 電動(dòng)力學(xué)原理

1.1 光量子

電子是一個(gè)小旋渦體。光量子是由2個(gè)質(zhì)量相等、自旋相反的電子在小黃道面（E平面）上結(jié)合的雙粒子。

以化學(xué)鍵結(jié)合的電子偶，由于在雙電子中間結(jié)合帶，質(zhì)點(diǎn)所受向心力被抵消，使質(zhì)點(diǎn)沿圓切線方向被拋出，在反沖力推動(dòng)下，光量子會沿曲率半徑為無限大的圓“自己運(yùn)動(dòng)”，因此，光量子的靜止質(zhì)量等于零。在處理光量子運(yùn)動(dòng)學(xué)問題時(shí)，可將它比成一個(gè)按周期間歇振蕩，在時(shí)間與空間中補(bǔ)充燃料質(zhì)量近似等于噴出燃料質(zhì)量，自己推進(jìn)的小火箭。因?yàn)楣饬孔邮怯?個(gè)電子在E平面上結(jié)合而成的，所以它是偏振的，有E⊥H⊥c。圖1表示電子偶在小黃道面上的物質(zhì)旋渦運(yùn)動(dòng)呈疏密相間的條帶分布（類似太陽系中的小行星環(huán)縫）。由于共振效應(yīng)，雙電子只能停留在各物質(zhì)環(huán)縫上結(jié)合。這些環(huán)縫是光量子的能級△En。處于不同分立能級狀態(tài)下結(jié)合的雙電子的中心距an不同，其電子的質(zhì)量虧損也不同。an愈小的光量子有愈大的能級。光量子的能級表征了它特有的固有振動(dòng)頻率。是每個(gè)光量子的固有振動(dòng)頻率決定了光的顏色，并與光波波長有密切關(guān)系。

自旋電子的場的開放性使單個(gè)電子很難單獨(dú)游離存在，所以，電子團(tuán)一般都是由偶數(shù)個(gè)“左”和“右”自旋的單電子在E平面上結(jié)合形成的。而由奇數(shù)個(gè)單電子組成的總自旋角動(dòng)量不為零的電子鏈條通常是不穩(wěn)定的衰變粒子團(tuán)。每一個(gè)電子團(tuán)的固有振動(dòng)頻率為vc，其中每個(gè)電子的瞬時(shí)振動(dòng)速度為光速±C并具有內(nèi)能mec2。不同的光量子所需外場激發(fā)能量不同。在電場中的電子團(tuán)受電場力被加速。外場所做的功除表現(xiàn)為電子團(tuán)的動(dòng)能增加外，由于阻力，所以還表現(xiàn)在對電子團(tuán)壓縮變形的質(zhì)量虧損上。因此，在電場中運(yùn)動(dòng)的電子團(tuán)，根據(jù)瞬時(shí)速度不同，被壓縮的能級狀態(tài)也不同。不同能級狀態(tài)下的電子團(tuán)有不同的固有振動(dòng)頻率vc，恰恰是這個(gè)固有振動(dòng)頻率vn記憶了能量壓縮過程。取在放電管中電子團(tuán)的固有振動(dòng)頻率最大值vmax，平均振動(dòng)頻率v=■，當(dāng)時(shí)v=c，就有下面電動(dòng)力學(xué)的基本方程：

式中，me為單電子的質(zhì)量，h為普朗克常數(shù)。

當(dāng)在放電管中充滿某種氣體分子，且在氣體第一電離電位臨界點(diǎn)上，氣體電離原子的主振頻率等于電子團(tuán)的平均固有振動(dòng)頻率vn時(shí)，則發(fā)生電子團(tuán)在共振中被破壞，分散成在一個(gè)平面上對稱輻射的2個(gè)或3個(gè)光量子（單態(tài)或三重態(tài)），形成最強(qiáng)的線狀光譜的輻射。

1.2 粒子的干涉和光波的內(nèi)部結(jié)構(gòu)

因?yàn)槲⒂^粒子質(zhì)量很小，粒子之間開放鍵的作用相對很強(qiáng)，所以，任何兩個(gè)電子團(tuán)或光量子，在小夾角的碰撞中都表現(xiàn)為粒子最原始的干涉形式。我們把這種碰撞叫做“吸引碰撞”或“排斥碰撞”。例如，兩個(gè)沿同方向，在E平面上以小夾角相遇的光量子，因?yàn)榛ハ嗫拷碾娮幼孕较蛳喾磩t互相吸引，使在“吸引碰撞”后的兩個(gè)光量子沿其速度矢量夾角平分線ψ方向運(yùn)動(dòng)。而兩個(gè)向反方向運(yùn)動(dòng)的光量子在E平面上相遇時(shí)，由于互相靠近的電子自旋方向相同而發(fā)生“排斥碰撞”相互分離。其他各種偏振的、對稱或是不對稱的碰撞形式，讀者可以自己研究。例如，偏振面互相垂直的兩個(gè)光量子，相互碰撞就不能發(fā)生干涉現(xiàn)象。光量子在干涉或界面反射過程中往往發(fā)生系統(tǒng)的偏振化，成為圓偏振光或橢圓偏振光。

在空間中任何按一定平均自由程分布的“單色偏振態(tài)相同或相近微觀粒子群”都能發(fā)生上述粒子的干涉現(xiàn)象。光波就是由光量子組成的、自己推進(jìn)的粒子波。在光源的附近就已經(jīng)發(fā)生干涉所形成的光線上，包含著許多長程無序分布的“線波包”。在每個(gè)“線波包”內(nèi)是由光源在一次輻射，經(jīng)過干涉而聚集的光量子。光量子在“線波包”內(nèi)排列是有序的，前后兩組光量子之間的距離為 mλ（m是正整數(shù)，λ是波長）。

如圖2所示，由一次輻射所分開的兩條相干光線上，當(dāng)“線波包”之間的光程差小于它本身的長度時(shí)，在一定干涉孔徑條件下，兩條光線能夠發(fā)生干涉。在圖2中給定的初始條件下，從小孔光源S或S’毫無規(guī)律地向任意方向輻射的光量子，只能在與S7或S兩個(gè)點(diǎn)的理論波陣面上，光程差△L=mλ上各點(diǎn)相遇，相遇后的兩組光量子在干涉后沿其速度矢量夾角平分線上的ψ方向運(yùn)動(dòng)，這個(gè)方向就是光線干涉后的傳播方向。光波的干涉不是充滿在整個(gè)空間的粒子毫無規(guī)則的彈性碰撞，而是以“線波包”中光量子相遇的“吸引碰撞”或“排斥碰撞”發(fā)生的光量子在光線方向上的集中，這表現(xiàn)為光波能量在干涉過程中的重新分布。

2 有限元法及其在“電動(dòng)力學(xué)”中的應(yīng)用

有限元法是隨著電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展而迅速發(fā)展起來的一種現(xiàn)代計(jì)算方法。它是20世紀(jì)50年代首先在連續(xù)體力學(xué)領(lǐng)域應(yīng)用的一種有效的數(shù)值分析方法，隨后很快廣泛地應(yīng)用于求解熱傳導(dǎo)、電磁場、流體力學(xué)等連續(xù)性問題。有限元法的基本思想是：在變分法或加權(quán)余量法基礎(chǔ)上，采用分塊逼近而形成的系統(tǒng)化的數(shù)值計(jì)算方法。有限元法的基本原理是：首先將求解區(qū)域進(jìn)行離散化，其次剖分成若干互相連接而又不重疊的一定幾何形狀的子區(qū)域，這樣的子區(qū)域稱為單元（二維問題的子區(qū)域，一般取為三角形區(qū)域或矩形區(qū)域）。在單元體中選擇基函數(shù)，用單元基函數(shù)的線性組合來逼近單元中的真解，而總體基函數(shù)可以由單元基函數(shù)組成。也就是說，有限元方法是根據(jù)變分原理和方程余量與權(quán)函數(shù)正交化原理建立起的積分表達(dá)式為出發(fā)點(diǎn)，將整個(gè)積分區(qū)域中的求解函數(shù)離散為若干單元區(qū)域中的連續(xù)函數(shù)，再通過單元積分，總體合成為代數(shù)方程形式的有限方程。對于二維情況，拉普拉斯方程及邊界關(guān)系為：

與有限差分法等其他數(shù)值方法相比，有限元不僅計(jì)算精度高，而且能適應(yīng)各種復(fù)雜形狀，但局限性在于只適用于相對小的子域。20世紀(jì)60年代初首次提出結(jié)構(gòu)力學(xué)計(jì)算有限元概念的克拉夫（Clough）形象地將其描繪為：“有限元法——Ray—leigh Ritz法+分片函數(shù)”，即有限元法是Rayleigh Ritz法的一種局部化情況。與求解滿足整個(gè)定義域邊界條件的允許函數(shù)的Rayleigh Ritz法（往往是很困難的）相比，有限元法將函數(shù)定義在簡單幾何形狀（如二維問題中的三角形或任意四邊形）的單元域上（分片函數(shù)），且不考慮整個(gè)定義域的復(fù)雜邊界條件，這是有限元法優(yōu)于其他近似方法的原因之一。由于有限元法的重要應(yīng)用，現(xiàn)在已經(jīng)開發(fā)出了許多關(guān)于有限元法的通用程序與軟件。

與差分法比較，有限元素法的節(jié)點(diǎn)配置方式比較靈活，因此適用于處理形狀比較復(fù)雜的區(qū)域。它的邊界節(jié)點(diǎn)完全處在區(qū)域的邊界上，從而在邊界上可以給出較好的逼近。當(dāng)邊界比較復(fù)雜的時(shí)候，有限差分法是很難處理的，而且誤差也較大，有限元素法還可以根據(jù)具體情況的需要，在一部分求解區(qū)域中配置較密的節(jié)點(diǎn)，而在另一部分求解區(qū)域中配置較稀疏的節(jié)點(diǎn)，以便在盡量不增加過多的節(jié)點(diǎn)總數(shù)下，提高計(jì)算精度，這些長處是有限差分法很難實(shí)現(xiàn)的。當(dāng)然，差分法采用直交網(wǎng)格，列計(jì)算格式比較簡便，而有限元素法由于節(jié)點(diǎn)配置比較任意，列計(jì)算格式就要復(fù)雜得多，不過這些計(jì)算格式都可以在電子計(jì)算機(jī)上自動(dòng)運(yùn)算。

參考文獻(xiàn)：

[1] 沈豐，王輝.電磁散射問題中的頻域有限元算法[J].通信技術(shù)，2011，（3）.

[2] 陳杰夫，鄭長良，鐘萬勰.電磁波導(dǎo)的奇異元與對偶有限元分析[J].計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，2007，（2）.

[3] 帥詞俊，段吉安，王炯，等.光纖耦合器熔融拉錐粘彈性建模與分析[J].中南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2006，（1）.

[4] 鄭成博，劉彬，王作君，等.電動(dòng)力學(xué)電磁場邊值問題的廣義變分原理[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2010，（4）.

[5] 洪清泉.各向異性介質(zhì)中的電磁場[J].泉州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，（4）.

[6] 唐菱，李小群，黨釗，等.大口徑高功率激光能量測量吸收體研究[J].電子測量技術(shù)，2010，（3）.