江蘇省2012年高考數(shù)學(xué)模擬試卷(3)

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．

1．已知全集U=R，集合A=(－∞，0)，B=｛－1，－3，a｝，若(CUA)∩B≠，則實數(shù)a的取值范圍是_________．

2．若(x+i)2是實數(shù)（i是虛數(shù)單位），則實數(shù)x的值為__________．

3．一個社會調(diào)查機構(gòu)就某地居民的月收入情況調(diào)查了1000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制了樣本頻率分布直方圖（如圖所示），則月收入在［2000，3500)范圍內(nèi)的人數(shù)為__________．

i←1

While i<8

i←i+2

S←2i+3

End While

Print S

4．根據(jù)如圖所示的偽代碼，可知輸出S的值為_________．

5．已知a，b∈{1，2，3，4，5，6}，直線l1:x－2y－1=0，l2:ax+by－1=0，則直線l1⊥l2的概率為 ．

6．設(shè)正三棱錐的側(cè)面積等于底面積的2倍，且該正三棱錐的高為3，則其表面積等于__________．

7．如圖，矩形ABCD由兩個正方形拼成，則∠CAE的正切值為__________．

8．在△ABC中，若AB·AC=AB·CB=2，則邊AB的長等于__________．

9．已知橢圓的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0)，過橢圓的右焦點且與x軸垂直的直線與橢圓交于P、Q兩點，橢圓的右準線與x軸交于點M，若△PQM為正三角形，則橢圓的離心率等于__________．

10．若函數(shù)f(x)=13x3－x在(a，10-a2)上有最小值，則實數(shù)a的取值范圍是__________．

11．若實數(shù)x、y滿足4x+4y=2x+1+2y+1，則S=2x+2y的取值范圍是__________．

12．定義在R上的f(x)，滿足f(m+n2)=f(m)+2［f(n)］2，m，n∈R，且f(1)≠0，則f(2012)的值為__________．

13．已知函數(shù)f(x)=x+12，x∈［0，12)2x－1，x∈［12，2) 若存在x1，x2，當(dāng)0≤x1

14．設(shè)數(shù)列{an}是首項為0的遞增數(shù)列，（n∈N），fn(x)=|sin1n(x－an)|，x∈［an，an+1］，滿足：對于任意的b∈［0，1)，fn(x)=b總有兩個不同的根，則數(shù)列{an}的通項公式為__________．

二、解答題：本大題共6小題，共90分．請在答題卡指定的區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、求證過程或演算步驟．

15．已知向量＝（3sinx4，1），＝（cosx4，cos2x4），f（x）＝·．

（1）若f(x)=1，求cos(2π3－x)的值；

（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c且滿足acosC+12c=b，求函數(shù)f(B)的取值范圍．

16．如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ACB=90°，E，F(xiàn)，G分別是AA1，AC，BB1的中點，且CG⊥C1G．

（Ⅰ）求證：CG∥平面BEF；

（Ⅱ）求證：平面BEF⊥平面A1C1G．

17．心理學(xué)家研究某位學(xué)生的學(xué)習(xí)情況發(fā)現(xiàn)：若這位學(xué)生剛學(xué)完的知識存留量記為1，則x天后的存留量y1=4x+4；若在t(t>4)天時進行第一次復(fù)習(xí)，則此時知識存留量比未復(fù)習(xí)情況下增加一倍（復(fù)習(xí)時間忽略不計），其后存儲量y2隨時間變化的曲線恰為直線的一部分，其斜率為a(t+4)2(a<0)，存留量隨時間變化的曲線如圖所示．當(dāng)進行第一次復(fù)習(xí)后的存留量與不復(fù)習(xí)的存留量相差最大時，則稱此時此刻為“二次復(fù)習(xí)最佳時機點”．

（1）若a=－1，t=5，求“二次最佳時機點”；

（2）若出現(xiàn)了“二次復(fù)習(xí)最佳時機點”，求a的取值范圍．

18．如圖，橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓C的左、右焦點，M是橢圓短軸的一個端點，過F1的直線l與橢圓交于A，B兩點，△MF1F2的面積為4，△ABF2的周長為82．

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)點Q的坐標為(1，0)，是否存在橢圓上的點P及以Q為圓心的一個圓，使得該圓與直線PF1，PF2都相切，如存在，求出P點坐標及圓的方程，如不存在，請說明理由．

19．已知函數(shù)f(x)=(ax2+x)ex，其中ｅ是自然數(shù)的底數(shù)，a∈R．

（1）當(dāng)a<0時，解不等式f(x)>0；

（2）當(dāng)a=0時，求整數(shù)ｋ的所有值，使方程f(x)=x+2在［ｋ，ｋ＋１］上有解；

（3）若f(x)在［－１，１］上是單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍．

20．設(shè)數(shù)列{an}、{bn}滿足a1=12，

2nan+1=(n+1)an

且bn=ln(1+an)+12a2n，n∈N*.

（1）求數(shù)列{an}的通項公式；

（2）對一切n∈N，證明：2bn－a2n<2an成立；

（3）記數(shù)列{a2n}、{bn}的前n項和分別為An、Bn，證明:2Bn－An<4.

附 加 題

（考試時間30分鐘，試卷滿分40分）

21．【選做題】在A，B，C，D四個小題中只能選做2個小題，每小題10分，共計20分．

A．選修4—1 幾何證明選講

如圖，AB是⊙O的直徑，弦BD、CA的延長線相交于點E，EF垂直BA的延長線于點F．求證：

（1）∠AED=∠AFD；

（2）AB2=BE·BD-AE·AC．

B.選修4—2 矩陣與變換

若點A（２，２）在矩陣M=cosα－sinαsinαcosα對應(yīng)變換的作用下得到的點為B（－２，２），求矩陣M的逆矩陣．

C.選修4—4:坐標系與參數(shù)方程

在極坐標系中，A為曲線ρ2+2ρcosθ－3=0上的動點， B為直線ρcosθ+ρsinθ－7=0上的動點，求AB的最小值．

D.選修4—5:不等式選講

已知m，n是正數(shù)，證明：m3n+n3m≥m2+n2．

22．如圖，已知面積為1的正三角形ABC三邊的中點分別為D、E、F，從A，B，C，D，E，F(xiàn)六個點中任取三個不同的點，所構(gòu)成

的三角形的面積為X（三點共線時，規(guī)定X=0）

（１）求P(X≥12)；

（２）求E（X）．

23．已知拋物線C1:y=x2，圓C2:x2+(y－4)2=1的圓心為點M

（Ⅰ）求點M到拋物線C1的準線的距離；

（Ⅱ）已知點P是拋物線C1上一點（異于原點），過點P作圓C2的兩條切線，交拋物線C1于A，B兩點，若過M，P兩點的直線l垂直于AB，求直線l的方程.

參考答案

一、填空題

1. a≥0; 2. 0; 3. 700; 4. 21; 5. 112;

6. 93; 7. 13; 8. 2; 9. 33; 10. -2≤a<1;

11. 2

14. an=n(n-1)π2

二、解答題

15.解：（1)∵f(x)=·=3sinx4cosx4+cos2x4=32sinx2+12cosx2+12=sin(x2+π6)+12，而f(x)=1，∴sin(x2+π6)=12

又∵2π3-x=π-2(x2+π6)，

∴cos(2π3-x)=-cos2(x2+π6)=-1+2sin2(x2+π6)=-12

(2)∵acosC+12c=b，∴a·a2+b2-c22ab+12c=b，即b2+c2-a2=bc，∴cosA=12.

又∵A∈(0，π)，∴A=π3

又∵0

∴f(B)∈(1，32).

16．證:（Ⅰ）連接AG交BE于D，連接DF，EG．

∵E，G分別是AA1，BB1的中點，∴AE∥BG且AE=BG，∴四邊形AEGB是矩形．

∴D是AG的中點

又∵F是AC的中點，∴DF∥CG

則由DF面BEF，CG面ＢＥＦ，得CG∥面BEF

（注:利用面面平行來證明的，類似給分）

(Ⅱ)∵在直三棱柱ABCA1B1C1中，C1C⊥底面A1B1C1，∴C1C⊥A1C1.

又∵∠A1C1B1=∠ACB=90°，即C1B1⊥A1C1，∴A1C1⊥面B1C1CB

而CG面B1C1CB，∴A1C1⊥CG

又CG⊥C1G，由（Ⅰ）DF∥CG，∴A1C1⊥DF，DF⊥C1G

∴DF⊥平面A1C1G

又DF平面BEF，∴平面BEF⊥平面A1C1G.

17．設(shè)第一次復(fù)習(xí)后的存留量與不復(fù)習(xí)的存留量之差為y，

由題意知，y2=a(t+4)2(x－t)+8t+4(t>4)

所以y=y2－y1=a(t+4)2(x－t)+8t+4－4x+4(t>4)

(1)當(dāng)a=－1，t=5時，

y=－1(5+4)2(x－5)+85+4－4x+4=－(x+4)81－4x+4+1≤－2481+1=59，

當(dāng)且僅當(dāng) x=14 時取等號，

所以“二次復(fù)習(xí)最佳時機點”為第14天．

（2)y=a(t+4)2(x-t)+8t+4-4x+4=--a(x+4)(t+4)2-4x+4+8t+4-a(t+4)(t+4)2≤-2-4a(t+4)2+8-at+4，

當(dāng)且僅當(dāng)-a(x+4)(t+4)2=4x+4即x=2-a(t+4)-4時取等號，

由題意2-a(t+4)-4>t，所以-4

注：使用求導(dǎo)方法可以得到相應(yīng)得分.

18．（Ⅰ） 由題意知：12×2c×b=4，bc=4，4a=82，a=22，解得b=c=2

∴ 橢圓的方程為x28+y24=1

（Ⅱ）假設(shè)存在橢圓上的一點P(x0，y0)，使得直線PF1，PF2與以Q為圓心的圓相切，則Q到直線PF1，PF2的距離相等，F(xiàn)1(-2，0)，F(xiàn)2(2，0)

PF1:(x0-2)y-y0x+2y0=0

PF2：(x0+2)y-y0x-2y0=0

d1=|y0|(x0-2)2+y20=|3y0|(x0+2)2+y20=d2

化簡整理得：8x20-40x0+32+8y20=0

∵P點在橢圓上，∴x20+2y20=8

解得：x0=2或x0=8（舍）

x0=2時，y0=±2，r=1，

∴ 橢圓上存在點P，其坐標為(2，2)或(2，-2)，使得直線PF1，PF2與以Q為圓心的圓(x-1)2+y2=1相切

19．（１）因為ex>0，所以不等式f(x)>0即為ax2+x>0，

又因為a<0，所以不等式可化為x(x+1a)<0，

所以不等式f(x)>0的解集為(0，－1a)．

（２）當(dāng)a=0時， 方程即為xex=x+2，由于ex>0，所以x=0不是方程的解，

所以原方程等價于ex－2x－1=0，令h(x)=ex－2x－1，

因為h′(x)=ex+2x2>0對于x∈(－∞，0)∪(0，+∞)恒成立，

所以h(x)在(－∞，0)和(0，+∞)內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，

又h(1)=e－3<0，h(2)=e2－2>0，h(－3)=e－3－13<0，h(－2)=e－2>0，

所以方程f(x)=x+2有且只有兩個實數(shù)根，且分別在區(qū)間［1，2］和［－3，－2］上，

所以整數(shù)k的所有值為｛－3，1｝．

（３）f′(x)=(2ax+1)ex+(ax2+x)ex=［ax2+(2a+1)x+1］ex，

①當(dāng)a=0時，f′(x)=(x+1)ex，f′(x)≥0在［－1，1］上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=－1時

取等號，故a=0符合要求；

②當(dāng)a≠0時，令g(x)=ax2+(2a+1)x+1，因為Δ=(2a+1)2－4a=4a2+1>0，

所以g(x)=0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2，不妨設(shè)x1>x2，

因此f(x)有極大值又有極小值．

若a>0，因為g(－1)·g(0)=－a<0，所以f(x)在(－1，1)內(nèi)有極值點，

故f(x)在［－1，1］上不單調(diào)．

若a<0，可知x1>0>x2，

因為g(x)的圖象開口向下，要使f(x)在［－1，1］上單調(diào)，因為g(0)=1>0，

必須滿足g(1)≥0，g(－1)≥0. 即3a+2≥0，－a≥0. 所以－23≤a<0．

綜上可知，a的取值范圍是［－23，0］．

20．解：（1）∵2nan+1=(n+1)anan+1n+1=12·ann

∴數(shù)列{ann}是以a11=12，以12為公比

∴ann=12·(12)n－1－12n

∴an=n2n

(2)證明：2bn

bn-12a2n-an<0bn-12a2n=ln(1+an)

構(gòu)造函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x(x≥0)當(dāng)x>0時，f′(x)=11+x-1=-x1+x<0

∴f(x)在x∈［0，+∞)內(nèi)為減函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)

∴ln(1+x)0)，注意到an>0，

∴ln(1+an)

（3）證明：∵2bn-a2n=2ln(1+an)<2an

2Bn-An=2(b1+b2+…+bn)-(a21+a22+…+a2n)

由(2)可知2Bn-An=(2b1-a21)+(2b2-a22)+…+(2bn-a2n)

∴2Bn-An<2a1+2a2+…+2an=2(12+222+323+…+n2n)=2(2-n+22n)

<2×2=4

附加題參考答案

21A

證明：(1)連結(jié)AD．

因為AB為圓的直徑，所以∠ADB=90°．

又EF⊥AB，∠EFA=90°，

則A、D、E、F四點共圓，

∴∠DEA=∠DFA．

(2)由(1)知， BD·BE=BA·BF．

連結(jié)BC，顯然△ABC∽△AEF，

∴ABAE=ACAF，即AB·AF=AE·AC，

∴BE·BD-AE·AC=BA·BF-AB·AF=AB(BF-AF)=AB2．

21B 由題意知，M22=－22，即2cosα－2sinα2sinα+2cosα =－22，

所以cosα－sinα=－1，sinα+cosα=1，解得cosα=0，sinα=1. 所以M=0－110．

由M－1M=1001，解得M－1=01－10．

另解：矩陣M的行列式|M|=01－10=1≠0，所以M－1=01－10．

21C 圓方程為(x+1)2+y2=4，圓心(－1，0)，直線方程為x+y－7=0，

圓心到直線的距離d=|－1－7|2=42，所以(AB)min=42－2．

21D解：∵m3n+n3m－m2－n2=m3－n3n+n3－m3m=(m3－n3)(m－n)nm

=(m－n)2(m2+mn+n2)mn，又m，n均為正數(shù)， ∴m3n+n3m≥m2+n2.

２２．(1)從六點中任取三個不同的點共有C36＝20個基本事件，

事件“X≥12”所含基本事件有２×３＋１＝７，

從而P(X≥12)=720.

（2）X的分布列為：

X014121

P3201020620120

則E(X)=0×320+14×1020+12×620+1×120=1340.

答：P(X≥12)=720，E(X)=1340.

23．（I）解：由題意可知，拋物線的準線方程為： y=－14，

所以圓心M（0，4）到準線的距離是174.

（II）解：設(shè)P(x0，x20)，A(x1，x21)，B(x2，x22)，

則題意得x0≠0，x0≠±1，x1≠x2，

設(shè)過點P的圓C2的切線方程為y－x20=k(x－x0)，

即y=kx－kx0+x20 ①

則|kx0+4－x20|1+k2=1，

即(x20－1)k2+2x0(4－x20)k+(x20－4)2－1=0，

設(shè)PA，PB的斜率為k1，k2(k1≠k2)，則k1，k2是上述方程的兩根，所以

k1+k2=2x0(x20－4)x20－1，k1k2=(x20－4)2－1x20－1.

將①代入y=x2得x2－kx+kx0－x20=0，

由于x0是此方程的根，

故x1=k1－x0，x2=k2－x0，所以

kAB=x21－x22x1－x2=x1+x2=k1+k2－2x0=2x0(x20－4)x20－1－2x0，kMP=x20－4x0.

由MP⊥AB，得kAB·kMP=(2x0(x20－4)x20－1－2x0)·(x20－4x0)=－1，

解得x20=235，

即點P的坐標為(±235，235)，

所以直線l的方程為y=±3115115x+4.