數(shù)列中常見錯(cuò)解原因診斷及解決策略

數(shù)列問題綜合性強(qiáng)、復(fù)雜多變、解法靈活、技巧性強(qiáng)等特征都成為同學(xué)們難以把握的重點(diǎn)內(nèi)容，其在解題過程中難以避免的出現(xiàn)解題錯(cuò)誤，為此本文讓同學(xué)們熟悉高考，洞悉命題者精心設(shè)計(jì)的陷阱或常見的“雷區(qū)”，從而成為一名真正的“排雷”高手，順利通過高考的檢驗(yàn)，取得佳績(jī)．

一、審題不清

例1 （2010年高考湖北卷文科7）已知等比數(shù)列{an}中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且a1，12a3，2a2成等差數(shù)列，則a9+a10a7+a8=__________.

錯(cuò)解：∵2×(12a3)=a1+2a2，即a3=a1+2a2，則有a1q2=a1+2a1q可得q2=1+2q，解得q=1+2或q=1－2，所以a9+a10a7+a8=a1q8+a1q9a1q6+a1q7=q2+q31+q=q2=3+22，或3－22

診斷：錯(cuò)解由于審題不清，忽略了等比數(shù)列{an}中各項(xiàng)都是正數(shù)的條件，從而產(chǎn)生了增解．

正解：3+22.

小結(jié)：學(xué)會(huì)審題既是解題的開始也是解題的關(guān)鍵，因此同學(xué)們審題要準(zhǔn)確，不遺漏關(guān)鍵詞語，除了要找對(duì)重點(diǎn)外，還要排除干擾因素，在題目給出的諸多條件中，有些是有用的，也有些是無關(guān)的，而這些無關(guān)條件常常就是命題者有意設(shè)置的干擾條件，只要能找出這些干擾條件并把它們排除，題目常常就迅速正確的解答．

二、忽視公式an=Sn－Sn－1成立條件

例2 （2010年高考上海卷文科21）已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=n－5an－85，n∈N*，(1)證明：｛an－1｝是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列｛Sn｝的通項(xiàng)公式，并求出使得Sn+1>Sn成立的最小正整數(shù)n．

錯(cuò)解：（1）∵an＝Sn－Sn－1＝－5an＋5an－1＋1，∴an－1=56(an－1－1)，∴｛an－1｝是等比數(shù)列；(2) 由(1)知：an－1=－15·(56)n－1，得an=1－15·(56)n－1，從而Sn=75·(56)n－1+n－90(n∈N*)；由Sn＋1>Sn，得(56)n－1<225，n>log56225+1≈14.9，最小正整數(shù)n＝15．

診斷：錯(cuò)解忽略了an=Sn－Sn－1成立的條件，此式成立的條件是n≥2，必須研究n=1的情況．

正解：(1) 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝－14；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－5an＋5an－1＋1，∴an－1=56(an－1－1)，又a1－1＝－15≠0，所以數(shù)列{an－1}是等比數(shù)列； (2) 略．

小結(jié)：本題是一道出錯(cuò)率極高的題目，錯(cuò)誤集中在忽略定義域n的取值限制，an=Sn－Sn－1在n≥2的條件下才能成立，故在應(yīng)用公式an=Sn－Sn－1后，還要驗(yàn)證n=1的情況．

三、忽視了分類討論導(dǎo)致解題不全

例3 （2010年高考四川卷文科20）已知等差數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和為6，前8項(xiàng)和為-4．

（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn=(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn

錯(cuò)解：（1）設(shè){an}的公差為d，由已知得3a1+3d=68a1+28d=－4，解得：a1=3，d=－1，故an=3－(n－1)=4－n．（2）由（1）可得，bn=n·qn－1，于是Sn=1·q0+2·q1+3·q2+…+n·qn－1，將上式兩邊同乘以q有，qSn=1·q+2·q2+3·q3+…(n－1)qn－1+n·qn，兩式相減得：(q－1)Sn=n·qn－1－q1－q2－q3－…－qn－1=n·qn－qn－1q－1=nqn+1－(n+1)qn+1q－1，于是Sn=nqn+1－(n+1)qn+1(q－1)2．

診斷：本題的錯(cuò)解沒有對(duì)公比q進(jìn)行分類討論．

解析：（1）略．（2）若q=1，則Sn=1+2+3+…+n=n(n+1)2，

所以

Sn=n(n+1)2，(q=1)nqn+1－(n+1)qn+1(q－1)2，(q≠1)．

小結(jié)：分類討論在數(shù)學(xué)中時(shí)刻都是熱門話題，是每年高考必考的數(shù)學(xué)思想方法之一，因此同學(xué)們要學(xué)會(huì)從下面五個(gè)方面進(jìn)行分類討論：（1）從問題中的變量切入進(jìn)行分類討論：數(shù)學(xué)問題中含有變量，這些變量取不同值時(shí)會(huì)導(dǎo)致不同的結(jié)果，因而要對(duì)變量進(jìn)行分類討論，分類討論的原則是重復(fù)、不遺漏，討論的方法是逐類進(jìn)行，還必須注意綜合討論的結(jié)果，使解題步驟完整；（2）從問題中的參數(shù)切入進(jìn)行分類討論：有些問題由于參數(shù)取值不同，得到結(jié)果各不相同，此時(shí)應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論；（3）從問題給出條件的分類處切入進(jìn)行分類討論：有些概念、定理、公式及運(yùn)算法則本身就包含了分類，如絕對(duì)值的定義，對(duì)數(shù)函數(shù)定義、指數(shù)函數(shù)定義，等比數(shù)列的求和公式等等．由于這些概念的定義都有范圍或條件的限制，當(dāng)解題過程的變換需要突破這些限制條件時(shí)常引起分類討論；（4）從解題過程不能統(tǒng)一敘述處切入：解題過程中由數(shù)學(xué)運(yùn)算的要求其結(jié)果不能統(tǒng)一敘述的，必須根據(jù)進(jìn)一步運(yùn)算的條件進(jìn)行分類；（5）從幾何圖形中形狀位置變化處切入：有關(guān)幾何問題中，由于幾何元素的形狀、位置變化的不確定性，需要根據(jù)圖形特征進(jìn)行分類．

四、實(shí)際應(yīng)用錯(cuò)誤

例4 從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少15，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)有促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年比上年增加14．（1）設(shè)n年內(nèi)（本年度為第一年）總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元，寫出an，bn的表達(dá)式；（2）至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？

錯(cuò)解一：（1）n年內(nèi)的總投入錯(cuò)求為an=800×(1－15)n－1，n年內(nèi)的總收入錯(cuò)求為bn=400(1+14)n－1；（2）令bn>an，得400(1+14)n－1>800×(1－15)n－1，化簡(jiǎn)得(54)n－1>2·(45)n－1，(54)2n－2>2，由此得，n≥4．

錯(cuò)解二：（2）令bn>an，即1600×［(54)n－1］>4000×［1－(45)n］，化簡(jiǎn)得(45)n<25，由于不會(huì)確定n的取值范圍而使解題失?。?/p>

診斷：本題將等比數(shù)列的知識(shí)應(yīng)用于生態(tài)環(huán)境建設(shè)的實(shí)際，考查了等比數(shù)列的基本知識(shí)，二次不等式的解法，以及估算能力，有些同學(xué)因錯(cuò)誤理解題意而把總投入an和總收入bn誤求為數(shù)列的第n項(xiàng)，有些同學(xué)不會(huì)由不等式(45)n<25估算n的取值范圍．

正解：（1）第1年投入為800萬元，第2年投入為800×(1－15)萬元，…第n年投入為800×(1－15)n－1萬元，所以，n年內(nèi)的總投入為an=800+800×(1－15)+…+800×(1－15)n－1=4000×［1－(45)n］；第1年旅游業(yè)收入為400萬元，第2年旅游業(yè)收入為400×(1+14)，…，第n年旅游業(yè)收入400×(1+14)n－1萬元，所以，n年內(nèi)的旅游總收入為bn=400+400×(1+14)+…+400×(1+14)n－1=1600×［(54)n－1］．（2）設(shè)至少經(jīng)過n年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，由此bn－an>0，即1600×［(54)n－1］－4000×［1－(45)n］>0，令x=(45)n，代入上式得：5x2－7x+2>0，解此不等式，得x<25，或x>1（舍去），即(45)n<25，當(dāng)n=1，2，3，4時(shí)，（45）n>25，由此得n≥5．∴至少經(jīng)過5年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入．

小結(jié)：本題應(yīng)在認(rèn)真審題的基礎(chǔ)上，認(rèn)識(shí)到每年的投入資本和旅游業(yè)的收入均形成等比數(shù)列，n年內(nèi)的總投入和n年內(nèi)的總收入為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，再令bn>an，解二次不等式，結(jié)合估算使問題得以解決．

（作者：劉正祥、崔小軍，江蘇省阜寧中學(xué))