對若干易錯填空題的幾點分析和思考

同學們在訓練填空題時并不是沒有切入點，你們的錯誤結(jié)果和正確結(jié)果之間用集合的觀點看，往往是包含和被包含的關(guān)系．通俗的說，不是多了就是少了．盡管老師每次評講時都會就此類問題反復強調(diào)注意點，但同學們似乎頗有“逢遇必錯”的架勢．為此，筆者認為有必要深究其中原因，尋求解決策略．

1.特殊條件缺乏審視，要手眼并用——把好審題關(guān)

問題1：集合M={x||x－1|≤2}，P={x|5x+1≥1，x∈Z}，則M∩P=__________.

錯解：(－1，3］

正解：{0，1，2，3}

問題1在于對特殊條件x∈Z缺乏審視，此類問題往往會是同學多次發(fā)生錯誤但思想上仍然不加重視的，因為平時的訓練經(jīng)常會出現(xiàn)沒有特殊條件x∈Z的相應問題，在考試時“搶時間”的心理加上平時做過的習題進行錯誤遷移，導致漏看特殊條件，從而把某特定范圍內(nèi)的問題擴大到一個較大范圍內(nèi)，出現(xiàn)解答的擴充化當然不可避免，同學在訓練中要形成正確的審題習慣，尤其是看到似曾相識的問題不要興奮過度，不能憑自己的印象匆忙答題，要沉著、冷靜、細心、耐心的理清試卷考題和平時訓練題的聯(lián)系和區(qū)別，在此基礎(chǔ)上圈畫出重要信息和特殊條件．

2.相近概念辨別不清，要改變觀念——理清概念點

問題2：若函數(shù)y=lg(mx2－4mx+m+13)的值域為［1，+∞)，則m的取值范圍是__________.

錯解：m∈［0，1］

正解：m=1

問題2是因為mx2－4mx+m+13的值域為［10，+∞)與mx2－4mx+m+13≥10恒成立的概念混淆導致解答多出一部分．在中學數(shù)學中，有些概念的含義接近，但本質(zhì)屬性有區(qū)別．對這類概念，同學們常常容易混淆．同學往往每天都忙于做題，殊不知沒有清晰概念的解題恰似為趕工期建造的“危樓”，隨時都有倒塌的可能．同學們必須參與到概念的建構(gòu)和辨析中來，尤其對相近概念，必須把它們加以比較，避免互相干擾．比較，主要是找出它們的相同點和不同點，這就要對進行比較的兩個概念加以分析，看各有哪些本質(zhì)特點．然后把它們的共同點和不同點分別找出來，既看到進行比較對象的內(nèi)在聯(lián)系，又看到它們的區(qū)別．

3.直觀觀察一葉障目，要注重思維——練好觀察力

問題3：在△ABC，已知2AB·AC=3|AB|·|AC|=3BC2，則角B的大小為________．

錯解：π6

正解：π6或2π3

問題3中同學們在算出角A=π6的基礎(chǔ)上，由正弦定理，邊化角，建立了角B的三角方程sin(2B－π3)=0，繼而立刻觀察得B=π6，同學們習慣于用觀察來解決一些問題，但在有些問題中往往只能管中窺豹，發(fā)現(xiàn)其中的部分解答，發(fā)現(xiàn)的是正確的，但并不意味著只要正確的就被發(fā)現(xiàn)了，這就是導致失根的原因．數(shù)學觀察是人們對事物的數(shù)學特征（空間形式和數(shù)量關(guān)系）的一種認識活動，它不僅是數(shù)學對象在視覺系統(tǒng)上的感覺，還包含著積極的思維活動，如聯(lián)想、分析、綜合等．但并不是所有的觀察都能獨立的解決問題，要仔細觀察各部分的特征，從整體上把握問題的特征，尋求解決問題的策略，切忌孤立地觀察問題，滿足于觀察得到的局部解答．如問題3中如果先得到2B－π3∈(－π3，4π3)，在此基礎(chǔ)上觀察得2B－π3的值，就不會出現(xiàn)漏解了．同時在解題中要注重對隱性條件的觀察和挖掘，聯(lián)系概念、定義、性質(zhì)發(fā)現(xiàn)題目內(nèi)在的發(fā)散信息．

4.示意圖形自加條件，要滲透思想——用好解題寶

問題4：已知向量，與x軸正半軸所成角為α，β（以x軸正半軸為始邊），||=||=4

+=(2，23)，則sin(α－β)=__________.

錯解：32

正解：±32

在很多問題的解答過程中，同學們會根據(jù)題意畫出示意圖形，本來以形助數(shù)的思想是有利于解題的，但問題4中的α，β角并沒有指定大小關(guān)系，而同學們在作圖時卻會自己設定角的大小，然后僅憑自己的圖形作出解答．這個過程相當于人為添加了題設條件，當然會出現(xiàn)漏解情況．數(shù)學中眾多的思想方法是我們解題的法寶．華羅庚先生一首詩中說“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，以“形”助“數(shù)”，雖然形有形象、直觀的優(yōu)點，但解題時首先要把問題牽涉到的各種圖形都考慮周全，就不同圖形對問題的影響加以斟酌，整個過程要既能凸顯形的直觀示意功能，又要結(jié)合數(shù)的理性分析．這樣才不會被圖形蒙蔽視線，失去部分解答．

5.數(shù)式變形破壞等價，要加強運算——守好保障門

問題5： △ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且(a2+b2)sin(A－B)=(a2－b2)sinC，試判斷三角形的形狀為__________.

錯解：直角三角形

正解：直角三角形或等腰三角形

同學們對問題5用正、余弦定理進行了角化邊的工作，得到(a2－b2)·a2+b2c=(a2－b2)c，左右同時約去了a2－b2的因子，導致失去了等腰三角形的解，功虧一簣，十分可惜．此處的問題關(guān)鍵在于同學們對一些數(shù)式變形的條件缺乏重視，遇到字母型的數(shù)式變形也隨心所欲，出現(xiàn)問題也就在意料之中了．運算是正確結(jié)果的最終保障．同學們除了進行思維訓練外，對運算也應引起充分的重視．對相關(guān)錯誤運算不要認為只是粗心所致，倘若輕視計算的威力，后果就非常嚴重了．要加強數(shù)式變形的條件意識，尤其是字母型的數(shù)式變形，由于字母的可變性導致有些運算操作不能進行，如上述問題中的等式兩邊同時約去數(shù)式a2－b2．同學們要對在平時訓練過程中的運算錯誤經(jīng)常進行總結(jié)和歸納．做到對易錯運算心中有數(shù)，有的放矢．

（作者：劉素珍，常州市第一中學)