一道聯(lián)考題的解法探究

題目：（湖北省八校2012屆高三第一次聯(lián)考理第21題）已知函數(shù)f(x)=4x+a1+x2的單調(diào)遞增區(qū)間為［m，n］ （1）求證f(m)f(n)=-4；

（2）當(dāng)n-m取最小值時(shí)，點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x2，y2)(a

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)及不等式放縮法的運(yùn)用，由于題中涉及的字母參數(shù)較多，從而導(dǎo)致題意過于抽象，同學(xué)們普遍感覺無從下手，筆者經(jīng)過研究，獲得了本題的簡解，并揭示出試題命制的背景，為便于說明，先給出原題解答：

參考答案：（1）略；

（2）由題意可得m，n是方程2x2+ax-2=0的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.

∵n－m=(m+n)2－4mn=a24+4≥2

∴n－m取最小值時(shí)，a=0，n=1，m=－1.

∵f(x)在［－1，1］是增函數(shù)，0

∴f′(x0)=f(x2)－f(x1)x2－x1>0.從而x0∈(－1，1)

f′(x0)=4(1－x20)(1+x20)2=f(x2)－f(x1)x2－x1=4(1－x1x2)(1+x21)(1+x22)

即(1－x20)(1+x20)2=1－x1x2(1+x21)(1+x22)

∵(1+x21)(1+x22)=x21x22+x21+x22+1>(x1x2)2+2x1x2+1=(1+x1x2)2

∴1－x20(1+x20)2=1－x1x2(1+x21)(1+x22)<1－x1x2(1+x1x2)2.

考慮函數(shù)g(x)=1－x(1+x)2，因g′(x)=(x－1)2－4(1+x)4，故當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，有g(shù)′(x)<0，g(x)是(0，1)上是減函數(shù).∴由g(x20)x1x2>x21.∴|x0|>x1.

由1－x20(1+x20)2=1－x1x2(1+x21)(1+x22)及0 < 1-x20  < 1-x1 x2 得

(1+x20)2<(1+x21)(1+x22)<(1+x22)2， 故1+x20<1+x22即|x0|

∴x1<|x0|

評析：本題由不等式的放縮法，通過構(gòu)造函數(shù)g(x)，利用函數(shù)g(x)的單調(diào)性證得x1<|x0|，繼而又利用不等式放縮法證得|x0|

簡解1：同上得f′(x0)=4(1－x20)(1+x20)2=f(x2)－f(x1)x2－x1=4(1－x1x2)(1+x21)(1+x22)

∵0

即4(1－x22)(1+x22)2<4(1－x20)(1+x20)2<4(1－x21)(1+x21)2f′(x2)

考慮函數(shù)f′(x)=4(1－x2)(1+x2)2在（0，1）上易知其為單調(diào)遞減且在R上為偶函數(shù)，即

f′(x2)

評析：分式型結(jié)構(gòu)式的放縮常規(guī)方法是對分子分母進(jìn)行基本的放大或縮小，從而厘清結(jié)構(gòu)，利用題中現(xiàn)有的導(dǎo)函數(shù)f′(x)本身的性質(zhì)獲解，大大優(yōu)化了原解答，考慮本題獲得成功的關(guān)鍵是利用f′(x)的單調(diào)性與奇偶性，那么能不能不對具體的含有x1，x0，x2的結(jié)構(gòu)式進(jìn)行梳理呢？經(jīng)過研究，也獲得了成功：

簡解2：由f′(x0)=f(x2)－f(x1)x2－x1f(x2)－f′(x0)x2=f(x1)－f′(x0)x1，

記g(x)=f(x)－f′(x0)x，下面研究g(x)在x∈(0，1)上的單調(diào)性，

g′(x)=f′(x)－f′(x0)，∵f′(x)=4(1－x2)(1+x2)2在（0，1）上為單調(diào)遞減，且在R上為偶函數(shù)，則由g′(x)=f′(x)－f′(x0)=f′(x)－f′(|x0|)，

若x∈(0，|x0|)，f′(x)>f′(|x0|)此時(shí)

g′(x)>0則g(x)遞增；若x∈(|x0|，1)，f′(x)

x=|x0|為g(x)的極大值點(diǎn)，又g(x2)=g(x1)則x1與x2必分布在|x0|左右，

即x1<|x0|

評析：通過構(gòu)造新函數(shù)g(x)，討論其在(0，1)上的單調(diào)性，有效回避了簡解1中的代數(shù)變形，利用函數(shù)g(x)的性質(zhì)得證．

上述三種方法無一例外都利用了函數(shù)的單調(diào)性來進(jìn)行處理，而實(shí)質(zhì)上題設(shè)中f(x2)－f(x1)x2－x1的特征本身就是函數(shù)f(x)為增函數(shù)的一種形式表達(dá)，而f′(x)=f(x2)－f(x1)x2－x1，則具有高等數(shù)學(xué)的背景：

拉格朗日中值定理：如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，那么在(a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ζ(a<ζ

由此看出本例就是以拉格朗日中值定理為背景編擬的一道試題，無獨(dú)有偶，2010年遼寧卷理第21題也是利用這一背景編擬成題的，下面給出題目，并運(yùn)用這一定理求解：

已知函數(shù)f(x)=(a+1)lnx+ax2+1，（I(xiàn)）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

（I(xiàn)I）設(shè)a<－1.如果對任意x1，x2∈(0，+∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|，求a的取值范圍．

略解：I(xiàn)）略；I(xiàn)I）由I(xiàn)）知當(dāng)a<－1時(shí)，f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減，不妨令x1

近些年來高考題以高等數(shù)學(xué)相關(guān)知識為背景編擬出的試題層出不窮，因此主動加強(qiáng)新知識的學(xué)習(xí)，優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)，適時(shí)的用一些高觀點(diǎn)的視角來處理數(shù)學(xué)試題，必能把握試題的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，“神來之筆”就不會感覺意外了！