線性規(guī)劃常見問題例析

在線性約束條件下求線性目標函數的最大值或最小值問題，通常稱為線性規(guī)劃問題，求解線性規(guī)劃這類問題的步驟為：①畫：畫線性約束條件所表示的可行域及目標函數線；②移：平移目標函數線，確定其平行線中與可行域有公共點且截距最大或最小的直線所經過的可行域內的點；③求：解方程組求出最優(yōu)解；④答：寫出答案．下面就線性規(guī)劃問題的試題形式舉例，同大家交流．

一、考查線性約束條件構成的可行域問題

例1 （2012年鹽城市龍岡中學第一次月考試題）不等式組x≥0x+3y≥43x+y≤4 所表示的平面區(qū)域的面積等于__________.

解析：本題考查了簡單線性規(guī)劃的可行域及三角形的面積，由圖可知可行域的面積為：12×(4－43)×1=43

二、考查線性目標函數的最值問題

例2 （2012年鹽城市二次模擬試題）設變量x、y滿足約束條件x+y≥3x－y≥－12x－y≤3，則目標函數z=2x+3y的最小值為__________.

解析：畫出可行域如圖所示，又因為目標函數z=2x+3y可化為：y=－23x+z3，求的最小值就轉化為求直線y=－23x+z3縱截距的最小值，由圖易知，當直線過點C（2，1）時縱截距最小，此時目標函數z=2x+3y的最小值為：2×2+3×1=7

三、考查有關距離、斜率的最值問題

例3 變量x、y滿足x－4y+3≤03x+5y－25≤0x≥1，

（１）設z=x2+y2，求z的取值范圍；

（２）設z=yx，求z的最小值．

解析：畫出不等式組所表示的平面區(qū)域（如圖所示）

（１）因為z=x2+y2=(x－0)2+(y－0)2，所以z的值是可行域上的點到原點的距離的平方，觀察圖形可知，可行域上的點到原點的距離中，dmin=|OC|=2， dmax=|OB|=29，所以d2min≤z≤d2max即2≤z≤29.

（２）因為z=yx=y－0x－0的幾何意義是可行域上的點到原點O連線的斜率，結合圖形可知，zmin=kOB=25.

本例與常規(guī)線性規(guī)劃不同，主要是目標函數不是直線形式，此類問題常常考慮目標函數的幾何意義，常見代數式的幾何意義主要有以下幾點：

（１）x2+y2表示點(x，y)與原點(0，0)的距離；(x－a)2+(y－b)2表示點(x，y)與點(a，b)的距離．

（２）yx表示點(x，y)與原點(0，0)連線的斜率；y－bx－a表示點(x，y)與點(a，b)連線的斜率．

這些代數式的幾何意義能使所求問題得以轉化，往往是解決問題的關鍵．

四、考查參數的取值范圍

例4 （2010年安徽師大附中模擬試題）已知變量x、y滿足約束條件1≤x+y≤4－2≤x－y≤2，若目標函數z=ax+y（其中a>0）僅在點（3，1）

處取得最大值，則a的取值范圍為 .

解析：約束條件表示的平面區(qū)域如圖所示，其中A（3，1），kAD=1，kAB=－1，目標函數z=ax+y（其中a>0）中的z表示斜率為－a的直線系中的縱截距的大小，若僅在點（3，1）處取到最大值，則斜率應小于kAB=－1，即－a<－1，所以a的取值范圍為(1，+∞)．

例5 設0(ax)2的解集中的整數恰有3個，求a的取值范圍．

解析：因為不等式(x－b)2>(ax)2等價于|x－b|>|ax|，先畫出函數y=|x－b|的圖像，因為a+1>0，所以a>－1，再結合圖象可知，當－1|ax|的解集中有無數

個整數解，不符合題意；當a>1時，由方程組y=axy=－x+b 求出A點的橫坐標為b1+a，由方程組y=－axy=－x+b 求出B點的橫坐標為b1－a，因為0(ax)2的解集中的整數恰有3個，所以－3≤b1－a<－2，即：2(a－1)

五、考查線性規(guī)劃的實際應用

例6 某公司計劃2011年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費用不超過9萬元，甲、乙兩個電視臺的廣告費用標準分別為500元/分鐘和200元/分鐘，規(guī)定甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司帶來的收益分別為0.3萬元0.2萬元，問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大？最大收益是多少萬元？

解析：設公司在甲、乙兩個電視臺做廣告的時間分別為x分鐘和y分鐘，總收益為z元，則約束條件為x+y≤300500x+200y≤90000x≥0y≥0，即x+y≤3005x+2y≤900x≥0y≥0

目標函數為：z=3000x+2000y

作出可行域所表示的圖形（如圖所示），當直線3000x+2000y=z經過直線x+y=300與5x+2y=900的交點M（100，200）時，目標函數z=3000x+2000y取得最大值3000×100+2000×200=700000.

答：該公司在甲電視臺做100分鐘廣告，乙電視臺做200分鐘廣告，公司的收益最大，最大收益是70萬元．

（作者：高友華，江蘇省鹽城市龍岡中學)