2012年高考三角函數復習指導

縱觀近幾年的三角試題，我們不難發(fā)現，對三角函數的考查力度較大，題型是一大一小或兩小一大，總體難度不大，解答題通常放在第一個，屬容易題，要求每一位同學不失分．主要考查三角變換、三角函數的圖象與性質、解三角形這三大方面.

試題注重立足于課本，考查基本知識、基本公式及同學們的運算能力和合理變形能力，對三角變換的要求有所降低．三角化簡、求值、恒等式證明、圖象、最值、解斜三角形為考查熱點．

常見題型：①三角函數的圖象與性質；②化簡和求值；③三角形中的三角函數；④最值．本文對高考重點、常考題型進一步總結，強化規(guī)律，解法定模，便于同學們考試中迅速提取，自如運用．

考點1．三角函數的求值與化簡

例1 已知cosα=17，cos(α－β)=1314，且0<β<α<π2，

(Ⅰ)求tan2α的值.（Ⅱ）求β.

解：（Ⅰ）由cosα=17，0<α<π2，得sinα=1－cos2α=1－(17)2=437

∴tanα=sinαcosα=43，于是tan2α=2tanα1－tan2α=2×431－(43)2=－8347

（Ⅱ）由0<β<α<π2，得0<α－β<π2

又∵cos(α－β)=1314，∴sin(α－β)=1－cos2(α－β)=1－(1314)2=3314

由β=α－(α－β)得：cosβ=cos［α－(α－β)］=cosαcos(α－β)+sinαsin(α－β)

=17×1314+437×3314=12，所以β=π3.

突破方法技巧：三角函數的化簡、計算、證明的恒等變形的基本思路是：一角二名三結構．即首先觀察角與角之間的關系，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數變換的核心！已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換. 如α=(α+β)－β=(α－β)+β，2α=(α+β)+(α－β)，α+β2=(α－β2)－(α2－β)等．第二看函數名稱之間的關系，通?！扒谢摇?；第三觀察代數式的結構特點．

考點2．解三角形：此類題目考查正弦定理，余弦定理，兩角和差的正余弦公式，同角三角函數間的關系式和誘導公式等基本知識，以考查基本的運算為主要特征.解此類題目要注意綜合應用上述知識.

例2 設函數f(x)=cos(x+23π)+2cos2x2，x∈R．（Ⅰ）求f(x)的值域；（Ⅱ）記△ABC的內角A、B、C的對邊長分別為a，b，c，若f(B)=1，b=1，c=3，求a的值．

解：（Ⅰ）f(x)=cosxcos2π3－sinxsin2π3+cosx+1=－12cosx－32sinx+cosx+1

=12cosx－32sinx+1=sin(x+56π)+1，f(x)的值域為［0，2］

（Ⅱ）由f(B)=1得sin(B+56π)+1=1即sin(B+56π)=0又因0

突破方法技巧：

(1)內角和定理：三角形內角和為π，這是三角形中三角函數問題的特殊性，解題可不能忘記！任意兩角和與第三個角總互補，任意兩半角和與第三個角的半角總互余.銳角三角形三內角都是銳角三內角的余弦值均為正值任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.

(2)正弦定理：asinA=bsinB=csinC=2R(R為三角形外接圓的半徑).注意：①正弦定理的一些變式：(i)a:b:c=sinA:sinB:sinC；(ii)sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R；(iii)a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；②已知三角形兩邊一對角，求解三角形時，若運用正弦定理，則務必注意可能有兩解.

(3)余弦定理：a2=b2+c2－2bccosA，cosA=b2+c2－a22bc等，常選用余弦定理鑒定三角形的形狀.

(4)面積公式：S=12aha=12absinC.

特別提醒：（1）求解三角形中的問題時，一定要注意A+B+C=π這個特殊性：A+B=π－C，sin(A+B)=sinC，sinA+B2=cosC2；（2）求解三角形中含有邊角混合關系的問題時，常運用正弦定理、余弦定理實現邊角互化．

考點3．求三角函數的定義域、值域或最值：此類題目主要有以下幾種題型：（１）考查運用兩角和的正弦公式化簡三角函數式，以及利用三角函數的有界性來求值域的能力.（２）考查利用三角函數的性質， 誘導公式、同角三角函數的關系式、兩角差的公式，倍角公式等基本知識，考查運算和推理能力.（３）考查利用三角函數的有界性來求最大值與最小值的能力.

例3 已知函數f(x)=(1+cotx)sin2x+msin(x+π4)sin(x－π4)．

（1）當m=0時，求f(x)在區(qū)間［π8，3π4］上的取值范圍；（2）當tanα=2時，f(α)=35，求m的值．

解：（1）當m=0時，f(x)=sin2x+sinxcosx

=12(sin2x－cos2x)+12=22sin(2x－π4)+12

又由x∈［π8，3π4］得2x－π4∈［0，5π4］，所以sin(2x－π4)∈［－22，1］，

從而f(x)=22sin(2x－π4)+12∈［0，1+22］.

（2）f(x)=sin2x+sinxcosx－m2cos2x=1－cos2x2+12sin2x－m2cos2x

=12［sin2x－(1+m)cos2x］+12

由tanα=2得sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=45，

cos2α=cos2α－sin2αsin2α+cos2α=1－tan2α1+tan2α=－35，所以35=12［45+(1+m)35］+12，得m=－2．

突破方法技巧：

三角函數的最值主要有以下幾種類型：①形如y=Asin(ωx+φ)、y= asinx+bcosx的，充分利用其有界性去求最值；②形如y=sinx+cosx+sinxcosx的，換元去處理；③形如y= asinx+bsin2x的，轉化為二次函數去處理；④形如y= 2－cosx2－sinx 的，可采用反表示的方法，再利用三角函數的有界性去解決，也可轉化為斜率去通過數形結合解決．

考點4．三角函數的圖象和性質：此類題目要求同學們在熟練掌握三角函數圖象的基礎上對三角函數的性質靈活運用.會用數形結合的思想來解題.

例4 已知函數f(x)=23sinxcosx+2cos2x－1(x∈R)（Ⅰ）求函數f(x)的最小正周期及在區(qū)間［0，π2］上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f(x0)=65，x0∈［π4，π2］，求cos2x0的值．

解：由f(x)=23sinxcosx+2cos2x－1，得f(x)=3(2sinxcosx)+(2cos2x－1)=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)，∴f(x)的最小正周期為π﹒

∵f(x)=2sin(2x+π6)在［0，π6］上單調遞增，在［π6，π2］上單調遞減，

又f(0)=1，f(π6)=2，f(π2)=－1，∴f(x)在［0，π2］上的最大值為2，最小值為-1.

（2）由（1）知f(x0)=2sin(x0+π6)，又f(x0)=65，∴sin(2x0+π6)=35，

由x0∈［π4，π2］，2x0+π6∈［2π3，7π6］從而cos(2x0+π6)=－1－sin2(2x0+π6)=－45

cos2x0=cos［(2x0+π6)－π6］=cos(2x0+π6)cosπ6+sin(2x0+π6)sinπ6=3－4310

突破方法技巧：

研究復雜三角函數的性質，一般是將這個復雜的三角函數化成y=Asin(ωx+φ)的形式再求解，這是解決所有三角函數問題的基本思路.

如果由圖象來求正弦曲線y=Asin(ωx+φ)(ω>0，|φ|<π2，x∈R)的解析式時，其參數A、ω、φ的確定：由圖象的最高點或最低點求振幅A，由周期或半個周期（相鄰最值點的橫坐標間的距離）確定ω，考慮到φ的唯一性，在確定A、ω的基礎上將最值點的坐標代入正弦函數的解析式，在給定的區(qū)間內求出φ的值.

對于單調區(qū)間，要把ωx+φ看作一個整體，如由2kπ-π2≤ωx+φ≤2kπ+π2(k∈Z)解出的x的取值區(qū)間即為y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的增區(qū)間.

總的來講，解答三角試題的策略是：發(fā)現差異（觀察角、函數運算間的差異，即進行所謂的“差異分析”）;尋找聯系（運用相關公式，找出差異之間的內在聯系）;合理轉化（選擇恰當的公式，促使差異的轉化）.