基本不等式的綜合應(yīng)用

不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容之一，它不僅是中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，而且在函數(shù)、三角、數(shù)列、幾何等諸多方面均起著廣泛的工具性作用.近年的高考中，有關(guān)不等式的試題都占有較大的比重，不僅考查了不等式的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法，還考查了運算能力、邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力，而其重要組成部分——基本不等式作為高考的8個C級考點之一，更是受到大家的高度重視.

基本不等式ab≤a+b2≤a2+b22（a>0，b>0）溝通了兩個正數(shù)的“和”、“積”與“平方和”之間的關(guān)系，利用它們可以解決求函數(shù)最值、不等式證明或者實際應(yīng)用等問題，但由于其變形靈活，形式多樣，給學(xué)生的解題帶來一定的困難.本文將從以下三個方面闡述基本不等式的應(yīng)用，希望能給高三學(xué)子提供一定的幫助.

應(yīng)用一、求函數(shù)的最值

例1（1）函數(shù)f（x）=x·（1—3x）（0

分析：條件是積，尋求和或平方和為定值.

不難發(fā)現(xiàn)3x+1—3x=1為定值，因此適當變形即可使用基本不等式：由于0

則1—3x>0，∴f（x）=3x·（1—3x）×13≤（3x+1—3x2）2×13=112，

當且僅當3x=1—3x，即x=16時，函數(shù)取得最大值112.

當然本題還可以展開后利用二次函數(shù)的單調(diào)性求得最大值.

（2）求函數(shù)y=2x—1+5—2x（12≤x≤52）的最大值.

分析：條件是和，尋求和或平方和為定值.

由于（2x—1）+（5—2x）=4為定值，即平方和是定值，因此可將兩個根式看做兩個整體，由于a+b2≤a2+b22，則有a+b≤2·a2+b2

故y≤2·2x—1+5—2x=22，當且僅當2x—1=5—2x，即x=32時函數(shù)取得最大值22.

本題還可以用換元法解決：設(shè)2x—1=m≥0，5—2x=n≥0，則m2+n2=4，

y=m+n，本題即轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問題，同學(xué)們可以自行完成.

（3）a，b∈R+，且a2+2b2=6，求a·1+b2的最大值.

分析：目標是積，條件可看成平方和，但是不能直接使用公式a2+b2≥2ab，注意到條件中a2與b2的系數(shù)之比是1∶2，而目標中比值是1∶1，因此本題需要一定的配湊技巧：

∵a，b∈R+，且a2+2b2=68=a2+（2+2b2）≥2a·2+2b2=22a·1+b2

a·1+b2≤22，當且僅當a2=2+2b2a2+2b2=6 a=2b=1時，a·1+b2取得最大值22.

本題也可以采用代入消元：將a2=6—2b2代入a·1+b2=a2·（1+b2）中，注意到a2>00

總結(jié)：在求兩個數(shù)的和、積或平方和的最值時，應(yīng)該關(guān)注它們的另兩種形式是否能取得定值，或者通過變形是否能取得定值.

例2（1）a，b，x，y∈R，a2+b2=2，x2+y2=1，求ax+by的最大值.

分析：很多同學(xué)會這樣解答：ax+by≤a2+x22+b2+y22=2+12=32.這種解法使用了兩次基本不等式，等號成立的條件是a=x且b=y，但是由于已知條件是a2+b2=2，x2+y2=1，不可能實現(xiàn).

為了讓等號成立的條件一致，可以做適當變形：

a22+b22=1，x2+y2=1a2·x+b2·y≤a22+x22+b22+y22=1ax+by≤2.

當且僅當a2=x且b2=y時等號成立.

本題還可以將已知式相乘：（a2+b2）·（x2+y2）=a2x2+b2y2+a2y2+b2x2

≥a2x2+b2y2+2abxy=（ax+by）2|ax+by|.

∴|ax+by|≤2.

本題還可以采用三角代換：

設(shè)a=2cosα，b=2sinα，x=cosβ，y=sinβ，

則ax+by=2cos（α—β）∈[—2，2]

（2）x，y∈R+，x+2y=1，求x2y2+1xy的最小值.

分析：由于1=x+2y≥22xy0

總結(jié)：在使用基本不等式求解最值時，一定要關(guān)注等號成立的條件！

應(yīng)用二、證明不等式

例3證明不等式：a2+b2+b2+c2+c2+a2≥2（a+b+c）.

分析：初次接觸這個輪換式，很多學(xué)生束手無策，但是始終抓住“和”、“積”、“平方和”，觀察不等號兩邊的構(gòu)成，其實并不難解決.利用公式a+b2≤a2+b22變形得：

a2+b2≥22（a+b），同理：b2+c2≥22（b+c），c2+a2≥22（c+a），三式相加即得證，當且僅當a=b=c時等號成立.

應(yīng)用三、解決實際問題

例4若直角三角形的周長為1，求面積的最大值.

分析：設(shè)兩條直角邊為a，b，則a+b+a2+b2=1，條件是和與平方和，目標是求S=12ab的最大值.由于a+b≥2ab及a2+b2≥2ab，且等號成立的條件相同，故可以兩次使用基本不等式：1=a+b+a2+b2≥2ab+2ab=（2+2）ab，

則ab≤（12+2）2S=12ab≤12×（12+2）2=3—224.當且僅當a=b時等號成立，結(jié)合已知條件可解得：當兩條直角邊均為1—22時，三角形面積取得最大值3—224.

例5為了降低能源損耗，最近上海對新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：C（x）=k3x+5（0≤x≤10），若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元.設(shè)f（x）為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和.

（1）求k的值及f（x）的表達式；

（2）隔熱層修建多厚時，總費用f（x）達到最小，并求最小值.

解：（1）當x=0時，c=8，∴k=40，

∴C（x）=403x+5，

∴f（x）=6x+20×403x+5=6x+8003x+5（0≤x≤10）.

（2）f（x）=2（3x+5）+8003x+5—10，

設(shè)3x+5=t，t∈[5，35]，

∴y=2t+800t—10≥22t·800t—10=70.

當且僅當2t=800t，即t=20時等號成立.這時x=5，因此f（x）最小值為70.

所以，隔熱層修建5cm厚時，總費用f（x）達到最小，最小值為70萬元.

在使用基本不等式解決問題的過程中一定要注意以下幾點：（1）“一正、二定、三相等”是前提；（2）適當使用“拆”“拼”“湊”等技巧；（3）除非等號成立的條件完全一致，否則盡量不要使用兩次或兩次以上的基本不等式.

綜上，許多貌似繁難的不等式問題，深入分析條件和結(jié)論的關(guān)系，對照基本不等式，恰當拼湊，可輕松獲解，這樣既開拓了學(xué)生的思路，又活躍了學(xué)生的思維，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

不過，雖然基本不等式是高考中的C級考點，但是在高考復(fù)習時還是要控制難度，否則就很可能是做無用功，如：變元不超過兩個，變量全是正數(shù)等.

（作者：殷永霞，江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)）