高考數(shù)列求和問題的破解策略

數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在高考和數(shù)學(xué)競(jìng)賽中都占有十分重要的地位，數(shù)列求和問題是數(shù)列的基本內(nèi)容之一，也是高考命題的熱點(diǎn)和重點(diǎn).數(shù)列求和問題題型多變，思維要求高，是數(shù)列的一個(gè)難點(diǎn).鑒于此，下面將數(shù)列求和問題的常見解題策略作一歸納，供2013屆考生復(fù)習(xí)參考.

一、利用常用數(shù)列求和公式求和

若所給數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)于n的多項(xiàng)式，此時(shí)可采用公式法求和，常用求和公式列舉如下：

等差數(shù)列求和公式：Sn=n（a1+an）2=na1+n（n—1）2d，

等比數(shù)列求和公式：

Sn=na1（q=1）

a1（1—qn）1—q=a1—anq1—q（q≠1）

自然數(shù)的方冪和：∑nk=1k3=13+23+33+…+n3=14n2（n+1）2，∑nk=1k=1+2+3+…+n=12n（n+1），

∑nk=1k2=12+22+32+…+n2=16n（n+1）（2n+1）.

例1設(shè)Sn=1+2+3+…+n，n∈N*，求f（n）=Sn（n+32）Sn+1的最大值.

解：由等差數(shù)列求和公式得 Sn=12n（n+1），Sn+1=12（n+1）（n+2）

∴f（n）=Sn（n+32）Sn+1=nn2+34n+64

=1n+34+64n=1（n—8n）2+50≤150

∴當(dāng)n=88，即n=8時(shí)，f（n）max=150

二、錯(cuò)位相減法求和

若數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為cn=anbn，其中{an}，{bn}中有一個(gè)是等差數(shù)列，另一個(gè)是等比數(shù)列，求和時(shí)一般在已知和式的兩邊都乘以組成這個(gè)數(shù)列的等比數(shù)列的公比q，然后再將得到的新和式和原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和，這種方法就是錯(cuò)位相減法.

例2求和：Sn=1+3x+5x2+7x3+…+（2n—1）xn—1（x≠1）……①

解：由題可知，{（2n—1）xn—1}的通項(xiàng)是等差數(shù)列{2n—1}的通項(xiàng)與等比數(shù)列{xn—1}的通項(xiàng)之積

設(shè)xSn=1x+3x2+5x3+7x4+…+（2n—1）xn……②（設(shè)制錯(cuò)位）

①—②得（1—x）Sn=1+2x+2x2+2x3+2x4+…+2xn—1—（2n—1）xn（錯(cuò)位相減）

再利用等比數(shù)列的求和公式得：（1—x）Sn=1+2x·1—xn—11—x—（2n—1）xn

∴Sn=（2n—1）xn+1—（2n+1）xn+（1+x）（1—x）2

例3求數(shù)列22，422，623，…，2n2n，…前n項(xiàng)的和.

解：由題可知，{2n2n}的通項(xiàng)是等差數(shù)列{2n}的通項(xiàng)與等比數(shù)列{12n}的通項(xiàng)之積

設(shè)Sn=22+422+623+…+2n2n……①

12Sn=222+423+624+…+2n2n+1……②（設(shè)制錯(cuò)位）

①—②得（1—12）Sn=22+222+223+224+…+22n—2n2n+1（錯(cuò)位相減）

=2—12n—1—2n2n+1

∴Sn=4—n+22n—1

三、倒序相加法求和

將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（倒序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)（a1+an），Sn表示從第一項(xiàng)依次到第n項(xiàng)的和，然后又將Sn表示成第n項(xiàng)依次倒序到第一項(xiàng)的和，將所得兩式相加，由此得到Sn的一種求和方法.也稱倒序相加法.

例4求證：C0n+3C1n+5C2n+…+（2n+1）Cnn=（n+1）2n.

證明：設(shè)Sn=C0n+3C1n+5C2n+…+（2n+1）Cnn……①

把①式右邊倒轉(zhuǎn)過來得

Sn=（2n+1）Cnn+（2n—1）Cn—1n+…+3C1n+C0n（反序）

又由Cmn=Cn—mn可得

Sn=（2n+1）C0n+（2n—1）C1n+…+3Cn—1n+Cnn……②

①+②得2Sn=（2n+2）（C0n+C1n+…+Cn—1n+Cnn）=2（n+1）·2n（反序相加）

∴Sn=（n+1）·2n.

例5求sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°的值.

解：設(shè)S=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°……①

將①式右邊反序得

S=sin289°+sin288°+…+sin23°+sin22°+sin21°……②（反序）

又因?yàn)?sinx=cos（90°—x），sin2x+cos2x=1，

①+②得2S=（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin289°+cos289°）=89（反序相加）

∴S=892.

四、分組求和法

有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，能分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列的和、差，則對(duì)拆開后的數(shù)列分別求和，再將其合并即可求出原數(shù)列的和.

例6求數(shù)列{n（n+1）（2n+1）}的前n項(xiàng)和.

解：設(shè)ak=k（k+1）（2k+1）=2k3+3k2+k，

∴Sn=∑nk=1k（k+1）（2k+1）=∑nk=1（2k3+3k2+k），

將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得：

Sn=2∑nk=1k3+3∑nk=1k2+∑nk=1k

=2（13+23+…+n3）+3（12+22+…+n2）+（1+2+…+n）

=n2（n+1）22+n（n+1）（2n+1）2+n（n+1）2

=n（n+1）2（n+2）2.

五、裂項(xiàng)相消法求和

有些數(shù)列求和的問題，可以對(duì)相應(yīng)的數(shù)列的通項(xiàng)公式加以變形，將其寫成兩項(xiàng)的差，這樣整個(gè)數(shù)列求和，各加數(shù)都按同樣的方法裂成兩項(xiàng)之差，其中每項(xiàng)的被減數(shù)一定是后面某項(xiàng)的減數(shù)，從而經(jīng)過逐項(xiàng)相互抵消僅剩下有限項(xiàng)，可得出前n項(xiàng)和公式.這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用，也稱為分裂通項(xiàng)法.它適用于{canan+1}型（其中{an}是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)）、部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等.常見拆項(xiàng)公式有：

an=f（n+1）—f（n）；1（2n—1）（2n+1）=12（12n—1—12n+1）；1n（n+1）=1n—1n+1；1n（n+1）（n+2）=12（1n（n+1）—1（n+1）（n+2））；1a+b=1a—b（a—b）；

（2n）2（2n—1）（2n+1）=1+12（12n—1—12n+1）；sin1°cosn°cos（n+1）°=tan（n+1）°—tann°.

例7求數(shù)列11+2，12+3，…，1n+n+1，…的前n項(xiàng)和.

解：設(shè)an=1n+n+1=n+1—n，

則Sn=11+2+12+3+…+1n+n+1

=（2—1）+（3—2）+…+（n+1—n）

=n+1—1.

例8設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和

Sn=43an—13×2n+1+23，n=1，2，3，…，令Tn=2nSn，n=1，2，3，…，求∑ni=1Ti.

解：由題意得：an=4n—2n（其中n為正整數(shù)）

Sn=43an—13×2n+1+23=43（4n—2n）—13×2n+1+23=23（2n+1—1）（2n—1）

Tn=2nSn=32×2n（2n+1—1）（2n—1）=32×（12n—1—12n+1—1）

所以：∑ni=1Ti=32×（121—1—12n+1—1）

=3（2n—1）2n+1—1.

六、并項(xiàng)求和

針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求和Sn.

例9設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1=1，前n項(xiàng)和Sn滿足關(guān)系式：3tSn—（2t+3）Sn—1=3t，（t>0，n=2，3，4，…）設(shè)數(shù)列{an}的公比為f（t），作數(shù)列{bn}使b1=1，bn=f（1bn—1），（n=2，3，4，…），求和：b1b2—b2b3+b3b4—b4b5…+b2n—1b2n—b2nb2n+1.

解：由題意知{an}為等比數(shù)列，得an=（2t+33t）n—1，故f（t）=2t+33t

故：bn=2n+13，可知{b2n—1}和{b2n}是首項(xiàng)分別為1和53，公差均為43的等差數(shù)列.

于是b1b2—b2b3+b3b4—b4b5+…+b2n—1b2n—b2nb2n+1

=b2（b1—b3）+b4（b3—b5）+b6（b5—b7）+…+b2n（b2n—1—b2n+1）

=—43（b2+b4+…+b2n）=—4312n（53+4n+13）

=—49（2n2+3n）.

七、利用數(shù)列的通項(xiàng)求和

先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法.

例10求1+11+111+…+111…1n個(gè)1之和.

解：由于111…1k個(gè)1=19×999…9k個(gè)9=19（10k—1）（找通項(xiàng)及特征）

∴1+11+111+…+111…1n個(gè)1

=19（101—1）+19（102—1）+19（103—1）+…+19（10n—1）（分組求和）

=19（101+102+103+…+10n）—19（1+1+1+…+1n個(gè)1）

=19·10（10n—1）10—1—n9=181（10n+1—10—9n）.

八、累加法

給出數(shù)列{Sn}的遞推式和初始值，若遞推式可以巧妙地轉(zhuǎn)化為Sn—Sn—1=f（n）型，可以考慮利用累加法求和，此法也叫疊加法.

例11已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=12，Sn=n2an—n（n—1），n∈N，求Sn

解：由Sn=n2an—n（n—1）（n≥2）得：Sn=n2（Sn—Sn—1）—n（n—1），

即（n2—1）Sn—n2Sn—1=n（n—1），

∴n+1nSn—nn—1Sn—1=1，對(duì)n≥2成立.

將n+1nSn—nn—1Sn—1=1，nn—1Sn—1—n—1n—2Sn—2=1，…，32S2—21S1=1累加，則n+1nSn—2S1=n—1，又S1=a1=12，

所以Sn=n2n+1，當(dāng)n=1時(shí)，也成立.

九、多法并舉求和

根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前n項(xiàng)和，它通常集分組、裂項(xiàng)、公式求和于一體，是一個(gè)解決綜合性數(shù)列求和的重要途徑.

例12已知數(shù)列{an}：an=8（n+1）（n+3），求∑nk=1（k+1）（ak—ak+1）的值.

解：∵（k+1）（ak—ak+1）

=8（k+1）[1（k+1）（k+3）—1（k+2）（k+4）]

=4·（1k+2—1k+4）+8（1k+3—1k+4），

∴ ∑nk=1（k+1）（ak—ak+1）

=4∑nk=1（1k+2—1k+4）+8∑nk=1（1k+3—1k+4）

=13n2+43n3（n+4）（n+3）.

（作者：徐玉坤，如皋市職業(yè)教育中心校）