放飛數(shù)列，風(fēng)景一路

對數(shù)列來說，首先是要掌握其基本定義，其次要掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列性質(zhì)、通項公式及由此而引出的典型題例.

風(fēng)景一：an與Sn之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系

例1在數(shù)列{an}中，前n項和Sn=3+2an，求前n項和Sn.

解析：本題研究的是Sn和an之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，可利用an=Sn—Sn—1（n≥2）進行轉(zhuǎn)換.

解：∵Sn=3+2an，則Sn—1=3+2an—1（n≥2），則Sn—Sn—1=2an—2an—1，即an=2an—2an—1，

∴an=2an—1，∴{an}是以2為公比的等比數(shù)列.

在Sn=3+2an中，令n=1，則S1=3+2a1，得到a1=—3，

則an=（—3）×2n—1，因此得到Sn=3+2[（—3）×2n—1]=3—3×2n，即Sn=3（1—2n）（n≥2），

∵S1=a1=—3適合上式，則Sn=3（1—2n）（n∈N*）.

點評：運用an=Sn—Sn—1（n≥2）進行轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換成只有an或只有Sn的形式，用等比數(shù)列（等差數(shù)列）解題，但是要注意n≥2的條件中不含n=1，應(yīng)該對n=1作出解釋.

風(fēng)景二：數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用

例2（1）等差數(shù)列{an}中，a2+a12=24，求S13；（2）已知等差數(shù)列{an}的前4項和為25，后4項和為63，前n項和為286，求項數(shù)n.

解析：本題研究的是等差數(shù)列的性質(zhì)及公式Sn=n2（a1+an）的應(yīng)用.

解：（1）∵a2+a12=a1+a13=24，

∴S13=13（a1+a3）2=13×242=156；

（2）∵a1+a2+a3+a4=25，∴an+an—1+an—2+an—3=63，∴4（a1+an）=88，∴a1+an=22，

∴Sn=n2（a1+an）=11n=286，∴n=26.

點評：（1）運用性質(zhì)am+an=ap+aq可以使問題變得簡單，以后遇到類似的問題要注意能靈活應(yīng)用.

（2）本題的解答體現(xiàn)了“整體代換”和“設(shè)而不求”的思想.

風(fēng)景三：數(shù)列的判斷

例3已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*），求通項an.

解析：本題研究遞推公式的應(yīng)用，一是將已知條件兩端各添加一個實數(shù)，使得{an+a}滿足一種規(guī)律，從而求得an+a的關(guān)系式；二是將已知條件遞推后作差，構(gòu)造等比數(shù)列.

解：由an+1=2an+1，則得到an+1+1=2（an+1），數(shù)列{an+1}是以a1+1=2為首項，2為公比的等比數(shù)列，則an+1=2×2n—1，則an=2n—1（n∈N*）.

點評：若an+1+α=β（an+α），則有an+1=βan+αβ—α與原條件對照，即可求得α、β的值.

風(fēng)景四：數(shù)列性質(zhì)應(yīng)用

例4已知等比數(shù)列{an}中，a1+a2=30，a3+a4=120，則a5+a6的值.

解析：本題考查的是等比中項的應(yīng)用，先將三個和變成等比數(shù)列，再由中項公式求解.

解：方法1：∵{an}是等比數(shù)列，且a1+a2=30，則q2（a1+a2）=120，q4（a1+a2）=x，

∴1202=30x，則x=480，所以a5+a6=480.

方法2：∵{an}是等比數(shù)列，a1+a2=30且a3+a4=q2（a1+a2）=120，

∴q2=4，則a5+a6=q2（a3+a4）=480.

點評：對于數(shù)列來說，若取a1+a2為一個整體，a1+a2，a3+a4，…，仍然成等比數(shù)列，當(dāng)然取三項為一個整體同樣也成立.

風(fēng)景五：探索與創(chuàng)新

例5數(shù)列{an}中，a1=8，a4=2，且滿足an+2—2an+1+an=0（n∈N*），（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)Sn=|a1|+|a2|+…+|an|，求Sn；（3）設(shè)bn= 1n（12—an）（n∈N*），Tn=b1+b2+…+bn（n∈N*），是否存在最大整數(shù)m，使得對于任意n∈N*，均有Tn>m32成立？若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由.

解析：本題綜合研究用所學(xué)知識解決問題的能力，解決本題的難點之一是如何去掉Sn中的絕對值符號；難點之二是第（3）問題，這是探索性問題，解題思路是先假設(shè)存在，然后作出正確的推理論證.

解：（1）∵an+2—2an+1+an=0，

∴an+2—an+1=an+1—an，則{an}為等差數(shù)列，

設(shè)公差為d，∵a1=8，a4=a1+3d=2，∴d=—2，

∴an=8+（n—1）×（—2）=10—2n（n∈N*）.

（2）對于an=10—2n，設(shè)an≥0，an+1<0解得n≤5，

當(dāng)n≤5時，Sn=a1+a2+…+an=n（a1+an）2=—n2+9n，

當(dāng)n>5時，Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+a3+a4+a5—a6—a7—…—an=2S5—Sn

Sn=2（—52+9×5）—[8n+n（n—1）2×（—2）]=n2—9n+40.∴Sn=—n2+9n（n≤5）n2—9n+40（n>5）.

（3）∵bn=1n（12—an）=12n（n+1）=12（1n—1n+1），

∴Tn=b1+b2+…+bn=12[（1—12）+（12—13）+…+（1n—1n+1）]=12（1—1n+1）=n2（n+1）.

∵Tn+1—Tn=n+12（n+2）—n2（n+1）=12（n+1）（n+2）>0，

∴數(shù)列{Tn}是單調(diào)遞增的，又T1=14為Tn的最小值，∴要使Tn>m32恒成立，需要m32

點評：本題主要利用等差數(shù)列的定義及前n項和公式解題，注意數(shù)列中從哪一項開始起為負(fù)數(shù)，在去絕對值時加負(fù)號，在求Tn時利用了數(shù)列求和的裂項法把1n（n+1）拆開，解題時要注意技巧性.

總之，對于數(shù)列問題，是風(fēng)景一路，讓我們憧憬，讓我們都流連往返.

（作者：周文國，張家港職業(yè)教育中心校）