不等式易錯(cuò)點(diǎn)剖析

基本不等式和二次不等式都是C級(jí)要求，在高考試卷上必有體現(xiàn)，高考試卷上涉及到不等式相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的試題占了較大的比重.不等式的復(fù)習(xí)可以從解不等式、用不等式和證不等式三個(gè)方面著手，本文試圖從這三個(gè)方面來(lái)探討和不等式有關(guān)的問題.

一、解不等式

我們面臨的解不等式包括解一次不等式、二次不等式、分式不等式、指對(duì)數(shù)不等式、三角不等式，絕對(duì)值不等式等，若不等式中含有參數(shù)，則必須進(jìn)行必要的討論.下面通過(guò)幾例加以說(shuō)明.

例1解關(guān)于x的不等式：a（x—1）x—2>1（a≠1）

解析：這個(gè)分式不等式含有參數(shù)a，需要對(duì)a進(jìn)行討論，討論的依據(jù)包括分解后x的系數(shù)符號(hào)和根的大小的比較.

解：變形：（a—1）x—（a—2）x—2>0

當(dāng)a>1時(shí)x∈（—∞，a—2a—1）∪（2，+∞）

當(dāng)0

當(dāng)a=0時(shí)x∈

當(dāng)a<0時(shí)x∈（a—2a—1，2）

易錯(cuò)點(diǎn)剖析：對(duì)于分式不等式和高次不等式，均可用標(biāo)根法來(lái)處理，分解的目的是找根，但是必須注意分解后的每一個(gè)因式中的x的系數(shù)必須為正，否則得的答案可能和正確答案完全背離.若出現(xiàn)有參數(shù)的不等式求解，必須對(duì)參數(shù)進(jìn)行必要的討論，討論的依據(jù)是因式的系數(shù)符號(hào)、根的大小比較等.二次不等式的求解可以借助二次函數(shù)的圖像會(huì)更直觀.對(duì)于指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式的處理，一般需要先化同底，后等價(jià)變形.

二、用不等式

用不等式處理數(shù)學(xué)問題也是高考試卷上常見題型，基本不等式是常用的工具，利用基本不等式可以求最值，可以解決一些恒成立問題和有解問題.

例2若關(guān)于x的方程4x+a·2x+a+1=0有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析：本題是個(gè)有解問題，令t=2x（t>0），換元后可以看成關(guān)于t的二次方程有解，轉(zhuǎn)化為根的分布問題，但需要進(jìn)行根的個(gè)數(shù)的討論.通過(guò)分離變量處理，轉(zhuǎn)化為求最值問題，可以避開繁雜的討論.

解：令t=2x（t>0），則原方程化為t2+at+a+1=0，變形得

a=—1+t21+t=—（t2—1）+2t+1=—[（t—1）+2t+1]

=—[（t+1）+2t+1—2]≤—（22—2）=2—22

當(dāng)且僅當(dāng)t+1=2t+1即t=2—1時(shí)取等號(hào)

∴a≤2—22

例3若x，y∈R+且滿足4x+16y=1，求x+y的最小值.

解析：本題如果通過(guò)4x+16y=1≥24×16xy求出xy的最小值，然后根據(jù)x+y≥2xy尋找答案.其間用兩次基本不等式，注意到兩次等號(hào)成立的條件是不一致的，這樣就導(dǎo)致最后的答案有誤.若配湊“1”并進(jìn)行“1”的代換，整理后就能湊到基本不等式的形式，減少了使用基本不等式的次數(shù)，有效地避免了等號(hào)不能同時(shí)取到的麻煩.

解：由x，y∈R+且4x+16y=1得x+y=（x+y）（4x+16y）=4yx+16xy+20

≥24yx·16xy+20=36，當(dāng)且僅當(dāng)4yx=16xy，

即x=12且y=24時(shí)，等號(hào)成立，所以x+y的最小值是36.

易錯(cuò)點(diǎn)剖析：恒成立問題和有解問題的處理，可以嘗試進(jìn)行變量分離，利用a>f（x）有解a>f（x）min，a>f（x）恒成立a>f（x）max，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)最值問題，可以有效的避免繁雜的討論，需要注意的是，不是每一個(gè)有解問題和恒成立問題都可以順利分離變量！

關(guān)于基本不等式的應(yīng)用，需要遵循“一正、二定、三相等”的原則，在具體應(yīng)用時(shí)需要構(gòu)造正元，湊定，關(guān)注等號(hào)成立的條件，三者缺一不可.

三、證不等式

利用代數(shù)恒等變換以及放大、縮小方法是證明不等式的常用方法，例如，比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等.一些涉及到和自然數(shù)有關(guān)的不等式證明也可以考慮用數(shù)學(xué)歸納法.不等式的證明往往需要較高的技巧，在不等式證明的過(guò)程中，常常很難從這些復(fù)雜的代數(shù)恒等變換中看到數(shù)學(xué)的本質(zhì)，我們?cè)诓坏仁酵评碜C明的過(guò)程中，要理解不等式證明的數(shù)學(xué)思想，掌握一些常用的技巧.

例4設(shè)a、b是非負(fù)實(shí)數(shù)，求證：a3+b3≥ab（a2+b2）.

解析：本題主要考查證明不等式的基本方法，考查推理論證的能力.

證明：由a、b是非負(fù)實(shí)數(shù)，作差得

a3+b3—ab（a2+b2）=a2a（a—b）—b2b（a—b）

=（a—b）[（a）5—（b）5]

當(dāng)a≥b時(shí)，a≥b，從而（a）5≥（b）5，得（a—b）[（a）5—（b）5]≥0；

當(dāng)a0；

所以a3+b3≥ab（a2+b2）.

易錯(cuò)點(diǎn)剖析：證明不等式常用方法是比較法，比較法又分為作差比較和作商比較，理論依據(jù)分別是a>ba—b>0和b>0，ab>1a>b，作差比較的要點(diǎn)是作差后要對(duì)所作的差進(jìn)行因式分解，分解到每個(gè)因式的正負(fù)比較明顯為止，作商比較的時(shí)候務(wù)必要注意被除式的符號(hào).

例5已知a>1，λ>0，求證：loga（a+λ）>log（a+λ）（a+2λ）

解析：由題意，a>1，λ>0，不等式兩側(cè)都是正數(shù)，考慮到作差后兩個(gè)對(duì)數(shù)不是同底，作差后操作比較困難，故可以嘗試作商處理.

證明：∵log（a+λ）（a+2λ）loga（a+λ）=log（a+λ）（a+2λ）·log（a+λ）a

≤[log（a+λ）（a+2λ）+log（a+λ）a2]2=[log（a+λ）a（a+2λ）2]2

=[log（a+λ）（a2+2aλ）2]2<[log（a+λ）（a+λ）22]2=1

又loga（a+λ）>0，∴log（a+λ）（a+2λ）<loga（a+λ）

易錯(cuò)點(diǎn)剖析：對(duì)于作商比較來(lái)說(shuō)，如何通過(guò)等價(jià)變形和合適放縮來(lái)和1進(jìn)行比較是難點(diǎn)，基本不等式和放縮是常用的處理方式.

例6已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求證：3a+1+3b+1+3c+1≤32.

解析：本題是條件不等式的證明，且變量a，b，c是可以輪換的，容易觀察出等號(hào)成立的條件是a=b=c=13，可以嘗試將左邊的根號(hào)去掉，利用基本不等式ab≤a+b2，a，b∈R可以解決，但是本題中需要關(guān)注等號(hào)成立的條件.

證法一：（3a+1）·2≤3a+1+22=3a+32

（3b+1）·2≤3b+1+22=3b+32

（3c+1）·2≤3c+1+22=3c+32

三個(gè)式子相加后得到（3a+1）·2+（3b+1）·2+（3c+1）·2≤3a+32+3b+32+3c+32

=3（a+b+c）+92=6

所以3a+1+3b+1+3c+1≤32.

證法二：設(shè)3a+1+3b+1+3c+1=k.

則可令3a+1=k3+t1，3b+1=k3+t2，3c+1=k3+t3，其中t1+t2+t3=0.

所以3a+1+3b+1+3c+1=（k3+t1）2+（k3+t2）2+（k3+t3）2

即6=k23+23k（t1+t2+t3）+t21+t22+t23=k23+（t21+t22+t23）

所以6≥k23，解得k≤32，即3a+1+3b+1+3c+1≤32.得證.

易錯(cuò)點(diǎn)剖析：證法一中為什么根號(hào)里面要配系數(shù)2是難點(diǎn)，配這個(gè)系數(shù)是要根據(jù)等號(hào)成立的條件a=b=c=13，由3×13+1=2得到該系數(shù)，如果直接用（3a+1）≤3a+1+12=3a+22，也能得到一個(gè)最大值，但等號(hào)成立的條件取不到，顯然得到了錯(cuò)誤的結(jié)論.證法二中采用了均值換元，思路還是源于不等式的變量可輪換特征.

不等式滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)各個(gè)分支中，有著十分廣泛的應(yīng)用.不等式的推理證明體現(xiàn)了一定的綜合性、靈活多樣性，對(duì)數(shù)學(xué)各部分知識(shí)融會(huì)貫通，起到了很好的促進(jìn)作用.在解決問題時(shí)，要依據(jù)題設(shè)與結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系、選擇適當(dāng)?shù)慕鉀Q方案，最終歸結(jié)為不等式的求解或證明.不等式的證明，方法靈活多樣，還和很多內(nèi)容結(jié)合，推理證明過(guò)程不僅蘊(yùn)涵了豐富的邏輯推理，還涉及到恒等變換和不等變形技巧，而且變形過(guò)程千姿百態(tài)，極易出錯(cuò)，只有多加訓(xùn)練，才能游刃有余.

（作者：蔡正偉，江蘇省靖江高級(jí)中學(xué)）