數(shù)列易錯(cuò)題解析

數(shù)列是高考數(shù)學(xué)中的一棵“常青樹”，可謂?？汲Ｐ?它和其他知識(shí)（如函數(shù)、不等式、解析幾何）的聯(lián)系非常密切.就數(shù)列本身而言，無論是解題方法還是題型的規(guī)律，應(yīng)當(dāng)說都是有所遵循的，因此我們有理由大膽預(yù)測(cè)，明年高考數(shù)列仍將“重復(fù)昨天的故事”.筆者現(xiàn)將數(shù)列應(yīng)該注意的問題列舉如下，希望對(duì)同學(xué)們有所幫助.

一、概念理解、公式應(yīng)用錯(cuò)誤

在高考考綱中，等差、等比數(shù)列屬于C級(jí)要求，基礎(chǔ)性較強(qiáng).因此掌握好它的概念知識(shí)是拿住分的關(guān)鍵.

例1已知數(shù)列{an}是遞增數(shù)列且an=n2+λn，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

錯(cuò)解：因?yàn)閍n=n2+λn為關(guān)于n的二次函數(shù)，其對(duì)稱軸方程為n=—λ2，

要使數(shù)列為遞增數(shù)列，則必須使—λ2≤1，即得λ≥—2.

錯(cuò)因分析：本題同樣是忽視了函數(shù)的定義域n∈N*，陷阱在于—λ2≤1只是數(shù)列為遞增數(shù)列的充分條件，并非必要條件.在數(shù)形結(jié)合研究問題時(shí)考慮情形要全面.

正解：因?yàn)閍n=n2+λn為關(guān)于n的二次函數(shù)，其對(duì)稱軸方程為n=—λ2，

要使數(shù)列為遞增數(shù)列，則必須使—λ2<1.5，即得λ>—3.

例2等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S3+S6=2S9，求公比q.

易錯(cuò)警示：此題易忽略q=1的情況，在等比數(shù)列求和時(shí)要分公比q=1和q≠1兩種情況進(jìn)行討論，切記等比數(shù)列求和公式Sn=na1，q=1a1（1—qn）1—q，q≠1

正解：若q=1，則S3=3a1，S9=9a1，S6=6a1

∴9a1=2×9a1∵a1≠0∴矛盾∴q≠1

∴a1（1—q3）1—q+a1（1—q6）1—q=2·a1（1—q9）1—q

∴q3（2q6—q3—1）=0

∵q≠0∴2q6—q3—1=0∴（2q3+1）（q3—1）=0

∵q≠1∴2q3+1=0∴q=—342

二、設(shè)元時(shí)與題中條件不等價(jià)出錯(cuò)

待定系數(shù)法是解決數(shù)列某些問題的常用方法，但在設(shè)元時(shí)應(yīng)多關(guān)注題目的背景，掌握數(shù)列的基本概念.

例3已知一個(gè)等比數(shù)列{an}前四項(xiàng)之積為116，第二、三項(xiàng)的和為2，求這個(gè)等比數(shù)列的公比.

錯(cuò)解：∵四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)其分別為aq3，aq，aq，aq3，

則有a4=116aq+aq=2，解得q=2±1或q=—2±1，

故原數(shù)列的公比為q2=3+22或q2=3—22

錯(cuò)因分析：按上述設(shè)法，等比數(shù)列公比q2>0，各項(xiàng)一定同號(hào)，而原題中無此條件.

正解：設(shè)四個(gè)數(shù)分別為a，aq，aq2，aq3，

則a4q6=116aq+aq2=2，

∴（1+q）4=64q2

由q>0時(shí)，可得q2—6q+1=0，∴q=3±22；

當(dāng)q<0時(shí)，可得q2+10q+1=0，∴q=—5—46.

例4兩個(gè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，且Sn∶Tn=（5n+13）∶（4n+5），則a10∶b10的值為多少？

錯(cuò)解：設(shè)Sn=（5n+13）k，Tn=（4n+5）k，則an=Sn—Sn—1=5k，bn=Tn—Tn—1=4k，所以a10∶b10=5∶4.

錯(cuò)因分析：從Sn∶Tn=（5n+13）∶（4n+5）可知，比值Sn∶（5n+13）=Tn∶（4n+5）隨著n的變化而變化，不能設(shè)為常數(shù)k，這里忽略了項(xiàng)數(shù)n的可變性而致錯(cuò).實(shí)際上等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是一個(gè)關(guān)于n的二次函數(shù)（不含常數(shù)項(xiàng)），并非一次函數(shù).

正解：設(shè)Sn=（5n+13）nk，Tn=（4n+5）nk，則an=Sn—Sn—1=（10n+8）k，bn=Tn—Tn—1=（8n+1）k，（n≥2），所以an∶bn=（10n+8）∶（8n+1），（n≥2），因此a10∶b10=4∶3.

（此題還可利用等差數(shù)列性質(zhì)“若2m=p+q，m，p，q∈N，則am=ap+aq2”，賦值法：令n=19即可得到S19T19=a1+a19b1+b19=a10b10）.

三、不能準(zhǔn)確、靈活運(yùn)用等差、等比數(shù)列性質(zhì)出錯(cuò)

等差、等比數(shù)列的性質(zhì)基礎(chǔ)性較強(qiáng)，兩者之間通?？梢灶惐韧茖?dǎo)并記憶，運(yùn)用時(shí)要求具有較熟練的運(yùn)算能力.

例5設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sm=30，S2m=90，求S3m.

錯(cuò)解：由{an}為等差數(shù)列，得出Sm，S2m，S3m為等差數(shù)列，所以2S2m=Sm+S3m，得出S3m=150.

錯(cuò)因分析：由{an}為等差數(shù)列，得出Sm，S2m，S3m為等差數(shù)列的結(jié)論是錯(cuò)誤的.正確的結(jié)論應(yīng)該是Sm，S2m—Sm，S3m—S2m為等差數(shù)列（可自行推導(dǎo)）.

正解：因?yàn)閧an}為等差數(shù)列，所以Sm，S2m—Sm，S3m—S2m為等差數(shù)列，所以2（S2m—Sm）=Sm+S3m—S2m，得出S3m=180.

例6方程（x2+mx+163）·（x2+nx+163）=0的四個(gè)實(shí)數(shù)根組成一個(gè)首項(xiàng)為32的等比數(shù)列，則|m—n|= __________

錯(cuò)因分析：設(shè)方程x2+mx+163=0的解為x1，x2；方程x2+nx+163=0的解為x3，x4，則x1x2=x3x4=163，不能依據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)準(zhǔn)確搞清x1，x2，x3，x4的排列順序.

正解： 718.

四、審題不細(xì)，考慮問題不全面

分類討論是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要思想，重點(diǎn)考察學(xué)生審題能力及考慮問題的全面性.

例7設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn=n2+2n+4（n∈N*），求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

錯(cuò)解：∵an=Sn—Sn—1，

∴an=2n+1（n∈N）

錯(cuò)因分析：此題錯(cuò)在沒有分析n=1的情況，以偏概全.誤認(rèn)為任何情況下都有an=Sn—Sn—1（n∈N）.切記公式an=S1，n=1Sn—Sn—1，n≥2

正解：n=1時(shí)，a1=S1=7，

n≥2時(shí)，an=Sn—Sn—1=2n+1

因此數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=7，n=12n+1，n≥2.

例8等差數(shù)列{an}中，an=25—5n，記bn=|an|，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.

錯(cuò)解：由an≥0得n≤5，所以{an}中前5項(xiàng)為非負(fù)，從第6項(xiàng)起為負(fù)，

所以Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50（n≤5），

當(dāng)n≥6時(shí)，Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=（5n—20）（n—5）2.

錯(cuò)因分析：①把n≤5理解為n=5，②把“前n項(xiàng)和”誤認(rèn)為“從n≥6起”.

正解：由an≥0得n≤5，所以{an}中前5項(xiàng)為非負(fù)，從第6項(xiàng)起為負(fù).

當(dāng)n≤5時(shí)，Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=n（45—5n）2；

當(dāng)n≥6時(shí)，Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a5—（a6+a7+…+an）

=50—（20—5n）（n—5）2

或者 Sn=2（a1+a2+…+a5）—（a1+a2+…+an）

=100—n（45—5n）2

例9求和1+2x+3x2+…+nxn—1.

正解：若x=0，則Sn=1；

若x=1，則Sn=n（n+1）2；

若x≠0且x≠1，令Sn=1+2x+3x2+…+nxn—1

則xSn=x+2x2+3x3+…+（n—1）xn—1+nxn

兩式相減得：（1—x）Sn=1+x+x2+…+xn—1—nxn

∴Sn=1—xn（1—x）2—nxn1—x

錯(cuò)因分析：此題易忽略前兩種情況.數(shù)列求和時(shí)，若含有字母，一定要考慮相應(yīng)的特殊情況.

五、放縮法放縮不得當(dāng)

數(shù)列中的不等式問題是高考的難點(diǎn)熱點(diǎn)問題，對(duì)不等式的證明有比較法、放縮法等.放縮通常有化歸等比數(shù)列和可裂項(xiàng)的形式；數(shù)學(xué)歸納法；運(yùn)用條件不等式等.

例10等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知對(duì)任意的n∈N，點(diǎn)（n，Sn），均在函數(shù)y=bx+r（b>0且b≠1均為常數(shù)）的圖像上.

（1）求r的值；

（2）當(dāng)b=2時(shí)，記bn=2（log2an+1）n∈N

證明：對(duì)任意的n∈N，不等式b1+1b1·b2+1b2…bn+1bn>n+1成立

正解：（1）由題知：Sn=bn+r，當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=b+r，

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn—Sn—1=bn+r—（bn—1+r）=bn—bn—1=（b—1）bn—1，

又因?yàn)閧an}為等比數(shù)列，所以r=—1，公比為b，an=（b—1）bn—1

（2）當(dāng)b=2時(shí)，an=（b—1）bn—1=2n—1，bn=2（log2an+1）=2（log22n—1+1）=2n

則bn+1bn=2n+12n，所以b1+1b1·b2+1b2…bn+1bn=32·54·76…2n+12n

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式b1+1b1·b2+1b2…bn+1bn=32·54·76…2n+12n>n+1成立.

①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=32，右邊=2，因?yàn)?2>2，所以不等式成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立，即b1+1b1·b2+1b2…bk+1bk=32·54·76…2k+12k>k+1成立.則當(dāng)n=k+1時(shí)，

左邊=b1+1b1·b2+1b2…bk+1bkbk+1+1bk+1

=32·54·76…2k+12k·2k+32k+2

>k+1·2k+32k+2=（2k+3）24（k+1）

=[2（k+1）+1]24（k+1）

左邊=4（k+1）2+4（k+1）+14（k+1）

=（k+1）+1+14（k+1）>（k+1）+1

所以當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立.

由①、②可得不等式恒成立.

例11已知數(shù)列{bn}，bn=4+（—14）n1—（—14）n，前n項(xiàng)和為Rn.記cn=b2n—b2n—1（n∈N*），

設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，求證：對(duì)任意正整數(shù)n都有Tn<32；

正解：（1）∵bn=4+5（—4）n—1

∴cn=b2n—b2n—1=542n—1+542n—1+1=25×16n（16n—1）（16n+4）

=25×16n（16n）2+3×16n—4<25×16n（16n）2=2516n

又b1=3，b2=133，∴c1=43.當(dāng)n=1時(shí)，T1<32，

當(dāng)n≥2，Tn<43+25×（1162+1163+…+116n）=43+25×1162[1—（116）n—1]1—116

<43+25×11621—116=6948<32

錯(cuò)因分析：例10證明n=k+1時(shí)，其運(yùn)算要求較高，因式合并再分離，尾部放縮.例11中Tn先進(jìn)行了部分放縮，首項(xiàng)不變.倘若全部放縮了，結(jié)果是53，53>32，則放縮不到位.放縮法是證明不等式的一種常用方法，此法具有較強(qiáng)的靈活性.其求解策略往往是：通過多角度觀察所給數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s，反復(fù)調(diào)整，直至滿足結(jié)論.

數(shù)列是特殊的函數(shù)，而函數(shù)又是高中數(shù)學(xué)的一條主線.所以數(shù)列這一部分是容易命制多個(gè)知識(shí)點(diǎn)交融的題，考察同學(xué)們閱讀理解、邏輯分析、運(yùn)算求解能力及應(yīng)用意識(shí)，這類題型是近幾年高考命題的一個(gè)方向，要引起高度重視.

（作者：顧喜菊，江蘇省江陰長涇中學(xué)）