剖析典型題例凸顯考查重點(diǎn)

不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，它滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的很多章節(jié)，有著十分廣泛的應(yīng)用.不等式部分在江蘇高考考試說(shuō)明中有兩個(gè)C級(jí)考點(diǎn)，占有很大的比重.不等式部分的考查體現(xiàn)了較強(qiáng)的綜合性、靈活多樣性，對(duì)高中數(shù)學(xué)各章知識(shí)的融會(huì)貫通，起到了很好的促進(jìn)作用.筆者擬通過(guò)剖析典型題例，凸顯考查重點(diǎn)，為高三學(xué)子的不等式復(fù)習(xí)指明方向.

一、“不等式”考查凸顯多樣性

例1已知函數(shù)f（x）=log2x，x>02x，x≤0則滿足不等式f（f（x））>1的x的取值范圍是___________.

解：由f（x）>1x>0log2x>1或x≤02x>1x>2，所以f（f（x））>1可得f（x）>2

x>0log2x>2或x≤02x>2x>4，從而滿足不等式f（f（x））>1的x的取值范圍是x>4.

點(diǎn)評(píng)：本題為一道解不等式題，解不等式的考查多以分段函數(shù)為主，在解題時(shí)要將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式組來(lái)解，如能在解題時(shí)多注意觀察，則能化繁為簡(jiǎn).此題中當(dāng)x≤0時(shí)2x≤1，從而由f（x）>2可直接轉(zhuǎn)化為x>0log2x>2.

例2各項(xiàng)均為正偶數(shù)的數(shù)列a1，a2，a3，a4中，前三項(xiàng)依次成公差為d（d>0）的等差數(shù)列，后三項(xiàng)依次成公比為q的等比數(shù)列，若a4—a1=88，則q的所有可能的值構(gòu)成的集合為___________.

解：設(shè)a1，a1+d，a1+2d，a1+88，其中a1，d均為正偶數(shù)，則（a1+2d）2=（a1+d）（a1+88），

整理得a1=4d（22—d）3d—88>0，所以（d—22）（3d—88）<0，即22

當(dāng)d=28時(shí)，a1=168，q=87，所以q的所有可能值構(gòu)成的集合為{53，87}.

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)挖掘隱含條件，建立不等式夾出d的所有可能的取值，一一列舉就能得到答案.這種利用隱含條件建立不等式破解問題的題目屢見不鮮.

二、一元二次不等式考查凸顯靈活性

一元二次不等式、一元二次方程、二次函數(shù)三者之間緊密相連，在解題時(shí)要靈活地進(jìn)行三者之間的相互轉(zhuǎn)化，尋找理解的最佳切入點(diǎn)，尋求解決問題的最佳突破口.

例3已知a1，b1，c1，a2，b2，c2均為非零實(shí)數(shù)，不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0的解集分別為集合M和P，那么“a1a2=b1b2=c1c2”是“M=P”的___________條件.

分析：當(dāng)a1a2=b1b2=c1c2時(shí)，若a1·a2<0，則M≠P；當(dāng)M=P時(shí)，若M=P=R時(shí)，c1和c2在允許的范圍內(nèi)可隨意變動(dòng)，所以a1a2=b1b2=c1c2不一定成立.所以“a1a2=b1b2=c1c2”是“M=P”的既不充分也不必要條件.

點(diǎn)評(píng)：此題全方位地考查了一元二次不等式的解法，既包括二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)，也包括Δ的正負(fù)，既要考慮一般情況，又要注意特殊情況，稍有不慎，極易因考慮不全導(dǎo)致錯(cuò)誤.

三、線性規(guī)劃考查凸顯載體性

例4設(shè)實(shí)數(shù)n≤6，若不等式2xm+（2—x）n—8≥0對(duì)任意x∈[—4，2]都成立，則m4—n4m3n的最小值為___________.

解：不等式可化為（2m—n）x+2n—8≥0，由題意可得（2m—n）（—4）+2n—8≥0（2m—n）×2+2n—8≥03n—4m—4≥0m≥2n≤6

令n=y，m=x，yx=t，則3y—4x—4≥0x≥2y≤6表示的平面區(qū)域如圖

yx表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率，可求yx∈[127，3]即t∈[127，3]，m4—n4m3n=mn—（nm）3=1t—t3，因?yàn)楹瘮?shù)1t—t3在[127，3]上單調(diào)遞減，所以當(dāng)t=3時(shí)1t—t3取得最小值—803即m4—n4m3n的最小值為—803.

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)對(duì)m4—n4m3n的化簡(jiǎn)、換元、求導(dǎo)將問題轉(zhuǎn)化為求區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率.此題巧妙的將線性規(guī)劃問題與函數(shù)導(dǎo)數(shù)結(jié)合起來(lái)了.

四、基本不等式考查凸顯意識(shí)性

例5在某次水下考古活動(dòng)中，需要潛水員潛入水深為30米的水底進(jìn)行作業(yè).其用氧量包含3個(gè)方面：①下潛時(shí)，平均速度為v（米/單位時(shí)間），單位時(shí)間內(nèi)用氧量為cv2（c為正常數(shù)）；②在水底作業(yè)需5個(gè)單位時(shí)間，每個(gè)單位時(shí)間用氧量為0.4；③返回水面時(shí)，平均速度為v2（米/單位時(shí)間），單位時(shí)間用氧量為02.記該潛水員在此次考古活動(dòng)中，總用氧量為y.（1）將y表示為v的函數(shù)；（2）設(shè)0

解：（1）y=30cv+2+12v（v>0）

（2）y=30cv+2+12v≥2+230cv×12v=2+1210c，當(dāng)且僅當(dāng)30cv=12v，即v=25c時(shí)取等號(hào).

當(dāng)25c≤5，即c≥2125時(shí)，v=25c時(shí)，y的最小值為2+1210c.

當(dāng)25c>5，即0

點(diǎn)評(píng)：使用基本不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正、二定、三相等”，對(duì)于“三相等”的理解不能流于形式，要搞懂其真正含義，三相等就是要檢查等號(hào)能否取到，取等號(hào)時(shí)字母有沒有解，檢查取等號(hào)時(shí)自變量的取值在不在允許的范圍內(nèi)，若在則應(yīng)用基本不等式解決問題，不在則利用單調(diào)性求最值；若可在可不在，必須進(jìn)行討論，分別處理.如果使用一次基本不等式不能解決問題，則可以多次使用基本不等式，但必須保證等號(hào)能夠同時(shí)取到.

五、有解、恒成立問題考查凸顯方法性

不等式恒成立（有解）問題在近幾年高考以及各種調(diào)研考試中經(jīng)常出現(xiàn).這類問題既含參變量又含自變量，具有形式靈活、思維性強(qiáng)、知識(shí)交匯點(diǎn)多等特點(diǎn)，綜合性強(qiáng).同時(shí)將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行靈活地轉(zhuǎn)化，是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，又是高考命題中的一個(gè)熱點(diǎn).

例6若不等式|ax3—lnx|≥1對(duì)任意x∈（0，1]都成立，則實(shí)數(shù)a取值范圍是 .

解：顯然x=1時(shí)，有|a|≥1，a≤—1或a≥1.令g（x）=ax3—lnx，g′（x）=3ax2—1x=3ax3—1x

①當(dāng)a≤—1時(shí)，對(duì)任意x∈（0，1]，g′（x）=3ax3—1x<0，g（x）在（0，1]上遞減，g（x）min=g（1）=a≤—1，此時(shí)g（x）∈[a，+∞），|g（x）|的最小值為0，不適合題意.

②當(dāng)a≥1時(shí)，對(duì)任意x∈（0，1]，g′（x）=3ax3—1x=0x=313a

|g（x）|的最小值為g（313a）=13+13ln（3a）≥1，解得：a≥e23.故所求a≥e23.

點(diǎn)評(píng)：本題在處理恒成立問題時(shí)通過(guò)特殊值x=1使不等式成立，縮小了參數(shù)a的范圍，避免了不必要的討論.在處理恒成立問題時(shí)注意通過(guò)一般到特殊，再由特殊到一般的辯證法思想去思考，盡可能地縮小參數(shù)的范圍，這樣在解題時(shí)可減少討論，甚至不用討論.

六、推理與證明考查凸顯思維性

“推理與證明”是數(shù)學(xué)的基本思維過(guò)程，推理與證明貫穿于高中數(shù)學(xué)的整個(gè)體系，它的學(xué)習(xí)是新課標(biāo)教材的一個(gè)亮點(diǎn)，是對(duì)以前所學(xué)知識(shí)與方法的總結(jié)、歸納，并對(duì)后繼學(xué)習(xí)起到引領(lǐng)的作用.

例7在直角△ABC中，兩直角邊的長(zhǎng)分別為a，b，斜邊上的高位h，則1h2=1a2+1b2；推廣到空間，三棱錐PABC中PA、PB、PC兩兩互相垂直，PA、PB、PC的長(zhǎng)分別為a，b，c，P到面ABC的距離為h，則a，b，c，h滿足的式子為：___________.

方法一：在直角△ABC中，兩直角邊的長(zhǎng)分別為a，b，斜邊上的高位h，則1h2=1a2+1b2；此結(jié)論是利用等面積計(jì)算得到的結(jié)果；在空間可利用等體積得到等式；三棱錐PABC中PA、PB、PC兩兩互相垂直，PA、PB、PC的長(zhǎng)分別為a，b，c，P到面ABC的距離為h，所以AB=a2+b2，BC=b2+c2，AC=a2+c2，利用余弦定理及三角公式可得S△ABC=12a2b2+b2c2+c2a2，由VPABC=VAPBCa2b2+b2c2+c2a2h=abc，可推出（a2b2+b2c2+c2a2）h2=a2b2c21h2=1a2+1b2+1c2

方法二：過(guò)P點(diǎn)作PO⊥面ABC，垂足為O，連接CO并延長(zhǎng)交AB于D，連接PD，由題意可證PC⊥面PABPC⊥PD，AB⊥PD，設(shè)PD=h1，在直角三角形PAB中可得1h21=1a2+1b2；在直角三角形PDC中可得1h2=1h21+1c21h2=1a2+1b2+1c2

點(diǎn)評(píng)：方法一是將平面上獲得結(jié)論的方法類比移用到空間立體圖形中，方法二是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來(lái)解決的.上述兩種方法在解決類比推理問題時(shí)實(shí)用有效.

不等式、推理與證明的考查更多的是與其他章節(jié)相結(jié)合，進(jìn)行綜合考查，強(qiáng)調(diào)知識(shí)的綜合和內(nèi)在聯(lián)系，加大數(shù)學(xué)思想方法的考查力度.在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)加強(qiáng)這方面訓(xùn)練，提高應(yīng)用意識(shí)，總結(jié)應(yīng)用規(guī)律，才能真正提高解決問題的能力.

（作者：孫小龍，如皋市第二中學(xué)）