數(shù)列重點(diǎn)題型解析

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是高考考查的重點(diǎn).每年基本都是以一大一小兩道題的形式出現(xiàn).近幾年的高考數(shù)列試題不僅考查數(shù)列的概念、等差數(shù)列和等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)、基本性質(zhì)和基本思想方法，而且考查了學(xué)生的各種能力.解答題大多以考查數(shù)列內(nèi)容為主，并涉及到函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、方程、不等式、解幾等知識(shí)的綜合性運(yùn)用，在解題過(guò)程中通常用到等價(jià)轉(zhuǎn)化，分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想方法，是屬于中高檔難度的題目.

題型一、有關(guān)數(shù)列的基本問(wèn)題

這類(lèi)題圍繞等差、等比數(shù)列的基本知識(shí)、基本公式、基本性質(zhì)命題，難度不大，同學(xué)們應(yīng)注意基本方法的訓(xùn)練，靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)，提高解題速度和準(zhǔn)確性.

例1（11年重慶理11）在等差數(shù)列{an}中，a3+a7=37，則a2+a4+a6+a8=_____________.

【解析】 本題考查了等差數(shù)列的基本性質(zhì)之一：若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則am+an=ap+aq.當(dāng)然，本題也可以通過(guò)基本量法求解.

例2（11年四川理8改）數(shù)列{an}的首項(xiàng)為3，{bn}為等差數(shù)列且bn=an+1—an（n∈N*）.若b3=—2，b10=12，則a8=____________.

【解析】 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與累加法求和.累加法和累積法是數(shù)列常用求通項(xiàng)公式的方法.由已知易得bn=2n—8∴an+1—an=2n—8，由疊加法得

（a2—a1）+（a3—a2）+…+（a8—a7）=—6+（—4）+（—2）+0+2+4+6=0a8=a1=3

題型二、數(shù)列中的推理問(wèn)題

數(shù)列推理題是新出現(xiàn)的命題熱點(diǎn).以往高考常使用立體幾何題來(lái)考查邏輯推理能力，近幾年在數(shù)列題中也加強(qiáng)了推理能力的考查.

例3（08年江蘇）將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：

1

23

456

78910

1112131415

………………

按照以上排列的規(guī)律，第n行（n≥3）從左向右的第3個(gè)數(shù)為_(kāi)___________.

【解析】 本題考查了歸納推理，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.

前n—1 行共有正整數(shù)1+2+…+（n—1）個(gè)，即n2—n2個(gè)，

∴第n行第3個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中第n2—n2+3個(gè)，即為n2—n+62.

題型三、數(shù)列與導(dǎo)數(shù)

例4（2006年江蘇）對(duì)正整數(shù)n，設(shè)曲線(xiàn)y=xn（1—x）在x=2處的切線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為an，則數(shù)列{ann+1}的前n項(xiàng)和的公式是____________.

【解析】 本題考查了應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求曲線(xiàn)切線(xiàn)的斜率、數(shù)列通項(xiàng)公式以及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式.∵y=xn（1—x），∴y′=nxn—1—（n+1）xn.

∴曲線(xiàn)y=xn（1—x）在x=2處的切線(xiàn)的斜率為k=n2n—1—（n+1）2n，切點(diǎn)為（2，—2n）.

∴所以切線(xiàn)方程為y+2n=[n2n—1—（n+1）2n]（x—2）.把x=0，y=an代入，得an=（n+1）2n.∴ann+1=2n.∴數(shù)列{ann+1}的前n項(xiàng)和為2+22+23+…+2n=2n+1—2.

題型四、數(shù)列與解析幾何

例5（2010安徽文21）設(shè)C1，C2，…，Cn，…是坐標(biāo)平面上的一列圓，它們的圓心都在x軸的正半軸上，且都與直線(xiàn)y=33x相切，對(duì)每一個(gè)正整數(shù)n，圓Cn都與圓Cn+1相互外切，以rn表示Cn的半徑，已知{rn}為遞增數(shù)列.

（Ⅰ）證明：{rn}為等比數(shù)列；

（Ⅱ）設(shè)r1=1，求數(shù)列{nrn}的前n項(xiàng)和.

【解析】 本題考查了等比數(shù)列的基本知識(shí)，利用錯(cuò)位相減法求和等基本方法，考察抽象概括能力以及推理論證能力.對(duì)于數(shù)列與幾何圖形相結(jié)合的問(wèn)題，通常利用幾何知識(shí)，并結(jié)合圖形，得出關(guān)于數(shù)列相鄰項(xiàng)an與an+1之間的關(guān)系，然后根據(jù)這個(gè)遞推關(guān)系，結(jié)合所求內(nèi)容，得出通項(xiàng)公式或其他所求結(jié)論.對(duì)于數(shù)列求和問(wèn)題，若數(shù)列的通項(xiàng)公式由等差與等比數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列時(shí)，通常是利用錯(cuò)位相減法解決.

解：（Ⅰ）將直線(xiàn)y=33x的傾斜角記為θ，則有tanθ=33，sinθ=12

記Cn的圓心為（λn，0），則由題意知rnλn=12，得λn=2rn；同理λn+1=2rn+1，從而

λn+1=λn+rn+rn+1，將λn=2rn代入，解得rn+1=3rn，故{rn}是公比q=3的等比數(shù)列.

（Ⅱ）由于rn=1，q=3，故rn=3n—1，從而nrn=n（13）n—1，記Sn=1r1+2r2+…+nrn，

則有Sn=1+2·13+3·（13）2+…+n·（13）n—1，①

Sn3=1·13+2·（13）2+…+（n—1）·（13）n—1+n·（13）n，②

①—②得2Sn3=1+13+（13）2+…+（13）n—1—n·（13）n=1—（13）n23—n·（13）n

=32—（n+32）·（13）n

Sn=9—（2n+3）（13）n—14

題型五、數(shù)列與不等式

數(shù)列是特殊的函數(shù)，而不等式則是深刻認(rèn)識(shí)函數(shù)和數(shù)列的重要工具，三者的綜合求解題是對(duì)基礎(chǔ)和能力的雙重檢驗(yàn)，而三者的證明題所顯現(xiàn)出的代數(shù)推理是近年來(lái)高考命題的新熱點(diǎn).

例6（08湖北）已知數(shù)列{an}和{bn}滿(mǎn)足：

a1=λ，an+1=23an+n—4，bn=（—1）n（an—3n+21），其中λ為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù).

（Ⅰ）對(duì)任意實(shí)數(shù)λ，證明數(shù)列{an}不是等比數(shù)列；

（Ⅱ）試判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；

（Ⅲ）設(shè)0

【解析】 本題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和分類(lèi)討論的思想，考查綜合分析問(wèn)題的能力和推理論證能力.

（Ⅰ）證明：假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使{an}是等比數(shù)列，則有a22=a1a3，即

（23λ—3）2=λ（49λ—4）49λ2—4λ+9=49λ2—4λ9=0，矛盾.

所以{an}不是等比數(shù)列.

（Ⅱ）解：因?yàn)閎n+1=（—1）n+1[an+1—3（n+1）+21]=（—1）n+1（23an—2n+14）

=—23（—1）n（an—3n+21）=—23bn

又b1=—（λ+18），所以當(dāng)λ=—18時(shí)，bn=0（n∈N*），此時(shí){bn}不是等比數(shù)列；

當(dāng)λ≠—18時(shí)，b1=—（λ+18）≠0，由上可知bn≠0，∴bn+1bn=—23（n∈N*）

故當(dāng)λ≠—18時(shí)，數(shù)列{bn}是以—（λ+18）為首項(xiàng)，—23為公比的等比數(shù)列.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)λ=—18時(shí)，bn=0，Sn=0，不滿(mǎn)足題目要求.

∴λ≠—18，故知bn=—（λ+18）（—23）n—1，于是可得Sn=—35（λ+18）[1—（—23）n]

要使a0恒成立

∴a1—（—23）n<—35（λ+18）

令f（n）=1—（—23）n，則當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，1<f（n）≤53；當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，59≤f（n）<1

∴f（n）的最大值為f（1）=53，f（n）的最小值為f（2）=59，

于是，由①式得95a<—35（λ+18）<35b—b—18<λ<—3a—18

∴當(dāng)a

當(dāng)b>3a時(shí)，存在實(shí)數(shù)λ，使得對(duì)任意正整數(shù)n，都有a

題型六、數(shù)列與應(yīng)用題結(jié)合

數(shù)列應(yīng)用題主要注意增長(zhǎng)率、銀行信貸、養(yǎng)老保險(xiǎn)、環(huán)保、土地資源等，首先要分析題意，建立數(shù)列模型，再利用數(shù)列知識(shí)加以解決.

例7（12湖南文20）某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn).該企業(yè)第一年年初有資金2000萬(wàn)元，將其投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長(zhǎng)了50%.預(yù)計(jì)以后每年資金年增長(zhǎng)率與第一年的相同.公司要求企業(yè)從第一年開(kāi)始，每年年底上繳資金d萬(wàn)元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn).設(shè)第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬(wàn)元.

（Ⅰ）用d表示a1，a2，并寫(xiě)出an+1與an的關(guān)系式；

（Ⅱ）若公司希望經(jīng)過(guò)m（m≥3）年使企業(yè)的剩余資金為4000萬(wàn)元，試確定企業(yè)每年上繳資金d的值（用m表示）.

【解析】 本題考查遞推數(shù)列問(wèn)題在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，考查運(yùn)算能力和利用數(shù)列知識(shí)分析解決實(shí)際問(wèn)題的能力.第一問(wèn)建立數(shù)學(xué)模型，得出an+1與an的關(guān)系式an+1=32an—d，第二問(wèn)，只要把第一問(wèn)中的an+1=32an—d迭代，即可解決.也可通過(guò)構(gòu)造等比數(shù)列求解.

解：（Ⅰ）由題意得a1=2000（1+50%）—d=3000—d，a2=a1（1+50%）—d=32a1—d，

an+1=an（1+50%）—d=32an—d.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得an=32an—1—d=（32）2an—2—32d—d=32（32an—2—d）—d=…=（32）n—1a1—d[1+32+（32）2+…+（32）n—2].

整理得an=（32）n—1（3000—d）—2d[（32）n—1—1]=（32）n—1（3000—3d）+2d.

由題意，am=4000，∴（32）m—1（3000—3d）+2d=4000，

解得d=[（32）m—2]×1000（32）m—1=1000（3m—2m+1）3m—2m.

故該企業(yè)每年上繳資金d的值為1000（3m—2m+1）3m—2m，經(jīng)過(guò)m（m≥3）年企業(yè)的剩余資金為4000元.

總結(jié)：數(shù)列的考查方法變化多端，但不管數(shù)列與哪一部分知識(shí)內(nèi)容交匯，數(shù)列自身的內(nèi)容仍是大家需要重點(diǎn)掌握的.對(duì)數(shù)列自身來(lái)講，主要有以下題型：一、求數(shù)列的通項(xiàng)公式，主要方法有：（1）觀(guān)察法；（2）利用an與Sn的關(guān)系an=Sn—Sn—1（n≥2），注意驗(yàn)證首項(xiàng)；（3）利用遞推關(guān)系包括累加法、累乘法、構(gòu)造數(shù)列等.二、求數(shù)列的前n項(xiàng)和，主要方法有：（1）倒序相加法（2）錯(cuò)位相減法（3）裂項(xiàng)相消法（4）分組求和法.三、判斷一個(gè)數(shù)列是等差或等比數(shù)列，只可以依據(jù)等差（比）數(shù)列的定義進(jìn)行證明.以上幾點(diǎn)是解決好數(shù)列問(wèn)題的重中之重.

（作者：顧永建，江蘇省石莊高級(jí)中學(xué)）