AANA 樣本下非參數(shù)模型加權(quán)估計(jì)量的相合性

何其慧

考慮如下非參數(shù)回歸模型：

上述加權(quán)估計(jì)量最早由STONE 提出[1］.由于其應(yīng)用廣泛，很多學(xué)者都對(duì)其進(jìn)行了深入而全面的研究，具體可參考文獻(xiàn)[2-9］，其中不乏很多關(guān)于相依樣本下的相應(yīng)結(jié)果.本文將在AANA 樣本下研究模型（1）中估計(jì)量的矩相合性與完全相合性，所得結(jié)果改進(jìn)和推廣了文獻(xiàn)[10-11］中相應(yīng)的結(jié)論.

本文引用如下一些記號(hào)：C代表正的常數(shù)，其值在不同的地方可以不同，I(A)為事件A的特征函數(shù)，[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，a+=aI(a≥0)且a-= -aI(a＜0).

1 預(yù)備知識(shí)

首先回顧JOAG-DEV 和PROSCHAN[12]提出的如下關(guān)于負(fù)相協(xié)（NA）隨機(jī)變量的概念.

定義1 稱(chēng)隨機(jī)變量{Xi,1 ≤i≤n} 是NA的，如果對(duì){1 ,2,…,n} 的任意非空不交子集A與B都有

Cov(f1(Xi,i∈A),f2(Xj,j∈B)) ≤0,

其中：f1與f2是使上式有意義且對(duì)各變?cè)獑握{(diào)非降的函數(shù).稱(chēng)隨機(jī)變量序列{Xn,n≥1} 是NA 的，如果對(duì)任意n≥2，X1,X2,…,Xn是NA 的.

NA 隨機(jī)變量在多元統(tǒng)計(jì)分析和系統(tǒng)可靠性分析中有廣泛的應(yīng)用，因此，近幾十年很多學(xué)者都對(duì)NA 隨機(jī)變量進(jìn)行了深入的研究.此外，NA 隨機(jī)變量的概念也被推廣到更加寬泛的相依結(jié)構(gòu)，其中之一便是漸近幾乎負(fù)相協(xié)（AANA）.AANA 隨機(jī)變量的概念是在文獻(xiàn)[13］中提出的，其定義如下：

定義2 隨機(jī)變量序列{Xn,n≥1} 稱(chēng)為AANA的，如果存在非負(fù)序列u(n)→0，n→∞使得對(duì)所有n，k≥1，Cov(f(Xn),g(Xn+1,Xn+2,…,Xn+k)) ≤u(n)[Var(f(Xn)Var(g(Xn+1,Xn+2,…,Xn+k))]12，其中：f和g是使得上式方差存在的同為單調(diào)非降（非增）的連續(xù)函數(shù).

AANA 序列包含了NA 序列作為特例（取混合系數(shù)u(n) = 0），同時(shí)文獻(xiàn)[13］也給出了滿足AANA 但不是NA 的例子，故AANA 是包含NA 的一類(lèi)非常寬泛的相依結(jié)構(gòu)，在這種誤差結(jié)構(gòu)下研究模型（1）中估計(jì)量的漸近性質(zhì)有著較為重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值.

最后給出隨機(jī)控制的定義.

定義3 若存在常數(shù)C，使得對(duì)所有的x≥0 及n≥1，都有則稱(chēng)隨機(jī)變量序列{Xn,n≥1} 被隨機(jī)變量X隨機(jī)控制.

為證明本文的主要結(jié)果，還需要下述幾個(gè)重要引理.

引理1[14］令{Xn,n≥1} 為AANA 隨機(jī)變量序列，其混合系數(shù)為{u(n),n≥1} .假設(shè)f1，f2,…都為單調(diào)非降（或非增）的連續(xù)函數(shù)，則仍然為AANA 隨機(jī)變量序列，且其混合系數(shù)仍為{u(n),n≥1} .

2 主要結(jié)果

在給出主要結(jié)果之前，需要先列出如下關(guān)于權(quán)函數(shù)的基本假設(shè)：

上述三個(gè)條件是研究非參數(shù)模型加權(quán)估計(jì)量最基本的假設(shè).基于以上條件，可以建立如下關(guān)于AANA 誤差下估計(jì)量（2）的矩相合性的結(jié)果.

從而式（6）得證.

注1：劉婷婷等人[10］在s= 2 的條件下證明了AANA 樣本下定理1 的結(jié)果.注意到定理1 將s= 2 放寬到1 ＜s≤2，所以定理1 改進(jìn)了劉婷婷等人[10］相應(yīng)的結(jié)果.

定理 2 假設(shè)條件(H1)~(H3) 成立 .{εni,1 ≤i≤n,n≥1} 為 均 值 為0 的AANA 隨機(jī)誤差陣列且被隨機(jī)變量ε隨機(jī)控制，其混合系數(shù)滿足存在正整數(shù)k，常數(shù)p＞0 及q∈(max(3·2k-1,2/p,1+1/p),4·2k-1)， 使 得

最后來(lái)證明J2＜∞.由Cr不等式及引理4可得

由上述證明式（11）得證，故式（9）成立.由式（9）及Borel-Cantelli 引理可得式（10）也成立.

注2：SHEN 等 人[11］在E|ε|1+(1-1/γ)/p＜∞，1/γ＜p＜1 的條件下得到了AANA 樣本下估計(jì)量（2）的完全相合性的結(jié)果，而定理2 則將p的范圍推廣到p＞0.此外，相比SHEN 等人[11］對(duì)結(jié)論的證明，定理2 的證明要簡(jiǎn)單得多.

下面給出主要結(jié)果在最近鄰估計(jì)中的應(yīng)用.取A= [0,1]，xni=i/n，1 ≤i≤n.對(duì)任意的x∈A，將|xn1-x|,|xn2-x|,…,|xnn-x|重新排序如下：

其中如果有i＜j，使得|xni-x|=|xnj-x|，則將|xni-x|排在|xnj-x|前面.對(duì)1 ≤kn≤n，定義權(quán)函數(shù)如下：

由定理1 和定理2，容易得到模型（1）中關(guān)于最近鄰估計(jì)量的矩相合性與完全相合性的結(jié)果.

類(lèi)似推論1 的證明，同樣由定理2 可得到如下結(jié)論.

推論2 假設(shè){εni,1 ≤i≤n,n≥1}為均值為0 的AANA 隨機(jī)誤差陣列且被隨機(jī)變量ε隨機(jī)控制.假定存在正整數(shù)k，常數(shù)0 ＜p＜1及q∈(max(3·2k-1,2/p,1 + 1/p),4·2k-1)，使得

3 結(jié)語(yǔ)

本文主要利用關(guān)于AANA 隨機(jī)序列的矩不等式，建立了AANA 樣本下非參數(shù)回歸模型中加權(quán)估計(jì)量的矩相合性與完全相合性，所得結(jié)果改進(jìn)和推廣了文獻(xiàn)[10-11］中相應(yīng)的結(jié)果.作為應(yīng)用，還得到了AANA 樣本下最近鄰估計(jì)量的矩相合性與完全相合性.