方法決定成敗,“時(shí)間”決定“行為”

帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)是比較復(fù)雜的問(wèn)題，“時(shí)間”決定著帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的“行為”是近幾年高考命題的熱點(diǎn)，也是大家學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)．所謂的“時(shí)間”是一個(gè)廣義的時(shí)間，可以是粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，場(chǎng)的變化時(shí)間，也可以是某個(gè)時(shí)刻，或某段時(shí)間間隔，而所謂“行為”就是對(duì)粒子或?qū)?fù)合場(chǎng)提出的某種要求．

一、找出運(yùn)動(dòng)特征，巧求粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間

例1 1932年，勞倫斯和利文斯設(shè)計(jì)出了回旋加速器．回旋加速器的工作原理如圖1所示，置于高真空中的D形金屬盒半徑為R，兩盒間的狹縫寬d很小，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)與盒面垂直．A處粒子源產(chǎn)生的粒子質(zhì)量為m、電荷量為+q ，在加速器中被加速，加速電壓為U．加速過(guò)程中不考慮相對(duì)論效應(yīng)和重力作用．

（1）若兩盒間狹縫寬d很小，帶電粒子穿過(guò)的時(shí)間可以忽略不計(jì)．求粒子從靜止開(kāi)始加速到出口處所需的時(shí)間；

（2）若帶電粒子穿過(guò)狹縫的時(shí)間不能忽略，求粒子在整個(gè)狹縫中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

解析：（1）設(shè)粒子到出口處被加速了n圈，

（2）因?yàn)樵陔妶?chǎng)中加速時(shí)的加速度大小相等，加速時(shí)間每一次不相等，設(shè)第1次為，第2次為，第3次為，……第n次為，每次加速后的軌道半徑分別為r1、r2、r3……rn，則在電場(chǎng)中加速的總時(shí)間為 ：

求這個(gè)時(shí)間還可以用更巧妙的方法：把粒子在狹縫的整個(gè)加速運(yùn)動(dòng)看成是連續(xù)的初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)．由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律 （n為粒子到射出被加速的圈數(shù)）， 仍然可以求得．

點(diǎn)評(píng)：粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度不斷變大，但在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期與速度大小無(wú)關(guān)．因此，關(guān)鍵是找出加速的次數(shù)n；另外，要求粒子在狹縫中的時(shí)間，關(guān)鍵分析出粒子每次在狹縫中都是勻變速運(yùn)動(dòng)．所以同學(xué)們?cè)谟龅竭@類問(wèn)題時(shí)，首先要根據(jù)題意分析出粒子運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，再用巧妙的方法求解．

二、利用分運(yùn)動(dòng)，求電場(chǎng)變化的時(shí)間

例2 如圖2甲所示，在真空中水平放置兩塊平行金屬板，兩板相距為d，板長(zhǎng)為L(zhǎng)，兩板間加上如圖乙所示的周期性交變電壓，在t=T/4時(shí)，有一電子（質(zhì)量為m，電荷量為e）以水平速度沿兩板正中央飛入電場(chǎng)，要使電子仍從兩板中央沿水平方向飛出電場(chǎng)，交變電壓的頻率最小是多少？在這個(gè)頻率時(shí)所加電壓最大不能超過(guò)多少？

解析：電子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是水平方向分運(yùn)動(dòng)是以速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)． 豎直方向的分運(yùn)動(dòng)是第一個(gè)勻加速，第二個(gè)勻減速至零，并達(dá)最大位移，第三個(gè)反向勻加速，第四個(gè)勻減速至零，又回到中央水平直線處．

電子仍能從兩板中央沿水平方向飛出，必須是電子到達(dá)極板右端時(shí)，在豎直方向上又回到中央直線處，且豎直分速度為零，則飛行時(shí)間為經(jīng)歷一個(gè)周期或幾個(gè)周期的時(shí)間即，周期為最大值時(shí)，

對(duì)應(yīng)的頻率的最小值：，

經(jīng)過(guò)時(shí)，電子在豎直方向到達(dá)最大位移處，即，

為使電子不碰到極板應(yīng)滿足，得．

點(diǎn)評(píng)：解決這類問(wèn)題的核心是粒子在電場(chǎng)方向上一個(gè)周期內(nèi)的位移必須為零，速度的改變量為零．我們知道任何復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)，都可以等效為兩個(gè)簡(jiǎn)單的分運(yùn)動(dòng)，而運(yùn)動(dòng)又具有獨(dú)立性，所以抓住某個(gè)分運(yùn)動(dòng)特征進(jìn)行求解，往往使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化．

三、巧用對(duì)稱性，確定粒子進(jìn)入場(chǎng)的時(shí)間

例3 如圖3甲所示，建立Oxy坐標(biāo)系，兩平行極板P、Q垂直于y軸且關(guān)于x軸對(duì)稱，極板長(zhǎng)度和板間距均為，第一、四象限有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直于Oxy平面向里．位于極板左側(cè)的粒子源沿x軸向右連接發(fā)射質(zhì)量為m、電量為+q、速度相同、重力不計(jì)的帶電粒子．在0~ 3t0時(shí)間內(nèi)兩板間加上如圖3乙所示的電壓（不考慮極板邊緣的影響）．

已知t=0時(shí)刻進(jìn)入兩板間的帶電粒子恰好在t0時(shí)刻經(jīng)極板邊緣射入磁場(chǎng)．上述m、q、、t0、B為已知量．（不考慮粒子間相互影響及返回板間的情況）求：何時(shí)進(jìn)入兩板間的帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短？求此最短時(shí)間．

解析：t=o時(shí)刻進(jìn)入兩極板的帶電粒子在電場(chǎng)中做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)， t0時(shí)刻剛好從極板邊緣射出，在y軸負(fù)方向偏移的距離為l/2，設(shè)其加速度大小為a ，則有l(wèi)/2=at02/2 ①，

因?yàn)榱Ｗ釉诖艌?chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角度有直接關(guān)系，由對(duì)稱性知，2t0時(shí)刻進(jìn)入兩極板的帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短．帶電粒子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)沿y軸正方向的分速度為 ②，

設(shè)帶電粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)速度方向與y軸正方向的夾角為，則 ③，

帶電粒子沿x軸方向的分速度大小為v0=l/t0 ④，

聯(lián)立①②③④式解得，帶電粒子在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的軌跡圖如圖4所示，圓弧所對(duì)的圓心角為，所求最短時(shí)間為，帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為，聯(lián)立以上兩式解得．

點(diǎn)評(píng)：磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最值問(wèn)題，由和得帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間，時(shí)間與速度無(wú)關(guān)，圓心角越大，則粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)，因此圓心角之“最”決定運(yùn)動(dòng)時(shí)間之“最”．

四、利用數(shù)學(xué)規(guī)律，求粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最值

例4 在某平面上有一半徑為R的圓形區(qū)域，區(qū)域內(nèi)外均有垂直于該平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，圓外磁場(chǎng)范圍足夠大，已知兩部分磁場(chǎng)方向相反且磁感應(yīng)強(qiáng)度都為B，方向如圖5所示．現(xiàn)在圓形區(qū)域的邊界上的A點(diǎn)有一個(gè)電量為，質(zhì)量為的帶正電粒子，以沿OA方向的速度經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，已知該粒子只受到磁場(chǎng)對(duì)它的作用力．若粒子在其與圓心O的連線旋轉(zhuǎn)一周時(shí)恰好能回到A點(diǎn)，求該粒子回到A點(diǎn)所需的最短時(shí)間．

解析：設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)的半徑為r，

由此可知粒子在圓形區(qū)域外和圓形區(qū)域內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑相同．

如圖6，O1為粒子運(yùn)動(dòng)的第一段圓弧AB的圓心，O2為粒子運(yùn)動(dòng)的第二段圓弧BC的圓心，根據(jù)幾何關(guān)系可

故∠AOB=∠BOC=2θ

如果粒子回到A點(diǎn)，則必有n˙2θ=2π（n取正整數(shù)） ③，

考慮到θ為銳角，即0<θ<，根據(jù)③可得

粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T=．

因?yàn)榱Ｗ用看卧趫A形區(qū)域外運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和圓形區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間互補(bǔ)為一個(gè)周期T，所以粒子穿越圓形邊界的次數(shù)越少，所花時(shí)間就越短，因此取

而粒子在圓形區(qū)域外運(yùn)動(dòng)的圓弧的圓心角為α，

故所求的粒子回到A點(diǎn)的最短運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t=T+T=．

點(diǎn)評(píng)：粒子要回到A點(diǎn)，必須滿足n˙2θ=2π這個(gè)關(guān)系式，要使運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短，必須n最小．可見(jiàn)把數(shù)學(xué)和物理有機(jī)結(jié)合解決這類問(wèn)題很方便，我們知道數(shù)學(xué)有很多規(guī)律可以應(yīng)用到物理解題中，特別對(duì)求解物理最值問(wèn)題很有效．

五、用累積法，求變加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

例5 如圖所示，質(zhì)量為m、邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形閉合線圈從有理想邊界的水平勻強(qiáng)磁場(chǎng)上方h高處由靜止起下落，磁場(chǎng)區(qū)域的邊界水平，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，線圈的電阻為R，線圈平面始終在豎直面內(nèi)并與磁場(chǎng)方向垂直，ab邊始終保持水平．若線圈一半進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)恰開(kāi)始做勻速運(yùn)動(dòng)，重力加速度為g.求：從線圈cd邊進(jìn)入磁場(chǎng)到開(kāi)始做勻速運(yùn)動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間t

解析：先求出線圈勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度，線圈勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，受到的重力和安培力平衡，

設(shè)線圈進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程中的加速度為a，

線圈進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程中，設(shè)極短時(shí)間內(nèi)的速度變化為，

點(diǎn)評(píng)：從上面的問(wèn)題可以看出，線圈的加速度逐漸減小，速度逐漸增大，最后勻速運(yùn)動(dòng)．求這種變加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是沒(méi)辦法直接用公式來(lái)解決的，我們用這樣一種累積思想就可以解決此類問(wèn)題．