立體幾何創(chuàng)新題型透析

高考命題時(shí)要求設(shè)計(jì)“研究型、探索型或開(kāi)放型的題目，讓考生獨(dú)立思考，自我探索，發(fā)揮主觀能動(dòng)性”．創(chuàng)新題型實(shí)質(zhì)上就是在教材上無(wú)例習(xí)題，教參上無(wú)套路題，往年的考卷無(wú)模擬題的一類(lèi)新型考題．它常常以“問(wèn)題”為核心，以“探究”為途徑，以“發(fā)現(xiàn)”為目的，將數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和原理融于一體，突出對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查，是高考中的熱點(diǎn)題型．

一、類(lèi)比拓展型

對(duì)于兩個(gè)比較相似的問(wèn)題，如果已知一個(gè)問(wèn)題的結(jié)論和方法，那么，我們可以通過(guò)將兩個(gè)問(wèn)題加以比較分析、借鑒與拓展，得出另一個(gè)問(wèn)題的結(jié)論和方法．平面幾何到立體幾何的類(lèi)比在歷年高考中屢屢頻現(xiàn)．將平面問(wèn)題與空間問(wèn)題加以類(lèi)比，有助于對(duì)空間圖形的認(rèn)識(shí)．

例1 函數(shù)的反函數(shù)等于本身，這類(lèi)函數(shù)稱(chēng)為自反函數(shù)．已知真命題：“在平行四邊形中，設(shè)兩鄰邊為夾角為常數(shù)），若該平行四邊形的面積與它的周長(zhǎng)相等，則的函數(shù)關(guān)系為自反函數(shù)關(guān)系：．請(qǐng)你在空間圖形中，寫(xiě)出類(lèi)似的一個(gè)真命題：在長(zhǎng)方體中，設(shè)底面二鄰邊為，高為，若該長(zhǎng)方體的體積與它的表面積相等，則的函數(shù)關(guān)系為自反函數(shù)關(guān)系：_____________．

解析：本題從命題的解法或式子的結(jié)構(gòu)入手類(lèi)比，即可得出答案為：．

評(píng)注：對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題，可從命題的結(jié)構(gòu)形式特征入手，運(yùn)用已知信息，將式子結(jié)構(gòu)、運(yùn)算法則、解題方法、問(wèn)題的結(jié)論、空間維度等通過(guò)合情推理、延伸或遷移，從而得出新的結(jié)論．例如，二維平面的面積比，類(lèi)比聯(lián)想三維空間的體積比；二維平面兩線段乘積的比，可類(lèi)比聯(lián)想到三維空間三線段乘積的比；“每一個(gè)三角形都有一個(gè)外接圓”，將此結(jié)論類(lèi)比到空間可以得到“每一個(gè)三棱椎都有一個(gè)外接球”等．

二、情境新穎型

通過(guò)新的立意，新的背景，新的表述，新的設(shè)問(wèn)都創(chuàng)設(shè)試題的新穎情境，讓考生觸題就能感到題目的“不俗”．其解決途徑和解題方法超越常規(guī)，有一定的創(chuàng)造性成分，需要用觀察、聯(lián)想、模擬等似真推理來(lái)探路，再借助邏輯思維進(jìn)行嚴(yán)格的推理論證．

例2 空間這樣的四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D，使得AB=CD=8 cm，AC=BD=10 cm，AD=BC=13 cm．（填“存在”或“不存在”）

解析：要去尋找這樣的點(diǎn)是很難敘述的，但我們可以虛擬一些特殊的圖形去模擬運(yùn)動(dòng)，判斷結(jié)果．細(xì)看題目有四個(gè)點(diǎn)，顯然可以從四邊形旋轉(zhuǎn)所構(gòu)成的三棱錐模型結(jié)構(gòu)看一下這些長(zhǎng)度關(guān)系是否合理，來(lái)得出需要的結(jié)論．

在空間中，分別以8、10、13為邊長(zhǎng)，作如圖1所示平面四邊形，它由△ABC和△BCD組成，公共邊為BC=13 cm，AC=BD=10 cm，AB=CD=8 cm，固定△ABC所在的平面，令△BCD繞著邊BC旋轉(zhuǎn).顯然當(dāng)D位于△ABC所在的平面時(shí)，AD最大．BC=13 cm，AC=10 cm，AB=8 cm，可得cos∠BAC=-，即可知∠BAC是鈍角，故對(duì)于平行四邊形（即D在平面ABC內(nèi)時(shí)）ABDC，對(duì)角線AD的長(zhǎng)小于對(duì)角線BC的長(zhǎng)，即AD

評(píng)注：該題以空間多點(diǎn)間相對(duì)距離立意，可通過(guò)構(gòu)造先滿(mǎn)足部分條件的圖形模擬運(yùn)動(dòng)導(dǎo)出，屬于邊緣性知識(shí)，設(shè)置為小題顯得不偏、不難，考查了理性思維和分析問(wèn)題的能力．

三、截線截面型

一個(gè)平面與幾何體相交所得的幾何圖形（包括邊界及內(nèi)部）叫做幾何體的截面，截面的邊界叫做截線（或交線），常見(jiàn)的截面有對(duì)角面、軸截面、直截面、平行于底面的截面以及其他具有某種特性的截面．有關(guān)截面的問(wèn)題主要有面積、距離和角的計(jì)算問(wèn)題以及與截面的位置、形狀、數(shù)量有關(guān)的證明和判定問(wèn)題．

例3 如圖2所示的集合體是將高為2，底面半徑為1的直圓柱沿過(guò)軸的平面切開(kāi)后，將其中一半沿切面向右水平平移后得到的．A、A′、B、B′分別為 的中點(diǎn)，分別為的中點(diǎn)．

（1）證明：四點(diǎn)共面；

（2）設(shè)G為A A′中點(diǎn)，延長(zhǎng)到H′，

直線BO2是由直線AO1平移得到，

（2）將AO1延長(zhǎng)至H使得O1H=O1A，連接，∴由平移性質(zhì)得=HB，

評(píng)注：本題考查了軸截面問(wèn)題．截面能反映幾何體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，截面上可集中幾何體的主要元素，反映它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，是研究幾何體的必由之路．常常可以利用截面把幾何體中的元素集中到平面圖形來(lái)，利用降維的思想，實(shí)現(xiàn)空間問(wèn)題向平面問(wèn)題的轉(zhuǎn)化．

四、動(dòng)態(tài)折展型

折疊與展開(kāi)問(wèn)題是立體幾何的兩個(gè)重要問(wèn)題，這兩種方式的轉(zhuǎn)變正是空間幾何與平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化的集中體現(xiàn)．解答折疊問(wèn)題的關(guān)鍵在于畫(huà)好折疊前后的平面圖形與立體圖形，并弄清折疊前后哪些發(fā)生了變化，哪些沒(méi)有發(fā)生變化．這些未變化的已知條件都是我們分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的依據(jù)．而表面展開(kāi)問(wèn)題是折疊問(wèn)題的逆向思維、逆過(guò)程，一般地，涉及到多面體表面的問(wèn)題，解題時(shí)不妨將它展開(kāi)成平面圖形試一試．

例4 已知等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PB=BC=，A為PB邊上一點(diǎn)，且PA=1，將△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD.

（Ⅰ）證明：平面PAD⊥PCD；

（Ⅱ）試在棱PB上確定一點(diǎn)M，使截面AMC把幾何體分成的兩部分；

（Ⅲ）在M滿(mǎn)足（Ⅱ）的情況下，判斷直線PD是否平行面AMC.

解析：（I）易證從略；

（II）由（I）知平面ABCD，∴平面PAB⊥平面ABCD.

如圖3， 在PB上取一點(diǎn)M，作MN⊥AB，則MN⊥平面ABCD，

（Ⅲ）連接BD交AC于O，因?yàn)锳B//CD，AB=2，CD=1，由相似三角形易得BO=2OD

O不是BD的中心 ，又∵M(jìn)為PB的中點(diǎn)

在△PBD中，OM與PD不平行，∴OM所以直線與PD所在直線相交

又OM平面AMC，∴直線PD與平面AMC不平行.

評(píng)注：本題為折疊問(wèn)題，此類(lèi)問(wèn)題應(yīng)該分清折疊前后的哪些量發(fā)生了變化，此外，還要注意找出空間轉(zhuǎn)化為平面的途徑，幾何計(jì)算的準(zhǔn)確性等．

五、幾何交匯型

教材中關(guān)于軌跡，多在平面幾何與平面解析幾何中加以定義，在空間中，只對(duì)球面用軌跡定義作了描述.如果把平面解析幾何中的定點(diǎn)、定直線不局限在同一個(gè)平面內(nèi)，則很自然地把軌跡從平面延伸到空間．

例5 如圖4，棱長(zhǎng)為1的正方體， M、N為BB1、AB的中點(diǎn)，O是B1C的中點(diǎn)，過(guò)O作直線與AM交于P，與CN交于Q.（Ⅰ）求PQ的長(zhǎng)度；（Ⅱ）將平面A1B無(wú)限延展開(kāi)來(lái)，設(shè)平面A1B內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)T，它到直線DD1的距離減去它到P點(diǎn)的距離的平方差為1，請(qǐng)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求出動(dòng)點(diǎn)T所構(gòu)成曲線K的方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，請(qǐng)說(shuō)明以PB為直徑的圓與曲線K是否有交點(diǎn)，如果有請(qǐng)求出；如果沒(méi)有，請(qǐng)使用適當(dāng)?shù)奈淖旨右哉f(shuō)明．

解析：（Ⅰ）連MO交CC1于E，連DE，延長(zhǎng)DA， CN交于Q，連結(jié)OQ交AN于P，則PQ為所求，易得，

（Ⅱ）如圖5，過(guò)T作TE⊥DD1，過(guò)T作TF⊥AA1，又AA1⊥TF，DD1⊥TE，

DD1∥AA1，∴AA1⊥平面TEF，故AA1⊥EF，∴EF∥AD.

在Rt△TFE中，，

∴TF = PT.故T點(diǎn)的軌跡是以P為焦點(diǎn)，以AA1為準(zhǔn)線的拋物線，

以過(guò)P點(diǎn)且垂直于AA1的直線為x軸，以P點(diǎn)AA1的垂線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程，由于P點(diǎn)到AA1的距離為，

故，∴曲線K的方程為.

（Ⅲ）假設(shè)拋物線與圓有交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)為G，則∠PGB為直角，易得，故，又，過(guò)G作GH⊥AA1，則PG = HG.

∴，與矛盾，故交點(diǎn)不存在，于是以PB為直徑的圓與曲線K是沒(méi)有交點(diǎn)．

評(píng)注：此題將立體幾何與解析幾何巧妙結(jié)合，是對(duì)過(guò)去分離考核的創(chuàng)新．許多同學(xué)對(duì)此茫然．但此題的解答卻很簡(jiǎn)單，利用普遍性與特殊性的關(guān)系轉(zhuǎn)化，首先考慮特殊圖形，然后考慮一般情形．

六、割補(bǔ)切接型

立幾問(wèn)題中的某個(gè)幾何圖形可能是另一個(gè)幾何圖形的一部分或者是由兩個(gè)幾何體通過(guò)相切相接組合而成，因此這類(lèi)幾何問(wèn)題可能具有包含它的那類(lèi)幾何問(wèn)題的性質(zhì).由這類(lèi)問(wèn)題與其他問(wèn)題的聯(lián)系解決問(wèn)題的方法，實(shí)際上是在尋找解題的中間環(huán)節(jié).

例6 （1）如圖6，對(duì)于任一給定的四面體，找出依次排列的四個(gè)相互平行的平面，使得，且其中每相鄰兩個(gè)平面間的距離都相等；

（2）給定依次排列的四個(gè)相互平行的平面，其中每相鄰兩個(gè)平面間的距離都為1，若一個(gè)正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)滿(mǎn)足，求該正四面體的體積.

解析：（1）取的三等分點(diǎn)的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，過(guò)三點(diǎn)作平面，過(guò)三點(diǎn)，，作平面，因?yàn)椤?，∥，所以平面∥平面，再過(guò)點(diǎn)，分別作平面，與平面平行，那么四個(gè)平面依次相互平行，由線段被平行平面截得的線段相等知，其中每相鄰兩個(gè)平面間的距離相等，故為所求平面.

（2）如圖7，現(xiàn)將此正四面體置于一個(gè)正方體中，（或者說(shuō)，在正四面體的四個(gè)面外側(cè)各鑲嵌一個(gè)直角正三棱錐，得到一個(gè)正方體）的中點(diǎn)，和是兩個(gè)平行平面，若其距離為1，則正四面體 即為滿(mǎn)足條件的正四面體.圖8是正方體的上底面，現(xiàn)設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，若，則有據(jù)，得，

于是正四面體的棱長(zhǎng)，其體積.（即等于一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體割去四個(gè)直角正三棱錐后的體積）

評(píng)注：在解決體積問(wèn)題時(shí)，“割”或“補(bǔ)”是常用的手段. “割形”與“補(bǔ)形”是解決立體幾何問(wèn)題的常用方法之一，通過(guò)“割”或“補(bǔ)”可將復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為熟悉的簡(jiǎn)單幾何體，從而較快地找到解決問(wèn)題的突破口.

另外，開(kāi)放探索性問(wèn)題也是近年的立體幾何命題的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。此類(lèi)問(wèn)題表現(xiàn)在有的有明確的條件而無(wú)明確的結(jié)論，有的有明確的結(jié)論而無(wú)明確的條件．解決此類(lèi)問(wèn)題的途徑就是明確問(wèn)題探究的類(lèi)型，并通過(guò)觀察、試驗(yàn)、聯(lián)想、演繹、歸納猜想、類(lèi)比、分析、等價(jià)轉(zhuǎn)化、綜合等思維形式解答．也可以借助向量工具，使幾何問(wèn)題代數(shù)化，降低思維的難度加以解決．