數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要追求思維的真實

丁裕

人教版四年級下冊“三角形”這一單元中的“三角形的三邊關(guān)系”是新課程新增加的一個內(nèi)容。在這些年的教學(xué)中，經(jīng)常聽到老師們反映，看似簡單的三邊關(guān)系其實并不容易教。學(xué)生雖然最后能得出三角形“任意兩邊之和大于第三邊”的結(jié)論，通過教學(xué)也能認(rèn)識到“兩邊之和小于第三邊”是圍不成三角形的，但是對于“兩邊之和等于第三邊”也是圍不成三角形的，卻不容易理解。關(guān)于這一點的教學(xué)，已然成了新課程教學(xué)的一大疑難。

因此，平時有很多老師在研究這節(jié)課，包括很多著名特級教師也對這節(jié)課進(jìn)行過公開授課。不過回顧這些課的教學(xué)，雖然各自不盡相同，甚至有的富有特色、十分精巧，但是關(guān)于“兩邊之和等于第三邊”是圍不成三角形的這一結(jié)論的教學(xué)過程或方法，往往離不開先提供材料讓學(xué)生動手操作、然后觀察討論、得出結(jié)論這樣的一種模式，就這一點的教學(xué)效果也不見得很理想。筆者在2009學(xué)年就曾經(jīng)親身實踐過。

教學(xué)片段一：

（組織學(xué)生用一些小棒圍三角形，有的圍成了，有的沒有圍成，并且在老師引導(dǎo)下先將明顯圍不成三角形的情況即“兩邊之和小于第三邊”進(jìn)行反饋、展示完畢并形成結(jié)論。）

師：那么3厘米、5厘米和2厘米這三根小棒能不能圍成三角形呢？

（部分學(xué)生喊能圍成的，也有部分學(xué)生喊圍不成的。然后教師指名回答。）

生1：不能圍成。因為2厘米加上3厘米等于5厘米了。

生2：能圍成。老師你來看，我們已經(jīng)圍成了。

師：你們到投影儀上來展示給大家看看。

（該組學(xué)生派了個代表上來圍，結(jié)果好像圍了一個看上去扁扁的三角形。此時很多學(xué)生不由跟著說：“是能圍成的啊?！币灿袀€別低聲地說：“應(yīng)該是不能圍成的。”）

師：你們這樣圍其實小棒的端點是沒有相連的，只是因為小棒比較粗，看上去好像是圍成三角形了。我們一起來看課件演示。

（在那些認(rèn)為能圍成三角形的同學(xué)似懂非懂、還皺著眉頭的時候，教師開始進(jìn)行課件演示：將5厘米置于底部，兩端接上2厘米和3厘米小棒各自的一端，然后將2厘米和3厘米這兩條線段慢慢往下壓，直至它們的端點相連接并且此時三條線段重疊。）

師：你們看，當(dāng)這三條線段端點全接上時，就重合了。所以當(dāng)兩條邊之和等于第三邊時是圍不成三角形的。

師：那么你們看3厘米、5厘米和8厘米能不能圍成三角形呢？

生（部分）：也是圍不成的。

（但此時，剛才認(rèn)為能圍成三角形的同學(xué)還有些不服氣，嘀咕道：“可是我們是真圍成了呀，這明明就是三角形??！”）

師：好了，有問題我們課后還可以接著討論。下面我們來看看3厘、米5厘米和4厘米這三根小棒能不能圍成三角形……

相信上過或者聽過這節(jié)課的老師對上面這樣的課堂場景一定不會感到陌生。我們能夠清晰地感受到，在教師這樣的教學(xué)組織與引導(dǎo)下，那些親手將“兩根小棒長度之和等于第三根小棒”的一組小棒圍成了“三角形”的學(xué)生，直到老師課件演示完畢甚至整節(jié)課結(jié)束后，他們還認(rèn)為自己的觀點是對的，對老師的講解還是充滿疑問。

其實，我們應(yīng)該能理解那部分堅持己見的學(xué)生。首先根據(jù)人的認(rèn)知特點，各種感官里觸覺和視覺是最為靈敏和強(qiáng)烈的，特別是眼睛看到的事物令人印象深刻。盡管我們知道“兩邊之和等于第三邊”的三根小棒圍成了一個“三角形”是一種“視覺的假象”，但這卻是學(xué)生通過親手操作，然后親眼看見三根小棒好像是圍成三角形了。真所謂“眼見為實”“事實勝于雄辯”，他們此時是無論如何也不會再動用思維來推理、思考其中的邏輯關(guān)系了。其次，課堂上老師所說的小棒是有粗細(xì)的，和線段相比并不完全一樣，存在著一些誤差，這種理解對孩子來說其實非常困難。因為數(shù)學(xué)與生活之間存在著很大的距離，學(xué)生理解的數(shù)學(xué)上的線段，其實都是依附于生活中的實際物體上的，他并不認(rèn)為小棒和線段有什么區(qū)別。因此，這種抽象與具體的關(guān)系此時讓學(xué)生去理解、去接受也是很不現(xiàn)實的。

那么，我們老師到底該怎么辦呢？難道就讓學(xué)生處于這種“視覺的假象”之中嗎？難道就沒有可以有效突破這一難點的辦法或者手段了嗎？答案顯然是否定的。前不久的一堂教研課上，筆者就聽到了一個與前面案例很不一樣的、別出心裁的處理辦法，效果也明顯與前一個案例不一樣。

教學(xué)片段二：

（教師先引導(dǎo)學(xué)生得出所有三角形“任意兩邊之和大于第三邊”這樣的猜想，然后組織學(xué)生在大量三角形中進(jìn)行驗證。接下來安排一組練習(xí)，判斷下面哪一組線段是可以圍成三角形的：①3厘米、5厘米和7厘米；②3厘米、5厘米和10厘米；③3厘米、5厘米和8厘米。第一組讓學(xué)生說理后想象、打手勢比劃圍成的三角形，第二組也讓學(xué)生說理并動手圍一圍來驗證。）

師：第三組線段能不能圍成三角形呢？

（有了前面的學(xué)習(xí)和已知結(jié)論，絕大部分學(xué)生都說圍不成。）

師：為什么呢？你是怎么想的？

生1:因為3厘米加5厘米等于8厘米了，三角形中任意兩邊之和是要大于第三邊的。

師：同學(xué)們想象一下，這樣的三條邊圍起來會成什么樣呢？

（此時部分學(xué)生在皺眉想象，部分學(xué)生舉著手躍躍欲試。然后教師指名回答）

生2：會重合的，合在一起了。

師：真是這樣嗎？跟著課件我們一起來想象一下吧。

（教師開始進(jìn)行課件演示：將5厘米置于底部，兩端接上2厘米和3厘米各自其中的一端，然后將2厘米和3厘米這兩條線段慢慢往中間下壓，并邊壓邊說：“我們讓這兩個端點接上，你們看慢慢接近了、接近了……”一直壓到馬上要重合了才停下來。）

師：如果我們再往下壓，當(dāng)兩個端點接上時，你們覺得這三條邊會怎樣了？

生（齊聲）：重合在一起了！

師：是的，所以當(dāng)兩邊之和等于第三邊時，也是圍不成三角形的，三角形的任意兩邊之和必定是大于第三邊的。

在這個教學(xué)片段中，教師干脆放棄了組織學(xué)生開展動手操作活動，取而代之的是讓學(xué)生進(jìn)行想象與推理。仔細(xì)推敲這樣的教學(xué)設(shè)計，其實非常合理。許多數(shù)學(xué)知識確實需要組織學(xué)生動手操作來驗證，增強(qiáng)學(xué)生的體驗，從而使學(xué)生更好地學(xué)習(xí)、理解數(shù)學(xué)知識。不過，讓學(xué)生進(jìn)行想象和推理又何嘗不是一種深刻的體驗活動呢？在關(guān)于“兩邊之和等于第三邊是圍不成三角形的”這一結(jié)論的教學(xué)上，為什么我們難以引導(dǎo)學(xué)生很好地理解？很重要的一個原因是我們組織學(xué)生進(jìn)行動手操作，人為地使學(xué)生陷入了那種“視覺的假象”之中。像案例二中，如果我們一開始就讓學(xué)生利用原有的認(rèn)知（學(xué)生已經(jīng)驗證所有三角形的任意兩邊之和大于第三邊，而且動手驗證了兩邊之和小于第三邊是圍不成三角形的）來推理，思考3厘米、5厘米和8厘米的線段是圍不成三角形的，并通過課件演示幫助學(xué)生很好地想象了圍的最后結(jié)果，這樣就是引導(dǎo)學(xué)生去進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考，置學(xué)生于“思維的真實”之中，教學(xué)疑難自然也得到了很好的突破。

我們說數(shù)學(xué)是“思維的體操”，只有善于讓學(xué)生運(yùn)用思維才是我們進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價值所在。新課程確實提出了“動手操作”是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種有效方式，但是我們數(shù)學(xué)課上絕不能讓操作成為隨意開展的一種“慣習(xí)”。盲目地開展動手操作活動，很可能會像案例一那樣使學(xué)生陷入“視覺的假象”之中，喪失了數(shù)學(xué)本身應(yīng)該具有的思維活動。讓學(xué)生在“真實的思維”中暢游，才是數(shù)學(xué)教學(xué)的“王道”所在！