中考中的動點問題

張瑞蓉

這幾年的中考后兩道的壓軸題，基本上都有一題出現(xiàn)“幾何動態(tài)”問題。所謂的幾何動態(tài)指的是以運動的觀點探究幾何圖形的變化規(guī)律問題。這種題目包攬了知識的全面性，主要以中檔題與綜合題形式出現(xiàn)，有時也會以選擇題的形式出現(xiàn)。它的特點決定審題思考的復(fù)雜性和解題時的多樣性，突出了運用知識的靈活性，能夠真實地考查學(xué)生的知識水平、理解能力，有較好的區(qū)分度，具有較好的選拔能力；同時依托圖形的變化，能很好地考查學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的探究能力和綜合素質(zhì)，體現(xiàn)開放性。

動態(tài)問題在中考中占有相當(dāng)大的比重。就題目的動來說，可以分成三類:動點、動線、動形；詳細(xì)一點地說動態(tài)問題的“動點”，是說點的運動。指的是在三角形、矩形、題型等等一些幾何圖形上，設(shè)計一個或者幾個動點，并對這些點在運動變化的過程中產(chǎn)生的等量關(guān)系、變化關(guān)系、圖形的特殊狀態(tài)、圖形的特殊關(guān)系等進(jìn)行研究。動態(tài)問題的“動線”通常講的是直線（線段），比較多的時候是考察直線和圓的位置關(guān)系。通過直線的移動跟圓形成的位置關(guān)系形成的特殊圖形，觀察所形成的等量或不等量關(guān)系來解決問題。動態(tài)問題中的“動形”主要指三角形、四邊形、圓等圖形，它的運動形式有平移、旋轉(zhuǎn)、翻折（軸對稱）等，它既可以是規(guī)則運動，也可以是不規(guī)則運動。經(jīng)常是給定的圖形（或其中一部分）實行某種位置關(guān)系，然后在新的圖形中分析有關(guān)圖形之間的關(guān)系，這類問題常與探究性、存在性等結(jié)合在一起，考查學(xué)生動手能力、觀察能力、探索與實踐能力。不管是動態(tài)問題的哪一類問題，通常我們解這類問題的關(guān)鍵是“寓動于靜”，即尋找運動中的不變量或圖形的特殊位置，把動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題來研究，從而找到解題的突破口。

在教學(xué)過程，每次碰到動點的題目，有的學(xué)生就總是怕，甚至干脆就放棄。其實你不要把它想成是在動的，就當(dāng)成是某個位置時的點?；蛘撸憔拖胂蟪梢粋€人在那條路上走啊，人停留在路邊的某個點上，想成自己熟悉的東西，應(yīng)該會比較好理解些。運動的時間、速度要轉(zhuǎn)化成線段的長度問題，所以運動過的線段的長度其實就是點“走”過的路程啊，這樣就可以用時間來表示線段的長了。關(guān)于動點的題型，有時只是一個點運動；有時說的是兩個點運動的情況?，F(xiàn)在，我們就舉些例子來看看。

一、單動點型

例1：（2011年廈門中考試卷第25題）如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形，（2）若AB=3cm，BC=5cm，AE=AB，點P從B點出發(fā)，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA運動至A點停止，則從運動開始經(jīng)過多少時間，△BEP為等腰三角形？

考點：考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)。

分析：（1）簡單的一道證明題。根據(jù)全等三角形判定證△ABC≌△CDA即可。（2）這就是動點問題。雖然是單動點，但是這個動點P運動在不同的路線，所以要分不同的情況：當(dāng)P在BC上時，①BE=BP=2，②BP=PE，作PM⊥AB于M，根據(jù)cosB求出BP，③BE=PE=2，作EN⊥BC于N，根據(jù)cosB求出BN；當(dāng)P在CD上不能得出等腰三角形；當(dāng)P在AD上時，過P作PN⊥BA于N，證△NAP∽△ABC，推出PN：AN：AP=4：3：5，設(shè)PN=4x，AN=3x，在△EPN中，由勾股定理得出方程（3x+1）2+（4x）2=22，求出方程的解即可。

解答：如圖2. （1）證明：在△ABC和△CDA中，∠B=∠D，∠BAC=∠DCA，∴△ABC≌△CDA，∴AD=BC，AB=CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．

（2）解：∵∠BAC=90°，BC=5，AB=3，由勾股定理得：AC=4，即AB、CD間的最短距離是4. 設(shè)經(jīng)過ts時，△BEP是等腰三角形。當(dāng)P在BC上時，①BE=BP=2，t=2時，△BEP是等腰三角形。

②BP=PE，作PM⊥AB于M，∵cosB===，∴BP=，t=時，△BEP是等腰三角形。

③BE=PE=2，作EN⊥BC于N，∴cosB==，∴=，BN=，∴BP=，t=時，△BEP是等腰三角形。

當(dāng)P在CD上不能得出等腰三角形，∵AB、CD間的最短距離是4，CA⊥AB，CA=4，當(dāng)P在AD上時，只能BE=EP=2，過P作PQ⊥BA于Q，∵平行四邊形ABCD，∴AD∥BC，∴∠NAD=∠ABC，∵∠BAC=∠N=90°，∴△QAP∽△ABC，∴PQ：AQ：AP=4：3：5，設(shè)PQ=4x，AQ=3x，在△EPQ中，由勾股定理得：（3x+1）2+（4x）2=22，∴x=，AP=5x=，∴t=5+5+3-=.

答：從運動開始經(jīng)過2s或s或s或s時，△BEP為等腰三角形。

點評：本題利用動點的多樣性、靈活性考查對平行四邊形的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵。

例2：（2011年莆田中考試卷第24題）已知拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為直線x=2，且與x軸交于A、B兩點.與y軸交于點C.其中A (1，0)，C(0，-3).（1）求拋物線解析式； （2）若點P在拋物線上運動（點P異于點A）.①如圖3.當(dāng)△PBC面積與△ABC面積相等時，求點P的坐標(biāo)；②如圖4.當(dāng)∠PCB=∠BCA時，求直線CP的解析式。

解：（1）由題意，得a+b+c=0c=-3-=2，解得a=-1,b=4,c=-3，∴拋物線的解析式為y=-x2+4x-3。

（2）①令-x2+4x-3=0，解得x1=1，x2=3，∴B（3, 0），當(dāng)點P在x軸上方時，過點A作直線BC的平行線交拋物線于點P，易求直線BC的解析式為y=x-3，∴設(shè)直線AP的解析式為y=x+n，∵直線AP過點A（1,0），代入求得n=-1?！嘀本€AP的解析式為y=x-1,解方程組y=x-1y=-x2+4x-3，得x1=1y1=0,x2=2y2=1,∴點p1（2，1）。當(dāng)點P在x軸下方時,設(shè)直線AP1交y軸于點E(0,-1)，把直線BC向下平移2個單位，交拋物線于點P2、P3，得直線P2、P3的解析式為y=x-5，解方程組y=x-5y=-x2+4x-3，得x1=y1=,x2=y2=,∴P2(,),P3(,)。綜上所述，點P的坐標(biāo)為：P1(2,1),P2(,),P3(,).

②∵B(3,0),C(0,-3),∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°，設(shè)直線CP的解析式為y=kx-3，延長CP交x軸于點Q，設(shè)∠OCA=α，則∠ACB=45°-α，∵∠PCB=∠BCA ， ∴∠PCB=45°-α，∴∠OQC=∠OBC-∠PCB=45°-（45°-α）=α，∴∠OCA=∠OQC，又∵∠AOC=∠COQ=90°，∴Rt△AOC∽Rt△COQ，∴=，∴=，∴OQ=9，∴Q(9,0)，∵直線CP過點Q(9,0)，∴9k-3=0，∴k=，∴直線CP的解析式為y=x-3。

點評：本題以靜制動，考慮P所在不同位置出現(xiàn)的不同情況分類處理，利用平行線間距離處處相等，把面積問題轉(zhuǎn)化成線段相等的問題，輕松利用兩直線平行求直線解析式，再求函數(shù)交點即可；在②中同時也把P當(dāng)成在某一個特殊位置，轉(zhuǎn)化成相似三角形來解決問題，這是很常用的一個解題思路。

二、雙動點

例3：（2011年泉州中考試卷第26題）如圖5，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB與x軸交于點A， 與y軸交于點B， 且OA = 3，AB = 5．點P從點O出發(fā)沿OA以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，到達(dá)點A后立刻以原來的速度沿AO返回；點Q從點A出發(fā)沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動．伴隨著P、Q的運動，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點D，交折線QB－BO－OP于點E．點P、Q同時出發(fā)，當(dāng)點Q到達(dá)點B時停止運動，點P也隨之停止．設(shè)點P、Q運動的時間是t秒（t＞0）．（1）求直線AB的解析式；（2）在點P從O向A運動的過程中，求△APQ的面積S與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出t的取值范圍）；（3）在點E從B向O運動的過程中，完成下面問題：①四邊形QBED能否成為直角梯形？若能，請求出t的值；若不能，請說明理由；②當(dāng)DE經(jīng)過點O時，請你直接寫出t的值．

解：（1）在Rt△AOB中，OA = 3，AB = 5，由勾股定理得OB==4.∴A（3，0），B（0，4）．設(shè)直線AB解析式為y=kx+b.∴3k+b=0b=4 ,解得k=-,b=4 ,∴直線AB解析式為y=-x+4．

（2）如圖6，過點Q作QF⊥AO于點F，∵ AQ = OP= t，∴AP=3-t,由△AQF∽△ABO，得=． ∴=,∴QF=t，∴S=(3-t)·t，∴S=-t2+t.

（3）四邊形QBED能成為直角梯形。①如圖6，當(dāng)DE∥QB時， ∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四邊形QBED是直角梯形．此時∠AQP=90°．由△APQ∽△ABO，得=.∴= ． 解得t=． ②如圖6，當(dāng)PQ∥BO時，∵DE⊥PQ，∴DE⊥BO，四邊形QBED是直角梯形．此時∠APQ =90°．由△AQP∽△ABO，得=,即=．解得t=．

（4）t=或t=．

解決此類動點幾何問題常常用的是“類比發(fā)現(xiàn)法”，也就是通過對兩個或幾個相類似的數(shù)學(xué)研究對象的異同，進(jìn)行觀察和比較，從一個容易探索的研究對象所具有的類似性質(zhì)，從而獲得相關(guān)結(jié)論。當(dāng)然，解題前一定要好好理解圖形的運動規(guī)律，了解運動前后邊、角之間的數(shù)量關(guān)系，盡量抓住特殊位置，在動中取靜，抓住變化中的“不動量”，以不變應(yīng)萬變，使問題得到解決。類比發(fā)現(xiàn)法大致可遵循如下步驟：① 根據(jù)已知條件，先從動態(tài)的角度去分析觀察可能出現(xiàn)的情況；② 結(jié)合某一相應(yīng)圖形，以靜制動，運用所學(xué)知識（常用三角形相似或全等，有時也會用到平行四邊形邊的性質(zhì)等）得出相關(guān)結(jié)論。③ 類比猜想出其他情況中的圖形所具有的性質(zhì)。

（晉江市英林中學(xué)）