于繁多處尋規(guī)律:巧記活用三角公式

趙瑞

摘要：三角變換是高考命題的熱點(diǎn)，由于其公式眾多，也是學(xué)生們學(xué)習(xí)時(shí)的難點(diǎn)。其實(shí)，可以從巧記和活用兩個(gè)方面探討三角公式的學(xué)習(xí)方法：一是把握公式規(guī)律，巧記公式，二是總結(jié)題型規(guī)律，活用公式。

關(guān)鍵詞：三角變換；誘導(dǎo)公式；倍角公式

三角變換是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是歷年高考的必考內(nèi)容，但也是學(xué)生們比較頭疼的地方，總結(jié)起來原因有二。第一，三角公式繁多，記憶時(shí)容易出錯(cuò)；第二，即使公式都記住了，用公式解題時(shí)不知道該用哪一個(gè)公式。本文就針對學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)容易出現(xiàn)的問題，探討怎樣巧記活用三角公式進(jìn)行三角變換。

一、把握公式規(guī)律，巧記公式

對三角公式的準(zhǔn)確、熟練記憶是進(jìn)行三角變換的前提，但是三角公式繁多：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式（8個(gè)）、誘導(dǎo)公式（36個(gè)）、兩角和與差的三角函數(shù)公式（6個(gè)）、二倍角公式（5個(gè)），再加上各組公式的變形，總共有60多個(gè)公式。如何才能保證記憶時(shí)不出現(xiàn)錯(cuò)誤呢？這就要求學(xué)生在記憶時(shí)不要死記硬背，而是要把握其中的規(guī)律，巧記公式。下面，介紹各組公式的記憶方法。

1. 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

這組公式常稱“三類八式”，即這八個(gè)公式分為三大類：平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系和倒數(shù)關(guān)系。八個(gè)公式可畫一個(gè)六邊形來記憶。

記法：①在最長對角線上的兩個(gè)三角函數(shù)的乘積為1。如：tanα·cotα=1；②在3個(gè)倒三角形中，上面兩個(gè)頂點(diǎn)的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方（中心點(diǎn)為1）。如：tan2α+1=sec2α；③任意一頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值等于與之相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的三角函數(shù)值的乘積。如：sinα=tanα·cosα.

2. 誘導(dǎo)公式

誘導(dǎo)公式看似很多，其實(shí)可以概括為一句口訣：“奇變偶不變，符號看象限”。誘導(dǎo)公式左邊的角可統(tǒng)一寫成k·±α(k∈Z)的形式，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，等號右邊的三角函數(shù)名稱與左邊的三角函數(shù)名稱正余互變，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，等號右邊的三角函數(shù)名稱與左邊一樣；而公式右邊的三角函數(shù)之前的符號，則把α當(dāng)做銳角，k·±α為第幾象限，以及左邊的三角函數(shù)之前的符號即為公式右邊的符號。

3. 兩角和與差的三角函數(shù)公式

這6個(gè)公式可分為三組，故可分為三組來記憶。每一組的特征都很明顯：兩角和（差）的余弦：余余、正正、符號異；兩角和（差）的正弦：正余、余正、符號同；兩角和（差）的正切：分子同，分母異。

4. 二倍角公式

其實(shí)，二倍角公式是兩角和的三角函數(shù)公式當(dāng)兩角相等時(shí)的特殊情況。把握住這點(diǎn)，記住兩角和的三角函數(shù)公式，二倍角公式自然就記住了。有規(guī)律有方法地巧記公式，有事半功倍的效果。

二、總結(jié)題型規(guī)律，活用公式

記 住了三角公式，如果不了解三角變換的提醒規(guī)律，也很難去用公式解題。三角變換題目雖然很多，但是也是有規(guī)律可循的，大致可以分為以下幾類。

1. 角的變換

進(jìn)行角的變換常用的公式有誘導(dǎo)公式、兩角和（差）公式和二倍角公式。因此，題目當(dāng)中需要化角時(shí)就要想到用這些公式，而不是往別的公式上去套。例1：已知α、β為銳角，且sinα=，cos(α+β)=-，求sinβ的值。解析：此題就需要用到角的變換β=(α+β)-α，然后兩邊取正弦，右邊用兩角差的正弦公式展開即可。

2. 函數(shù)名稱的變換

一般是切割化弦或弦化切割，常用公式為同角三角關(guān)系式中的倒數(shù)關(guān)系式和商數(shù)關(guān)系式。例2：已知tanα=3，求的值。解析：已知正切的值，求關(guān)于正余弦的值，很顯然只能采用公式tanα=。

3. 常數(shù)變換

在三角變換中，有時(shí)需要將常數(shù)化為三角函數(shù)值，比較常見的是“1的變換”，常見的變形有1=sin2α+cos2α=sec2α-tan2α=cot2α-

sos2α。例3: 若2k?仔-≤α≤2k?仔+(k∈Z)，則+的化簡結(jié)果為( )。解析：巧用常數(shù)1的變換：1=sin2α+cos2α，則1-2sinαcosα= sin2α+cos2α-2sinαcosα=(sinα-cosα)2，同理，1+2sinαcosα=(sinα+cosα)2，再結(jié)合角的范圍開方即可。

4. 冪的變換

降冪是三角函數(shù)變換時(shí)常用的方法，對次數(shù)較高的三角函數(shù)公式一般采用降冪處理方法，常用的降冪公式有：二倍角公式的逆用和同角三角函數(shù)平方關(guān)系式，降冪并非絕對，有時(shí)需要升冪，如對無理式常用升冪處理變成有理式。例4：化簡cos8x-sin8x+ sin2x·sin4x。解析：本題中三角函數(shù)的次數(shù)較高，需要從降冪入手進(jìn)行化簡，先后用到平方差公式，二倍角公式和sin2α+cos2α =1。

總之，三角變換題目比較靈活，其解法也千變?nèi)f化，沒有固定的、唯一的解法。所以，在解題時(shí)，應(yīng)根據(jù)題目的特點(diǎn)確定解題方法和變換技巧，再選擇有關(guān)公式，千萬不能對公式生搬硬套。如果在學(xué)習(xí)過程中多歸納、多總結(jié)，注意分析題目的結(jié)構(gòu)及發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，則可以結(jié)合所學(xué)的知識迎刃而解了。

參考文獻(xiàn)：

[1]王紅霞.三角恒等變換的常用方法與技巧[J].新高考,2010(2).

[2]朱孝春.三角變換的“四巧”[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2009(1).

（平頂山市理工學(xué)校）