基于混沌理論的平板閘門流激振動(dòng)特性*

羅貝爾， 王均星， 周建烽， 張瑩瑩

(武漢大學(xué)水資源與水電工程科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 武漢，430072)

基于混沌理論的平板閘門流激振動(dòng)特性*

羅貝爾， 王均星， 周建烽， 張瑩瑩

(武漢大學(xué)水資源與水電工程科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 武漢，430072)

鑒于閘門流激振動(dòng)過(guò)程的復(fù)雜性，對(duì)水彈性模型試驗(yàn)中閘門在不同開(kāi)度下的實(shí)測(cè)加速度響應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行了混沌特性分析。首先，對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行相空間重構(gòu)，分別采用平均互信息法和平均偽最近鄰域法計(jì)算最佳時(shí)間延遲和最佳嵌入維數(shù)；然后，基于嵌入?yún)?shù)計(jì)算關(guān)聯(lián)維數(shù)D2和最大Lyapunov指數(shù)λ1，并對(duì)各計(jì)算參數(shù)的分布規(guī)律進(jìn)行分析。研究表明：閘門側(cè)向振動(dòng)的復(fù)雜性相對(duì)其他振動(dòng)方向更高，中間開(kāi)度時(shí)的振動(dòng)復(fù)雜性比大開(kāi)度或小開(kāi)度更顯著；豎直向振動(dòng)與順流向振動(dòng)中呈現(xiàn)出了較低維(D2=3.342～5.130)的混沌吸引子，表明較少的獨(dú)立變量即可描述閘門豎直向及順流向振動(dòng)的規(guī)律；λ1隨閘門開(kāi)度的變化規(guī)律呈現(xiàn)“兩邊小中間大”的趨勢(shì)，表明閘門在中間開(kāi)度時(shí)的振動(dòng)預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性較低。

平板閘門； 流激振動(dòng)； 混沌； 相空間重構(gòu)； 關(guān)聯(lián)維數(shù)； Lyapunov指數(shù)

引 言

混沌存在于確定性系統(tǒng)中，是隱藏著某種規(guī)律的不規(guī)則現(xiàn)象?；煦缋碚摰某晒?yīng)用歸功于Takens嵌入定理的提出，該定理認(rèn)為，系統(tǒng)中任一分量如何演化均是由系統(tǒng)內(nèi)部相互作用著的其他分量所決定的，這為研究動(dòng)力系統(tǒng)中單變量實(shí)測(cè)時(shí)間序列的混沌特性提供了理論基礎(chǔ)。該理論已在水文學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、氣象學(xué)和電機(jī)學(xué)等領(lǐng)域成功應(yīng)用，但在水工結(jié)構(gòu)流激振動(dòng)中的實(shí)際應(yīng)用方面還并不多見(jiàn)。楊弘[1]在研究二灘水電站的水墊塘底板動(dòng)力響應(yīng)時(shí)，計(jì)算了底板振動(dòng)信號(hào)的分形維數(shù)，包括盒維數(shù)和關(guān)聯(lián)維數(shù)，發(fā)現(xiàn)分形維數(shù)與底板振動(dòng)的位置無(wú)關(guān)。水工閘門的流激振動(dòng)屬于典型的流固兩相交界面耦合問(wèn)題。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)此有許多相關(guān)研究，提出了不同觀點(diǎn)及分類方式[2-3]，針對(duì)不同類型的閘門與振動(dòng)方式存在各種研究方法與防治措施[4-6]。流激振動(dòng)現(xiàn)象是復(fù)雜的，根據(jù)混沌理論，當(dāng)初始條件或邊界條件存在微小變化時(shí)，系統(tǒng)中任何復(fù)雜的演化過(guò)程都可能出現(xiàn)。

筆者引入混沌理論，初步探索準(zhǔn)確預(yù)測(cè)閘門流激振動(dòng)的途徑，以某水電站深孔平板閘門水彈性模型試驗(yàn)為背景，分析在不同開(kāi)度條件下閘門振動(dòng)響應(yīng)數(shù)據(jù)的混沌特征，得到了閘門流激振動(dòng)過(guò)程中的混沌特性。

1 混沌理論介紹

混沌系統(tǒng)的相軌跡經(jīng)過(guò)一定時(shí)間演化會(huì)落入某一特定的軌道中，產(chǎn)生一種規(guī)則、有形的軌跡，在轉(zhuǎn)化成與時(shí)間相關(guān)的序列時(shí)呈現(xiàn)出復(fù)雜、混亂的特征。這種特定的軌道就是奇異吸引子，通過(guò)研究其性質(zhì)計(jì)算原系統(tǒng)中的任何微分或拓?fù)洳蛔兞浚玫较到y(tǒng)內(nèi)部隱藏的基本特性。

1.1 相空間重構(gòu)

(1)

其中：τ為時(shí)間延遲，對(duì)于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)表示采樣時(shí)間間隔的倍數(shù)；m為嵌入維數(shù)。

通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)那度刖S數(shù)m和時(shí)間延遲τ，可重構(gòu)一個(gè)等價(jià)的相空間，得到原動(dòng)力系統(tǒng)的吸引子。

1.1.1 最佳時(shí)間延遲的確定

筆者選取平均互信息法(average mutual information,簡(jiǎn)稱AMI)[7-8]計(jì)算最佳時(shí)間延遲，定義平均互信息函數(shù)，如式(2)所示，用來(lái)度量?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量之間一般性的隨機(jī)關(guān)聯(lián)性。

(2)

1.1.2 最佳嵌入維數(shù)的確定

筆者采用平均偽最近領(lǐng)域法(averagedfalsenearestneighbors, 簡(jiǎn)稱AFN)[9]計(jì)算最佳嵌入維數(shù)，它是在虛假鄰點(diǎn)法基本思想的基礎(chǔ)上由Cao提出的改進(jìn)方法。令

(3)

(4)

(5)

1.2 混沌特征的識(shí)別方法

判斷時(shí)間序列是否由確定性混沌系統(tǒng)產(chǎn)生是非常具有挑戰(zhàn)性的。通常的做法是計(jì)算重構(gòu)吸引子的特征參數(shù)來(lái)判別時(shí)間序列中是否存在混沌特征[10-17]，從而間接判斷原動(dòng)力系統(tǒng)是否為混沌系統(tǒng)。主要特征參數(shù)包括描述鄰近軌道發(fā)散率的最大Lyapunov指數(shù)λ1[15-16]、描述吸引子維數(shù)的關(guān)聯(lián)維數(shù)D2[13]和反映信息產(chǎn)生頻率的Kolmogorov熵[14]。筆者通過(guò)計(jì)算λ1和D2，在判斷時(shí)間序列是否存在混沌特征的同時(shí)，對(duì)其分布規(guī)律進(jìn)行分析。

1.2.1 飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)法

(6)

(7)

(8)

1.2.2Lyapunov指數(shù)

(9)

其中：p為時(shí)間序列的平均周期。

定義該鄰點(diǎn)對(duì)j個(gè)離散時(shí)間步之后的距離為

全書最長(zhǎng)的當(dāng)數(shù)第五回賈寶玉夢(mèng)游太虛幻境，這個(gè)夢(mèng)可以說(shuō)是《紅樓夢(mèng)》里紅粉女人悲苦命運(yùn)的集大成，其次是第八十二回林黛玉的一場(chǎng)惡夢(mèng)和一百一十六回賈寶玉再游真如福地；而最短的夢(mèng)則是第十回賈寶玉在夢(mèng)中聽(tīng)見(jiàn)秦氏死了和第八十九回林黛玉睡夢(mèng)中聽(tīng)見(jiàn)有

(10)

(11)

2 實(shí)例與數(shù)據(jù)分析

2.1 模型設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理

以某深孔平板工作門的水彈性模型試驗(yàn)為研究背景，研究了工作閘門在不同運(yùn)行工況下的流激振動(dòng)情況。試驗(yàn)采用1∶20全水彈性相似材料制作模型閘門，所選的模型材料主要參數(shù)為：抗拉強(qiáng)度σm=50 MPa；彈性模量Em=1.1×104MPa；材料密度ρm=7.5×103kg/m3。受模型閘門尺寸的限制，加速度測(cè)點(diǎn)共布置了6個(gè)，包括：邊梁上的Z1測(cè)點(diǎn)主要測(cè)量閘門的側(cè)向振動(dòng)情況；主橫梁上的Z2測(cè)點(diǎn)主要測(cè)量閘門的豎直向振動(dòng)情況；上游面板上的Z3，Z4測(cè)點(diǎn)以及下游面板上的Z5，Z6測(cè)點(diǎn)主要測(cè)量閘門的順流向振動(dòng)情況。閘門的水彈性模型如圖1所示。加速度傳感器具體布置如圖2所示。

圖1 閘門水彈性模型實(shí)圖Fig.1 Picture of hydroelastic model of gate

圖2 加速度傳感器測(cè)點(diǎn)布置圖Fig.2 Layout of measuring points of acceleration sensor

試驗(yàn)中測(cè)量了設(shè)計(jì)水位下，閘門分別在1/8，2/8，3/8，4/8，5/8，6/8和7/8開(kāi)度時(shí)的加速度響應(yīng)。采樣頻率f=500 Hz，每組數(shù)據(jù)采樣時(shí)間為30 s，隨機(jī)選取樣本容量N=6 000進(jìn)行分析，統(tǒng)計(jì)出每組數(shù)據(jù)的最大值。圖3為各測(cè)點(diǎn)最大值隨開(kāi)度的變化規(guī)律?？梢钥闯觯總€(gè)測(cè)點(diǎn)實(shí)測(cè)加速度響應(yīng)最大值隨開(kāi)度有“兩增兩減”的變化規(guī)律，出現(xiàn)振動(dòng)加速度較大值的開(kāi)度位置為2/8，5/8和6/8。

圖3 閘門振動(dòng)加速度最大值隨開(kāi)度的變化規(guī)律圖Fig.3 Relation between maximum vibration acceleration and gate opening degree

采用五點(diǎn)三次平滑法對(duì)每組數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑去噪處理，并按式(12)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化

(12)

其中：pn為實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)；Pn為標(biāo)準(zhǔn)化后的時(shí)間序列；σ為實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。

圖4為典型加速度響應(yīng)數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化后的時(shí)間歷程曲線。

圖4 實(shí)測(cè)加速度響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)化后的歷程曲線Fig.4 Time series plot for normalized measured acceleration response

2.2 相空間重構(gòu)

對(duì)標(biāo)準(zhǔn)化的時(shí)間序列進(jìn)行相空間重構(gòu)，采用AMI法計(jì)算最佳時(shí)間延遲τ。圖5為典型數(shù)據(jù)的AMI計(jì)算圖，其余計(jì)算值如表1所示。根據(jù)計(jì)算的最佳時(shí)間延遲τ列出典型數(shù)據(jù)重構(gòu)吸引子的三維相圖，如圖6所示。

圖5 最佳時(shí)間延遲計(jì)算圖Fig.5 The calculation chart of optimum time delay

圖6 重構(gòu)吸引子三維相圖Fig.6 Three-dimensional phase portrait of the reconstructed attractor

圖7 最佳嵌入維數(shù)計(jì)算圖Fig.7 Calculation chart of optimum embedding dimension

在確定最佳時(shí)間延遲后，采用AFN法計(jì)算最佳嵌入維數(shù)m。典型數(shù)據(jù)的E1，E2隨m的變化曲線如圖7所示?？梢钥闯觯珽2曲線均呈現(xiàn)出了明顯的變化規(guī)律，并不是在1附近微小的波動(dòng)。這說(shuō)明閘門流激振動(dòng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)并非完全隨機(jī)信號(hào)，噪聲水平較小。其余m計(jì)算值如表1所示。可以看出：a.整體上看，最佳時(shí)間延遲τ的總體取值范圍在20～38之間，但隨開(kāi)度沒(méi)有表現(xiàn)出變化的規(guī)律性且振動(dòng)不同方向間的τ值也沒(méi)有關(guān)聯(lián)；b. 最佳嵌入維數(shù)m的總體取值范圍在4～12之間，且順流向振動(dòng)的上游面(Z3，Z4)比下游面(Z5，Z6)的m值相對(duì)更高，除了1/8開(kāi)度外，側(cè)向振動(dòng)(Z1)的m值比其他方向更大，而1/8和7/8開(kāi)度在各振動(dòng)方向時(shí)的m值比其他中間開(kāi)度都要小。這說(shuō)明閘門在側(cè)向振動(dòng)時(shí)的復(fù)雜性相對(duì)其他振動(dòng)方向更高，這可能是由于閘門側(cè)邊滑塊與門槽之間存在一定間隙，側(cè)向自由度相對(duì)更高，從而使側(cè)向振動(dòng)不確定性更高。同時(shí)，閘門在中間開(kāi)度時(shí)的流激振動(dòng)復(fù)雜性比大開(kāi)度或小開(kāi)度時(shí)更高，表明閘門在局開(kāi)或啟閉過(guò)程中其動(dòng)力過(guò)程更難控制，若出現(xiàn)閘門局部損壞或止水漏水等不利情況，更易出現(xiàn)強(qiáng)烈振動(dòng)的情況。

表1 實(shí)測(cè)加速度序列最佳嵌入?yún)?shù)表

Tab.1 Best embedding parameters in measured acceleration series

開(kāi)度嵌入?yún)?shù)側(cè)向(Z1)豎直向(Z2)順流向上游面板順流向下游面板(Z3)(Z4)(Z5)(Z6)1/8τ273121313833m6556562/8τ333037293134m10768673/8τ363332372630m12989764/8τ313636263632m11878665/8τ273736203722m11897666/8τ212935343436m10789677/8τ373035282432m867645

2.3 混沌特征量

2.3.1 關(guān)聯(lián)維數(shù)

根據(jù)最佳時(shí)間延遲τ，嵌入維數(shù)從m=2開(kāi)始逐漸增加，按式(7)計(jì)算得到C(r)和r的關(guān)系，進(jìn)而得到lnC(r)～lnr的雙對(duì)數(shù)關(guān)系曲線。圖8為典型數(shù)據(jù)的雙對(duì)數(shù)曲線圖。圖9為圖8中相應(yīng)數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)維數(shù)D2隨嵌入維數(shù)m的變化關(guān)系。各組實(shí)測(cè)加速度響應(yīng)數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)維數(shù)如表2所示，并在表中標(biāo)出關(guān)聯(lián)維數(shù)達(dá)到飽和值的，且與AFN法計(jì)算值不同的嵌入維數(shù)。圖10為各測(cè)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)維數(shù)隨開(kāi)度的變化規(guī)律。

從表2和圖10可以看出：a.與AFN方法計(jì)算值有差別的加速度序列主要集中在Z1測(cè)點(diǎn)上，其他測(cè)點(diǎn)的m值基本一致，說(shuō)明噪聲水平?jīng)]有完全覆蓋加速度序列的混沌特性，且閘門側(cè)向振動(dòng)的不確定性更強(qiáng)；b.整體來(lái)看，關(guān)聯(lián)維數(shù)分布在3.342～6.720之間，其中，Z1測(cè)點(diǎn)分布在3.745～6.720之間，其余測(cè)點(diǎn)分布在3.342～5.130之間，關(guān)聯(lián)維數(shù)均為分?jǐn)?shù)，說(shuō)明閘門流激振動(dòng)具有混沌和分形特征；c.在1/8和7/8開(kāi)度時(shí)的關(guān)聯(lián)維數(shù)相對(duì)其他中間開(kāi)度較小，說(shuō)明閘門在這兩個(gè)開(kāi)度時(shí)振動(dòng)的復(fù)雜性更弱，閘門順流向振動(dòng)時(shí)，上游面板的關(guān)聯(lián)維數(shù)較下游面板略高；d.該閘門的豎直向振動(dòng)與順流向振動(dòng)中呈現(xiàn)出較低維的混沌吸引子，表明對(duì)閘門流激振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行建模只需要較少的獨(dú)立控制變量就可以基本描述閘門在振動(dòng)過(guò)程中的復(fù)雜性和非線性規(guī)律，這為完整描述閘門流激振動(dòng)現(xiàn)象提供了理論基礎(chǔ)。

圖8 典型測(cè)點(diǎn)加速度序列的lnC(r)與lnr關(guān)系 Fig.8 lnC(r) versus lnr for typical measured acceleration series

圖9 典型測(cè)點(diǎn)加速度序列D2與m關(guān)系圖Fig.9 Relation between D2 and m for typical measured acceleration series

表2 實(shí)測(cè)加速度序列關(guān)聯(lián)維數(shù)表

Tab.2 The correlation dimension in measured acceleration series

開(kāi)度側(cè)向(Z1)豎直向(Z2)順流向上游面板順流向下游面板(Z3)(Z4)(Z5)(Z6)1/83.7453.3423.8263.7833.5823.6102/85.560(9)4.5124.8334.8984.3794.6753/86.6914.529(8)4.7915.0224.1424.3544/85.673(10)4.3284.4934.9254.0674.4515/86.720(12)4.7935.0144.7714.5034.0936/85.8544.2814.9485.130(10)4.4144.1827/84.3593.5163.7653.7043.591(5)3.438括號(hào)內(nèi)表示的是關(guān)聯(lián)維數(shù)達(dá)到飽和值的嵌入維數(shù),且與AFN法計(jì)算值有差別

圖10 各測(cè)點(diǎn)關(guān)聯(lián)維數(shù)隨閘門開(kāi)度的變化曲線Fig.10 Relation between correlation dimension and gates opening for each measured point

2.3.2 Lyapunov指數(shù)

根據(jù)AFN法計(jì)算的最佳嵌入?yún)?shù)，采用小數(shù)據(jù)量法計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)λ1。圖11為典型數(shù)據(jù)的y(j)變化曲線?？梢钥闯觯€包含波動(dòng)的增長(zhǎng)區(qū)域以及之后的穩(wěn)定區(qū)域，對(duì)前段增長(zhǎng)區(qū)域進(jìn)行最小二乘法擬合直線，其斜率即為λ1，之后穩(wěn)定區(qū)域是由于重構(gòu)吸引子有界，而平均分散率y(j)不會(huì)超過(guò)吸引子范圍[10,17]。各測(cè)點(diǎn)實(shí)測(cè)加速度數(shù)據(jù)的λ1分布情況如表3所示。圖12為各測(cè)點(diǎn)的λ1值隨開(kāi)度的變化規(guī)律，其值在0.045～0.351之間,均大于零，表明實(shí)測(cè)加速度序列具有明顯的混沌特征。同時(shí)，各不同測(cè)點(diǎn)的λ1隨閘門開(kāi)度的變化規(guī)律呈現(xiàn)“兩邊小中間大”的趨勢(shì)，即無(wú)論閘門是順流向，豎直向或側(cè)向振動(dòng)時(shí)，在1/8和7/8兩個(gè)開(kāi)度的λ1值比其他5個(gè)中間開(kāi)度明顯要小，這表明除了1/8和7/8開(kāi)度，在其他局部開(kāi)啟條件下，閘門在水流激振影響下其振動(dòng)復(fù)雜性更高，試驗(yàn)預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性較低。在實(shí)際工程中，體現(xiàn)為閘門在2/8～6/8開(kāi)度之間的振動(dòng)情況存在更多的不確定性，包括強(qiáng)烈振動(dòng)的情況。在水彈性模型試驗(yàn)中，閘門僅在2/8，5/8和6/8開(kāi)度時(shí)存在較大的振動(dòng)加速度，而無(wú)法預(yù)測(cè)3/8和4/8開(kāi)度時(shí)可能存在的強(qiáng)烈振動(dòng)。此外，Z1測(cè)點(diǎn)處的λ1值比其他測(cè)點(diǎn)普遍要高，說(shuō)明閘門側(cè)向振動(dòng)的不確定性更高。

表3 最大Lyapunov指數(shù)規(guī)律表

Tab.3 The maximum Lyapunov exponent for all measured points

開(kāi)度側(cè)向(Z1)豎直向(Z2)順流向上游面板順流向下游面板(Z3)(Z4)(Z5)(Z6)1/80.1180.0630.0880.1140.0450.0722/80.2450.1660.2120.2430.2010.1923/80.2690.2220.2110.2260.2040.2344/80.2820.1850.1970.2150.2060.2185/80.2770.2200.2090.2170.1940.2516/80.3510.2040.2290.2310.2240.2337/80.1400.1510.1600.1480.1350.142

圖11 y(j)對(duì)演化步長(zhǎng)j曲線Fig.11 Curve of y(j) to evolutionary step j

圖12 各測(cè)點(diǎn)最大Lyapunov指數(shù)隨閘門開(kāi)度的變化曲線Fig.12 Relation between maximum Lyapunov exponent and gate opening for each measuring point

3 結(jié) 論

1) 通過(guò)對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行相空間重構(gòu)，對(duì)比分析嵌入?yún)?shù)的分布規(guī)律，發(fā)現(xiàn)閘門的側(cè)向振動(dòng)復(fù)雜性相對(duì)其他方向振動(dòng)更高，且中間開(kāi)度時(shí)的振動(dòng)復(fù)雜性比大開(kāi)度或小開(kāi)度更高，表明閘門中間開(kāi)度時(shí)的動(dòng)力過(guò)程更難控制且易出現(xiàn)強(qiáng)烈振動(dòng)的情況。

2) 通過(guò)分析各組數(shù)據(jù)飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)的分布規(guī)律，發(fā)現(xiàn)在閘門的豎直向振動(dòng)與順流向振動(dòng)中呈現(xiàn)出了較低維(3.342～5.130)的混沌吸引子。這表明通過(guò)較少的獨(dú)立控制變量進(jìn)行建模即可描述閘門流激振動(dòng)系統(tǒng)呈現(xiàn)出的復(fù)雜性和非線性規(guī)律。

3) 最大Lyapunov指數(shù)λ1分布在0.045～0.351之間，各測(cè)點(diǎn)的λ1隨閘門開(kāi)度的變化規(guī)律呈現(xiàn)“兩邊小中間大”的趨勢(shì)。這表明閘門在中間開(kāi)度條件下的振動(dòng)存在更多不確定性，試驗(yàn)預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性較低。

4) 從AFN法及關(guān)聯(lián)維數(shù)的分析可以看出，噪聲的存在對(duì)混沌理論的應(yīng)用有一定影響，如何在對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行混沌特性分析之前降低噪聲水平是亟待解決的問(wèn)題。尋找混沌特性與傳統(tǒng)動(dòng)力特性及頻譜特性之間的關(guān)聯(lián)性，即如何將混沌特征量與工程設(shè)計(jì)指標(biāo)聯(lián)系起來(lái)也是未來(lái)工作的重點(diǎn)。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.01.030

??術(shù)研究重點(diǎn)資助項(xiàng)目(106107)

2015-01-12；修回日期：2015-04-30

TV663; TH113

羅貝爾，男，1986年4月生，博士研究生。主要研究方向?yàn)樗そY(jié)構(gòu)流激振動(dòng)。曾發(fā)表《Researches on the chaotic characteristics of fluctuating pressure in slit-type energy dissipater》(《Advanced Materials Research》2014，Vol.1025-1026)等論文。

E-mail:lbe415@whu.edu.cn