淺談統(tǒng)計(jì)學(xué)中的平均思想及其應(yīng)用

【摘要】統(tǒng)計(jì)學(xué)中，描述統(tǒng)計(jì)、推斷統(tǒng)計(jì)、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)都蘊(yùn)含了不同程度的平均思想。在平均、變異、估計(jì)、相關(guān)、擬合、檢驗(yàn)幾種基本的統(tǒng)計(jì)思想中，平均思想是一種抽象掉差異性或偶然性，以反映現(xiàn)象的規(guī)律性或必然性的思維方式，它體現(xiàn)在統(tǒng)計(jì)原理的諸多內(nèi)容之中。本文通過(guò)對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)及統(tǒng)計(jì)思想的闡述，引出了平均思想的基本內(nèi)容及應(yīng)用，同時(shí)，就實(shí)踐中平均思想計(jì)算時(shí)要注意的幾點(diǎn)問(wèn)題做了分析，以期起到拋磚引玉的作用。

【關(guān)鍵詞】統(tǒng)計(jì)學(xué)平均思想應(yīng)用

一、統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本內(nèi)容

統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本內(nèi)容由描述統(tǒng)計(jì)、推斷統(tǒng)計(jì)和實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)三部分構(gòu)成。

（一）描述統(tǒng)計(jì)（descriptive statistics）

是對(duì)實(shí)驗(yàn)或調(diào)查所獲得的數(shù)據(jù)加以整理（如制表、繪圖），并計(jì)算其各種代表量數(shù)（如集中量數(shù)、差異量數(shù)、相關(guān)量數(shù)等），其基本思想是平均。如在集中量數(shù)中將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行平均，在差異量數(shù)中將離均差進(jìn)行平均，在相關(guān)量數(shù)中將積差進(jìn)行平均等。通過(guò)描述統(tǒng)計(jì)的工作，我們可以把大量零散的、雜亂無(wú)章的資料加以簡(jiǎn)化、概括，從而更加清晰明確地顯示出這些數(shù)據(jù)的分布特征。

（二）推斷統(tǒng)計(jì)（inferencial statistics）

又稱(chēng)抽樣統(tǒng)計(jì)（sampling statistics），它是根據(jù)對(duì)部分個(gè)體進(jìn)行觀測(cè)所得到的信息，通過(guò)概括性的分析、論證，在一定可靠程度上去推測(cè)相應(yīng)的總體。換言之，就是根據(jù)已知的情況推測(cè)未知的情況。推斷統(tǒng)計(jì)主要用于兩個(gè)方面，一是從單一樣本得到的統(tǒng)計(jì)量去推斷較大總體的有關(guān)特征，我們稱(chēng)之為統(tǒng)計(jì)估計(jì)或參數(shù)估計(jì)。二是比較多個(gè)樣本或總體的差別情況，評(píng)價(jià)一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，我們稱(chēng)之為假設(shè)檢驗(yàn)。

描述統(tǒng)計(jì)和推斷統(tǒng)計(jì)均是針對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算的分析方法，因此，只要有數(shù)字我們就可以進(jìn)行計(jì)算和分析。然而，要使這些數(shù)據(jù)真實(shí)、可靠地反映客觀現(xiàn)實(shí)，首先要保證其本身的可靠性和有效性，因此僅靠分析方法是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還需要一種獲得準(zhǔn)確數(shù)據(jù)的理論與方法，即實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。

（三）實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)（experimental design）

是研究如何更加合理、有效地獲得觀測(cè)資料，怎樣更正確、更經(jīng)濟(jì)、更有效地達(dá)到實(shí)驗(yàn)?zāi)康?，以揭示?shí)驗(yàn)中各種變量關(guān)系的實(shí)驗(yàn)計(jì)劃。實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的具體內(nèi)容包括怎樣選擇被試，控制那些無(wú)關(guān)因素，提出什么樣的假設(shè)，觀察哪些實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，如何安排實(shí)驗(yàn)步驟，采取何種統(tǒng)計(jì)方法來(lái)處理和分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果等。實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)時(shí)，每一項(xiàng)調(diào)查、測(cè)量和實(shí)驗(yàn)事先都必須進(jìn)行合理的設(shè)計(jì)才能實(shí)施。有人曾說(shuō)，假如給我三天的時(shí)間做研究，我會(huì)用兩天的時(shí)間進(jìn)行設(shè)計(jì)，用一天的時(shí)間進(jìn)行實(shí)施，可見(jiàn)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)在整個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)中的地位。

三者之間的關(guān)系：統(tǒng)計(jì)學(xué)的內(nèi)容之間既互相區(qū)別，又互相聯(lián)系。從統(tǒng)計(jì)學(xué)發(fā)展的歷史來(lái)看，先有描述統(tǒng)計(jì)，后有推斷統(tǒng)計(jì)，再有實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，因此描述統(tǒng)計(jì)為前驅(qū)，推斷統(tǒng)計(jì)為核心，實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)為后衍。但是從實(shí)驗(yàn)研究進(jìn)程來(lái)說(shuō)，則應(yīng)先進(jìn)行實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，再進(jìn)行描述統(tǒng)計(jì)和推斷統(tǒng)計(jì)。

二、幾種基本的統(tǒng)計(jì)思想

統(tǒng)計(jì)要認(rèn)識(shí)的對(duì)象是一個(gè)總體，按統(tǒng)計(jì)總體的定義，它必須是許多事物的集合。統(tǒng)計(jì)的總體思想使統(tǒng)計(jì)始終要站在研究對(duì)象的整體角度來(lái)看問(wèn)題，形成了大量觀察方法和一系列認(rèn)識(shí)規(guī)律。既然統(tǒng)計(jì)學(xué)是通用的數(shù)量認(rèn)識(shí)模式，就需要我們對(duì)這些模式進(jìn)行總結(jié)。這既是學(xué)科內(nèi)的必需，也有利于弄清統(tǒng)計(jì)學(xué)與其他學(xué)科的區(qū)別。

統(tǒng)計(jì)思想包括平均思想、變異思想、估計(jì)思想、相關(guān)思想、擬合思想、檢驗(yàn)思想。平均概念幾乎涉及所有統(tǒng)計(jì)學(xué)理論，是統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本思想，算術(shù)平均數(shù)是簡(jiǎn)明而重要的代表。均值思想告訴我們統(tǒng)計(jì)認(rèn)識(shí)問(wèn)題是從其發(fā)展的一般規(guī)律來(lái)看，側(cè)重點(diǎn)不在總規(guī)模或個(gè)體；所謂變異指的是個(gè)別對(duì)一般的偏離程度，個(gè)體變異在宏觀上看就是方差?？梢哉f(shuō)，算術(shù)平均數(shù)與方差這兩個(gè)概念分別起到“隱異顯同”和“知同察異”的作用。平均與變異都是對(duì)同類(lèi)事物特征的抽象和宏觀度量；估計(jì)的本質(zhì)是類(lèi)比，把已知的事物特征推廣到更大的范圍，以樣本推測(cè)總體，是對(duì)同類(lèi)事物的由此及彼式的認(rèn)識(shí)方法；相關(guān)概念表現(xiàn)事物之間的關(guān)系，它的度量對(duì)象是“關(guān)系”，是多維現(xiàn)象，是前述統(tǒng)計(jì)思想的重要擴(kuò)展；擬合是對(duì)不同類(lèi)型事物之間關(guān)系之表象的抽象。擬合的成果是模型，反映一般趨勢(shì)，趨勢(shì)表達(dá)的是“事物和關(guān)系”的變化過(guò)程在數(shù)量上所體現(xiàn)的模式和基于此而預(yù)示的可能性；統(tǒng)計(jì)方法總是歸納性的，其結(jié)論永遠(yuǎn)帶有一定的或然性，基于局部特征和規(guī)律所推廣出來(lái)的判斷不可能完全可信，檢驗(yàn)過(guò)程是保證判斷可靠的邏輯要求。

三、平均思想的基本內(nèi)容

統(tǒng)計(jì)學(xué)自十七世紀(jì)中葉產(chǎn)生至今三百年來(lái)，各種統(tǒng)計(jì)思想、統(tǒng)計(jì)方法日臻完善。但是，多種多樣的統(tǒng)計(jì)思想、統(tǒng)計(jì)方法的基本指導(dǎo)思想就是“平均”。平均思想是一種思維方式，即在認(rèn)識(shí)客觀事物的過(guò)程中客觀全面地看問(wèn)題，從控制偶然性或抽象掉差異性出發(fā)，通過(guò)綜合，平均，達(dá)到對(duì)現(xiàn)象的規(guī)律性或必然性的認(rèn)識(shí)。平均概念幾乎涉及所有統(tǒng)計(jì)學(xué)理論，是統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本思想，算術(shù)平均數(shù)是簡(jiǎn)明而重要的代表。理解算術(shù)平均數(shù)的概念，可以簡(jiǎn)單地從小學(xué)算術(shù)開(kāi)始。對(duì)于小學(xué)生而言，老師的教育方法經(jīng)常是：甲有3個(gè)蘋(píng)果，乙有5 個(gè)，一共有8個(gè)，如果均分，各得其4。這個(gè)貌似平均數(shù)計(jì)算過(guò)程的方法其實(shí)與平均數(shù)的觀念有著本質(zhì)的區(qū)別。對(duì)于小學(xué)生，老師須使之知道“加法”、“和”、“除法”、“商”的抽象數(shù)學(xué)概念，是以實(shí)例說(shuō)理論，使小學(xué)生注意到“2條魚(yú)”和“2天”之間的共同點(diǎn)。而在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，算術(shù)平均數(shù)不能歸結(jié)為“和”與“商”之類(lèi)的計(jì)算過(guò)程，而是要強(qiáng)調(diào)“平均”——“一般的代表值”的概念，進(jìn)“數(shù)據(jù)集合的一個(gè)重要特征值”的觀念。

均值思想告訴我們統(tǒng)計(jì)認(rèn)識(shí)問(wèn)題是從其發(fā)展的一般規(guī)律來(lái)看，側(cè)重點(diǎn)不在總規(guī)?；騻€(gè)體。人們熟悉的價(jià)值規(guī)律是典型的均值思想。根據(jù)均值思想的認(rèn)識(shí)規(guī)律，在計(jì)算各種均值時(shí)（個(gè)體表現(xiàn)與概率的乘積），概率就可以是計(jì)算概率，民意概率或者主觀概率。如人均GDP用的是計(jì)算概率，專(zhuān)家預(yù)測(cè)用的是民意概率，而一些社會(huì)問(wèn)題的判斷就要用主觀概率。均值思想要求從總體上看問(wèn)題，但要求觀察其一般發(fā)展趨勢(shì)，避免個(gè)別偶然現(xiàn)象的干擾。如許多評(píng)比時(shí)，將各評(píng)委的評(píng)分去掉一個(gè)或兩個(gè)最高分和最低分，使其能反映集中趨勢(shì)。均值思想產(chǎn)生了許多計(jì)算方法，如眾數(shù)、中位數(shù)、百分?jǐn)?shù)、調(diào)和均數(shù)、幾何均數(shù)等。這幾種平均數(shù)是針對(duì)不同的信息處理而采取不同的方法計(jì)算的，其本質(zhì)是一樣的。

四、平均思想的基本應(yīng)用

平均思想是貫穿于統(tǒng)計(jì)學(xué)原理的一根主線;也是我們進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析和研究一種常用的思維方式;特別是在管理類(lèi)的其他專(zhuān)業(yè)知識(shí)中，也常常受到了這種思想的影響。下面就談?wù)勥@種思想在有關(guān)知識(shí)中的一些應(yīng)用，以起拋磚引玉的作用。

（一）在統(tǒng)計(jì)調(diào)查、統(tǒng)計(jì)分析方面的應(yīng)用

1.抽樣推斷中的平均思想。抽樣推斷中的抽樣誤差的計(jì)算是建立在平均思想之上的。人們運(yùn)用平均思想從所有可能樣本出發(fā)，把每個(gè)可能樣本的統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)的離差加以平均，得到抽樣方差，進(jìn)而解決了抽樣誤差的計(jì)算問(wèn)題。其推斷過(guò)程中，也貫穿著平均思想，推斷的結(jié)果只能中一個(gè)平均可能值或區(qū)間。

2.比較同類(lèi)現(xiàn)象在不同時(shí)間、空間上發(fā)展的一般水平的變化。此時(shí)，若使用總量指標(biāo)進(jìn)行分析，則會(huì)因其大小不同，而造成無(wú)法評(píng)價(jià)，而使用平均指標(biāo)，則能方便地解決問(wèn)題。例如:將歷年來(lái)各個(gè)城市職工平均每人每月全部收入與農(nóng)民家庭平均每人純收入進(jìn)行比較，就能很好地反映各個(gè)城市城鄉(xiāng)居民的收入不斷提高和生活逐步改善的情況，而用總收入來(lái)比較，則難以做到這一點(diǎn)。

3.評(píng)價(jià)事物時(shí)可借鑒。如:評(píng)價(jià)某學(xué)生考試成績(jī)的優(yōu)異與否，就要以全體學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)橐罁?jù);對(duì)某單位的產(chǎn)品成本，勞動(dòng)生產(chǎn)率的評(píng)價(jià)，也要以它們的平均水平為比較的基礎(chǔ)。

（二）平均思想在描述總體基本特征時(shí)的應(yīng)用

眾所周知，統(tǒng)計(jì)作為認(rèn)識(shí)現(xiàn)象的方法論，側(cè)重于從總體上看問(wèn)題。在描述統(tǒng)計(jì)總體基本特征時(shí)經(jīng)常使用的指標(biāo)是總量指標(biāo)、相對(duì)指標(biāo)、平均指標(biāo)和變異指標(biāo)。在這些指標(biāo)中，除了總量指標(biāo)是采用綜合掉個(gè)體差異而反映總體總量外，其他三種指標(biāo)更多地體現(xiàn)了抽象掉個(gè)體差異反映一般水平的平均思想。

（三）充分利用平均思想進(jìn)行統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)

利用歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，由于數(shù)據(jù)的波動(dòng)，使我們不能很好地開(kāi)展預(yù)測(cè)工作，因此，應(yīng)利用平均思想來(lái)處理這些數(shù)據(jù)。例如: 平均法、移動(dòng)平均法及指數(shù)平滑法等預(yù)測(cè)方法就是采取簡(jiǎn)單平均加權(quán)平均的方法來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)的。它們均是將特性值在時(shí)點(diǎn)上的差異抽象化，以反映特性值在一定時(shí)期內(nèi)的一般水平，從而能代表總體現(xiàn)象在一定時(shí)期內(nèi)的發(fā)展?fàn)顩r，也就是達(dá)到了預(yù)測(cè)的目的。

（四）平均思想在指數(shù)分析中的應(yīng)用

我們知道，指數(shù)是一個(gè)動(dòng)態(tài)概念，它反映事物不同時(shí)間上動(dòng)態(tài)變化的程度。可見(jiàn)，指數(shù)（特別是總指數(shù)）從定義本身就采用了平均思想。在總指數(shù)的計(jì)算上普遍采用兩種形式即綜合指數(shù)和平均數(shù)指數(shù)。其中綜合指數(shù)是借助一個(gè)橋梁（同度量因素）使得多種不能直接相加的事物得以相加，把不同事物間的差異加以綜合，而后采用一定形式的對(duì)比，反映多種事物綜合變動(dòng)的平均程度。指數(shù)的計(jì)算方法，無(wú)論其計(jì)算過(guò)程還是計(jì)算結(jié)果都體現(xiàn)了平均思想。

（五）體現(xiàn)全面質(zhì)量控制

用數(shù)據(jù)說(shuō)話是全面質(zhì)量管理的一個(gè)基本觀點(diǎn)，但我們所收集的質(zhì)量數(shù)據(jù)往往是雜亂無(wú)章的，也可能不準(zhǔn)確。此時(shí)，就需要利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的手段來(lái)對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、加工，之后，就可以發(fā)現(xiàn)產(chǎn)品質(zhì)量的分布規(guī)律。在偶然性因素的影響下，產(chǎn)品質(zhì)量的差異的分布規(guī)律呈正態(tài)分布;當(dāng)有系統(tǒng)性因素影響時(shí)，就會(huì)改變正態(tài)分布的位置或形態(tài)，甚至不呈正態(tài)分布。而我們正是利用數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為正態(tài)分布的中心位置，用數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差確定其分散幅度和離散程度，這是平均思想的又一次充分運(yùn)用。平均思想不僅在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，而且在有關(guān)專(zhuān)業(yè)課中也得到了充分的體現(xiàn)和應(yīng)用。

五、如何選擇平均數(shù)的計(jì)算方法

為了反映現(xiàn)象的一般水來(lái)，統(tǒng)計(jì)學(xué)中運(yùn)用了各種平均數(shù)，包括算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等。下面就算術(shù)平均數(shù)與調(diào)和平均數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題做一下討論。

（一）不能根據(jù)同一資料既計(jì)算算術(shù)平均數(shù)，又計(jì)算調(diào)和平均數(shù)

算術(shù)平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)各有自己特定的應(yīng)用場(chǎng)合，不能根據(jù)同一資料既計(jì)算算術(shù)平均數(shù)，又計(jì)算調(diào)和平均數(shù)。下面通過(guò)幾個(gè)有聯(lián)系的實(shí)例加以說(shuō)明。

例1.某種商品的價(jià)格，甲市場(chǎng)2元/kg，乙市場(chǎng)3元/kg，現(xiàn)從甲乙兩市場(chǎng)各購(gòu)買(mǎi)1kg，求平均價(jià)格。此情況應(yīng)用算術(shù)平均數(shù)? （2+3）/（1+1）=2.5（元/kg）。

例2.其他條件不變，若從甲市場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)2kg，從乙市場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)1kg，求平均價(jià)格。加權(quán)算術(shù)平均數(shù)=（2*2+1*3）/（2+1）=2.3（元/kg）。

例3.其他條件不變，若從甲乙兩市場(chǎng)各購(gòu)買(mǎi)1元，求平均價(jià)格。簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)=（1+1）/（1/2+1/3）=2.4（元/kg）。

例4.其他條件不變，若從甲市場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)2元，從乙市場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)3元，求平均價(jià)格。加權(quán)調(diào)和平均數(shù)=（2+3）/（2/2+3/3）=2.5（元/kg）。

通過(guò)以上四例可以看出，不管是簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)還是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)，簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)還是加權(quán)調(diào)和平均數(shù)，都是在特定的條件或特定的資料下才能應(yīng)用的。

（二）算術(shù)平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)是平均指標(biāo)的兩種表現(xiàn)形式并非兩類(lèi)獨(dú)立的平均數(shù)

算術(shù)平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)是平均指標(biāo)的兩種表現(xiàn)形式，都是用來(lái)反映所研究現(xiàn)象某一數(shù)量標(biāo)志在一定時(shí)空下的一般水平的綜合指標(biāo)?？v觀兩類(lèi)指標(biāo)的計(jì)算公式，不管是簡(jiǎn)單平均數(shù)還是加權(quán)平均數(shù)，之所以采用不同的計(jì)算公式，都是由于所掌握資料不同而產(chǎn)生的不同的計(jì)算方法。像前面所舉的四個(gè)例子，就是由于所掌握資料不同，而采用不同的計(jì)算公式

（三）算術(shù)平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù).的數(shù)值之間并無(wú)直接關(guān)系，也不存在誰(shuí)大誰(shuí)小的問(wèn)題

既然算術(shù)平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)是平均指標(biāo)的兩種表現(xiàn)形式，是由于我們所掌握的資料不同而采用的不同的計(jì)算方法，根據(jù)同一資料不能既計(jì)算算術(shù)平均數(shù)又計(jì)算調(diào)和平均數(shù)，那么，這兩種平均數(shù)之間就不存在數(shù)值大小上的直接聯(lián)系，也就不存在誰(shuí)大誰(shuí)小的問(wèn)題。

六、結(jié)語(yǔ)

平均思想是一種思維方式，是在認(rèn)識(shí)客觀事物的過(guò)程中客觀全面地看問(wèn)題，從控制偶然性或抽象掉差異性出發(fā)，通過(guò)綜合、平均、達(dá)到對(duì)現(xiàn)象的規(guī)律性或必然性的認(rèn)識(shí)。平均思想是貫穿于統(tǒng)計(jì)學(xué)原理中的一根主線：也是我們進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析和研究一種常用的思維方式，在管理類(lèi)的其他專(zhuān)業(yè)知識(shí)中，也常常受到了這種思想的影響。應(yīng)該指出，我們提出平均思想是統(tǒng)計(jì)的基本思想，并不等于說(shuō)平均思想是統(tǒng)計(jì)學(xué)的唯一思想。在當(dāng)前我國(guó)統(tǒng)計(jì)工作中，認(rèn)清統(tǒng)計(jì)的真諦、領(lǐng)會(huì)統(tǒng)計(jì)思想，對(duì)統(tǒng)計(jì)本身來(lái)講，有利于提高統(tǒng)計(jì)水平和統(tǒng)計(jì)工作者的整體素質(zhì)。

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作者簡(jiǎn)介：高素爭(zhēng)（1979-），女，天津市濱海新區(qū)人，供職于神華天津煤碼頭公司，主要從事生產(chǎn)統(tǒng)計(jì)工作研究。