高中數(shù)學(xué)中檔習(xí)題解法淺析

白樹

近年來各地高考數(shù)學(xué)試卷中“中檔題”所占比例約為60%～70%.這類題目的難度一般高于課本習(xí)題，要準(zhǔn)確解答該類題目，選好解題方法是關(guān)鍵.中檔題一般牽扯到2～3個(gè)知識點(diǎn)，多源于課本.這類題目學(xué)生并不陌生，似曾相識，好像很易下手，但要準(zhǔn)確解題，并非易事，需要學(xué)生牢固理解課本中的基礎(chǔ)知識，掌握基本解題方法.現(xiàn)將基本解題方法作以下分析.

第一類：數(shù)形結(jié)合法

例1 設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線x2[]16-y2[]4=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是圖形上的一點(diǎn)，且∠F1PF2=90°，則△PF1F2的面積S為.

分析 求Rt△的面積，只需求兩直角邊的積.

解 設(shè)PF1=m，PF2=n，由雙曲線的幾何性質(zhì)可得

m2+n2=|F1F2|2=（45）2=80， （1）

|m-n|=8.（2）

這樣就將形的問題通過設(shè)立未知數(shù)轉(zhuǎn)化為等式問題求解.

由（2）得m2+n2-2mn=64，

將m2+n2=80代入即得S=1[]2mn=4.

第二類：換元法

換元就是變量的替換，將一種變量轉(zhuǎn)換為另一種變量，使問題得到解決.

例2 求出函數(shù)y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值.

分析 可將sinx，cosx看成式子中的兩個(gè)變量，找到sinx與cosx之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，根據(jù)同角三角函數(shù)之間的關(guān)系，則通過換元可以解決.

解 設(shè)m=sinx+cosx，m∈[-2，2]，兩邊平方可得

sinxcosx=1[]2（m2-1）.

因此原來函數(shù)就轉(zhuǎn)換為關(guān)于m的二次函數(shù)，通過配方得到

y=1[]2（m2-1）+m=1[]2（m+1）2-1.

又-2≤m≤2，∴當(dāng)m=2，即sinx+cosx=2，

即x=2kπ+π[]4，（k∈Z）時(shí)，y璵ax=1[]2+2.

第三類：待定系數(shù)法

就是以方程的思想，將未知（待定）的系數(shù)與已知數(shù)據(jù)統(tǒng)一于方程之中.

例3 已知方程x4-10x3+36x2-52x+20=0有一根為3+i，解這個(gè)方程.

分析 由實(shí)系數(shù)方程的虛根共軛可知方程必有另一根3-i，由此可得

x4-10x3+36x2-52x+20=（x-3-i）（x-3+i）（x2+bx+c）.

應(yīng)用賦值法可確定b，c的值.

解 先令x=0，c=20[]（-3-i）（-3+i）=2，

再令x=1，-5=（-2-i）（-2+i）（b+3），

∴b=-4.

∴x2+bx+c=0輝2-4x+2=0，x3，4=2±2.

∴原方程的四個(gè)根分別是3±i、2±2.

第四類：分類討論法

分類既要做到必須、適時(shí)、合理、恰到好處，又要保持不重不漏，簡單明了.

例4 已知集合A={x|x2+4x=0，x∈R}，B={x|x2+2（a+1）x+a2-1=0，x∈R}，若A∪B=A，求實(shí)數(shù)a的值.

分析 A∪B=A，則B罙，而已知A是二元集，

∴B中元素個(gè)數(shù)不確定，因此要進(jìn)行分類討論.

解 ∵A∪B=A，∴B罙，可知A={0，-4}.

①當(dāng)B=時(shí)，方程x2+2（a+1）x+a2-1=0無實(shí)數(shù)根，則Δ=[2（a+1）]2-4（a2-1）<0，解得a<-1.

②當(dāng)B為一元集時(shí)，方程有兩個(gè)等實(shí)根，

則Δ=0，解得a=-1.

③當(dāng)B=A時(shí)，由韋達(dá)定理可得

x1+x2=-2（a+1）=-4，

x1x2=a2-1=0，

Δ>0輆>-1.

a≤y輆=1，

a=±1輆=1，

a>-1.

綜上，所求實(shí)數(shù)a的值為a≤-1或a=1.

第五類：反證法

例5 如果三個(gè)方程x2+2x+a-1=0，

x2-2（a-1）x+a2=0，

x2+x+4-a=0

至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，情況較復(fù)雜，逐一研究過程煩瑣，但其方面只有一種情況，可以從這個(gè)角度入手.

解 設(shè)三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值集合為A.

如果三個(gè)方程都沒有實(shí)數(shù)根，則

22-4（a-1）<0，

[-2（a-1）]2-4a2<0，

12-4（4-a）<0.

2

瘙 綂 璘A=a2

∴A=aa≤2或a≥15[]4.

因此，當(dāng)三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根時(shí)，實(shí)數(shù)a的范圍是a≤2或a≥15[]4.

解數(shù)學(xué)題的方法很多，要靈活應(yīng)用各種方法，必須要在以下幾點(diǎn)上下工夫：

（1）在基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)上下功夫.（2）在能力提升上下工夫.

（3）在實(shí)際應(yīng)用能力上下功夫.（4）培養(yǎng)良好學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高解題的準(zhǔn)度、速度和表述能力.