例談轉(zhuǎn)化與化歸思想的轉(zhuǎn)化途徑和方法

夏文宏

轉(zhuǎn)化與化歸是研究問(wèn)題的一種手段，可以說(shuō)貫穿著整個(gè)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，比如我們經(jīng)常討論的函數(shù)、方程與不等式之間的相互轉(zhuǎn)化，都是轉(zhuǎn)化與化歸思想的體現(xiàn).轉(zhuǎn)化與化歸的核心是將問(wèn)題通過(guò)變換使之能利用已有的知識(shí)解決或快速解決，可以說(shuō)轉(zhuǎn)化與化歸是數(shù)學(xué)思想方法的靈魂.這里與大家探討轉(zhuǎn)化與化歸思想中常見(jiàn)的幾種轉(zhuǎn)化途徑和方法.

1.特殊與一般的相互轉(zhuǎn)化

由于一般性中隱含著特殊性，因而對(duì)于一定條件下任何值都成立的命題可利用其特殊性來(lái)求解.常用的特例有特殊數(shù)值、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊角、特殊位置等.

（1）特殊值

例1 若x∈（e-1，1），a=lnx，b=2lnx，c=（lnx）2，則（）.

A.a

C.b

解析 令x=e-1[]2∈（e-1，1），則a=-1[]2，b=-1，c=-1[]8，故b

（2）特殊函數(shù)

例2 定義在R上的奇函數(shù)f（x）為減函數(shù)，設(shè)a+b≤0，給出下列不等式：

①f（a）·f（-a）≤0，②f（b）·f（-b）≥0，

③f（a）+f（b）≤f（-a）+f（-b），

④f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），其中正確的序號(hào)是（）.

A.①②④B.①④

C.②④D.①③

解析 取f（x）=-x符合題意，逐項(xiàng)驗(yàn)證可知①④正確，故選B項(xiàng).

（3）特殊數(shù)列

例3 已知等比數(shù)列{a璶}中，a璶>0，且a5·a6=81，則log3a1+log3a2+…+log3a10的值是（）.

A.20B.10

C.5D.40

解析 取滿(mǎn)足題意的特殊數(shù)列{a璶}，a璶=9，原式=log3910=20，故選A項(xiàng).

（4）特殊方程

例4 如果一個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍，那么這個(gè)橢圓的離心率為（）.

A.5[]4B.3[]2

C.2[]2D.1[]2

解析 可用特殊方程來(lái)考察.取橢圓方程為x2[]4+y2=1，則離心率e=3[]2.故選B項(xiàng).

方法總結(jié) 對(duì)于一定條件下任何值都成立的命題可利用其特殊性來(lái)求解，應(yīng)熟悉以上常用的特殊與一般問(wèn)題的轉(zhuǎn)化方法，這樣可以提高解題速度.

2.主元與次元的相互轉(zhuǎn)化

在處理多變?cè)臄?shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，可以選取其中的任一變量為主元變量稱(chēng)其為“主元”，其他量為次變量，稱(chēng)其為“次元”，分清“主元”與“次元”可以減少變?cè)?，?jiǎn)化運(yùn)算，為解題帶來(lái)方便.

例5 已知曲線系C璳的方程為x2[]9-k+y2[]4-k=1，試證明坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn)（a，b）（a，b≠0）在C璳中總存在一橢圓和一雙曲線通過(guò)該點(diǎn).

轉(zhuǎn)化途徑 此題有三個(gè)變量，若從曲線系的角度去考慮，以x，y為主元，則思維將受阻，若以k為主元，則容易看出，當(dāng)k<4或4

解 假設(shè)點(diǎn)（a，b）（a，b≠0）在曲線C璳上，則a2[]9-k+b2[]4-k=1，整理得k2+（a2+b2-13）k+（36-4a2-9b2）=0.

令f（k）=k2+（a2+b2-13）k+（36-4a2-9b2），所以f（4）=-5b2<0，f（9）=5a2>0.

又函數(shù)f（k）=k2+（a2+b2-13）k+（36-4a2-9b2）的圖像開(kāi)口向上，從而方程k2+（a2+b2-13）k+（36-4a2-9b2）=0在（-∞，4）和（4，9）內(nèi)分別有一根，即對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)（a，b）（a，b≠0）在曲線系C璳中總存在一橢圓和一雙曲線通過(guò)該點(diǎn).

方法總結(jié) 將解析幾何中的曲線系問(wèn)題轉(zhuǎn)化為視參變量為主元的方程的根的問(wèn)題，降低了難度，解法簡(jiǎn)練.

3.相等與不等的相互轉(zhuǎn)化

相等與不等是兩個(gè)不同的概念，在某種情況下可以相互轉(zhuǎn)化，這種轉(zhuǎn)化能使問(wèn)題變得十分簡(jiǎn)單.

例6 設(shè)三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a

轉(zhuǎn)化途徑 由題意得關(guān)于a，b，c的兩個(gè)等量的關(guān)系式子，通過(guò)二次方程的判別式、放縮法、根的分布等手段得到不等關(guān)系.

證明 [HT]f′（x）=3ax2+2bx+c，由題意，得f′（1）=3a+2b+c=0.①

f′（m）=3am2+2bm+c=-3a.②

因?yàn)閍

得3am2+2bm-2b=0，所以Δ=4b2+24ab≥0，得b[]a2+6b[]a≥0，解得b[]a≤-6或b[]a≥0.③

將c=-3a-2b代入a

方法總結(jié) 等與不等是一對(duì)矛盾，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化，在等與不等的轉(zhuǎn)化中，不等式與函數(shù)的性質(zhì)常常起著重要的作用，是一條重要的紐帶這，也是一個(gè)重要的化歸模式.

4.空間與平面的相互轉(zhuǎn)化

空間圖像問(wèn)題有些時(shí)候比較抽象，空間概念難以建立，給解題帶來(lái)不便，并且在高考中直接給考生帶來(lái)不利影響，但是有些時(shí)候?qū)⑵滢D(zhuǎn)化到平面幾何或類(lèi)比平面上利用相關(guān)知識(shí)來(lái)處理，則顯得輕而易舉.

例7 如圖1，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面為直角三角形，∠C=90°，AC=6，BC=CC1=2，P是BC1上一動(dòng)點(diǎn)，則線段CP+PA1的最小值為.

圖 1圖 2

轉(zhuǎn)化途徑 空間圖形中線段和的最值問(wèn)題應(yīng)將其轉(zhuǎn)化到同一平面上來(lái)解，因而要將CP或PA1所在的平面旋轉(zhuǎn)到同一平面上研究.

解 連接A1B，將△CBC1沿著B(niǎo)C1旋轉(zhuǎn)到與△A1BC1同一平面上，如圖2，連接A1C，則A1C與BC1的交點(diǎn)就為動(dòng)點(diǎn)P，此時(shí)A1C的長(zhǎng)度就是所求的最小值.由條件可知：BC1=2，A1B1=38，A1B=210，從而在△A1BC1中可得∠A1C1B=90°，又∠BC1C=45°，所以在圖2的△A1CC1中，∠A1C1C=135°，由余弦定理可求得A1C=52，則CP+PA1的最小值為52.

方法總結(jié) 將空間圖形中所求的部分轉(zhuǎn)化到平面上來(lái)研究是優(yōu)化解題方法的技巧，可以使問(wèn)題清晰明了，對(duì)本題型用此方法求解是較好的方法.

總之：復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題都是由簡(jiǎn)單的問(wèn)題復(fù)合而成，或通過(guò)適當(dāng)?shù)难莼傻?只要我們能將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，我們就能解決相對(duì)復(fù)雜的問(wèn)題.