聯(lián)想證明不等式

洛桑扎西

【摘要】本文根據(jù)一些不等式的結(jié)構(gòu)特征，從多個(gè)維度列舉了證明不等式的新技巧、新方法.

【關(guān)鍵詞】不等式；證明；結(jié)構(gòu)特征

1.聯(lián)想函數(shù)

例1 設(shè)a1，a2，…，a璶都是正數(shù)，證明對(duì)任意正整數(shù)n，不等式（a1+a2+…+a璶）2≤n（a21+a22+…+a2璶）均成立.

證明 原不等式即為4（a1+a2+…+a璶）2-4n（a21+a22+…+a2璶）≤0，由此結(jié)構(gòu)聯(lián)想到一元二次函數(shù)根的判別式而構(gòu)造函數(shù)f（x）=（a21+a22+…+a2璶）x2+2（a1+a2+…+a璶）x+n.

因?yàn)閒（x）=（a1x+1）2+（a2x+1）2+…+（a璶x+1）2≥0，

且二次項(xiàng)系數(shù)a21+a22+…+a2璶>0，故

Δ=4（a1+a2+…+a璶）2-4n（a21+a22+…+a2璶）≤0，

即（a1+a2+…+a璶）2≤n（a21+a22+…+a2璶）.對(duì)任意正整數(shù)n均成立.

點(diǎn)評(píng) 本題證法不少，但都較繁，我們通過(guò)觀(guān)察問(wèn)題結(jié)構(gòu)聯(lián)想到函數(shù)，利用二次函數(shù)圖像與判別式的關(guān)系，使證明簡(jiǎn)潔流暢.

2.聯(lián)想方程

例2 已知2b-2c=a，求證：b2≥4ac.

證明 由b2≥4ac聯(lián)想到一元二次方程有實(shí)根，而已知條件可化為：

a-2[]22+b-2[]2+c=0，a-2[]22+b-2[]2+c=0有實(shí)根-2[]2，

于是b2-4ac≥0，即b2≥4ac.

點(diǎn)評(píng) 本題常規(guī)證法雖不難，但通過(guò)聯(lián)想方程有解，達(dá)到證題目的，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力大有益處.

3.聯(lián)想三角

例3 已知a，b，c為三角形的三邊，且a2+b2+c2=0，n∈N*且n>2.求證：c琻>a琻+b琻.

證明 由a>0，b>0，c>0，a2+b2=c2得a[]c2+b[]c2=1，可聯(lián)想到三角中sin2α+cos2α=1，故設(shè)a[]c=cosα，b[]c=sinα，0<α<π[]2，則有a[]c琻+b[]c琻=cos琻α+sin琻α

故a琻+b琻

點(diǎn)評(píng) 從結(jié)論變形a[]c琻+b[]c琻<1聯(lián)想到指數(shù)函數(shù)，進(jìn)一步利用函數(shù)單調(diào)性，也可使問(wèn)題順利解決.

4.聯(lián)想距離

例4 x∈R，證明：x4-3x2-6x+13-x4-x2+1≤10.

證明 見(jiàn)到根號(hào)，聯(lián)到距離公式，將左邊變形為y=x-3）2+（x2-2）-x2+（x2-1）2，則y可看成動(dòng)點(diǎn)P（x，x2）（它在拋物線(xiàn)y=x2上運(yùn)動(dòng)）與定點(diǎn)A（3，2），B（0，1）的距離之差，即y=|PA|-|PB|.

由它的幾何意義，有y≤|AB|=10，顯然當(dāng)P點(diǎn)為AB的延長(zhǎng)線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)時(shí)，y取到最大值.

點(diǎn)評(píng) 聯(lián)想距離，將距離的和或差結(jié)合幾何圖形進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，這種思想方法在求解值域及最值問(wèn)題中經(jīng)常用到.

5.聯(lián)想斜率

例5 求證：-2[]4≤sinx[]cosx-3≤2[]4.

證明 式子sinx[]cosx-3變形為0-sinx[]3-cosx，可聯(lián)想到直線(xiàn)斜率，其意義為：點(diǎn)A（3，0）與點(diǎn)M（cosx，sinx）的連線(xiàn)斜率，而M點(diǎn)的軌跡是圓x2+y2=1.當(dāng)直線(xiàn)AM與圓相切時(shí)，斜率取到最大值2[]4或最小值-2[]4.故-2[]4≤sinx[]cosx-3≤2[]4.

點(diǎn)評(píng) 本題也可用三角函數(shù)的有界性解答，但聯(lián)想斜率往往可使解答過(guò)程簡(jiǎn)潔直觀(guān).

6.聯(lián)想曲線(xiàn)

例6 求證：-4[]3≤4-9x2-2x≤213[]3.

證明 由4-9x2的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，聯(lián)想到橢圓方程.令y=4-9x2（y≥0），則其圖像是x2[]4[]9+y2[]4=1的上半部分.

再設(shè)y-2x=m，因?yàn)閙為直線(xiàn)y=2x+m在y軸上的截距，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為過(guò)橢圓上半部分的點(diǎn)且y斜率為2的直線(xiàn)在y軸上的截距的最值.顯然，當(dāng)直線(xiàn)y=2x+m過(guò)點(diǎn)2[]3，0時(shí)，

m有最小值m=-4[]3；當(dāng)直線(xiàn)y=2x+m與橢圓上半部分相切時(shí)，m有最大值.

由y=2x+m，

9x2+y2=4，

得13x2+4mx+m2-4=0.

令Δ=4（52-9m2）=0，得

m=213[]3，或m=-213[]3（舍）.

∴-4[]3≤4-9x2≤213[]3.

點(diǎn)評(píng) 聯(lián)想圓錐曲線(xiàn)，結(jié)合線(xiàn)性規(guī)劃的思想，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)截距的最值，是解此問(wèn)題的有效途徑.

7.聯(lián)想幾何體

例7 已知銳角α，β，γ，滿(mǎn)足cos2α+cos2β+cos2γ=1.求證：tanαtanβtanγ≥22.

證明 由cos2α+cos2β+cos2γ=1聯(lián)想到長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)與過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱的夾角滿(mǎn)足該關(guān)系式，則可構(gòu)造長(zhǎng)方體，使三棱長(zhǎng)分別為a，b，c，對(duì)角線(xiàn)與這三條棱所成的角分別為α，β，γ，于是有

tanα=b2+c2[]a，tanβ=c2+a2[]b，tanγ=a2+b2[]c，

所以tanαtanβtanγ≥2bc[]a·2ca[]b·2ab[]c=22.

點(diǎn)評(píng) 熟悉長(zhǎng)方體對(duì)角線(xiàn)的有關(guān)性質(zhì)是合理聯(lián)想的前提，在立體幾何中，經(jīng)常需要把角、線(xiàn)段等移植到幾何體中，通過(guò)對(duì)幾何體的直觀(guān)分析，使問(wèn)題容易獲得解決.