淺析辯證思想在解決數(shù)學問題中的運用

湯潔

在數(shù)學學習中，有時學生們會為解決一個問題而手足無措，會為一個方程的解法、一個角的取值或者一個變量的大小而困惑.這些問題表面上可能被認為是計算能力的欠缺，但實質(zhì)是一種數(shù)學思維的缺失，是一種解題思維的不完善.

在數(shù)學思維的培養(yǎng)和形成的過程中，辯證法思想的運用是關(guān)鍵所在，辯證法所運用的思維模式對建立數(shù)學思維和數(shù)學答題模式具有導向作用.甚至可以說，是否有辯證思維的意識決定著數(shù)學學習的成敗.淺析如下：

一、分清整體和局部，用普遍聯(lián)系的觀點看待和解決數(shù)學問題

高中數(shù)學體系是由多個模塊構(gòu)成的，每個模塊都是一個小的知識體系.通常了解一個小知識體系并不是非常困難.但是，如果要真正掌握這個模塊的知識就需要與其他模塊的知識相聯(lián)系.比如，三角函數(shù)與圓錐曲線、函數(shù)與不等式等，都是不同知識體系之間的相互聯(lián)系.而這種聯(lián)系就是在解題過程中學生經(jīng)常感到困惑的環(huán)節(jié).

以2009年新課標全國卷（文）12為例：用min{a，b，c}表示a，b，c三個數(shù)中的最小值.設f（x）=min{2瑇，x+2，10-x}（x≥0），則f（x）的最大值為（）.

A.4B.5C.6D.7

在這道題中，包含著最值、分段函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、函數(shù)圖像等知識點，也只有運用聯(lián)系的觀點，將幾部分知識串起來，數(shù)形結(jié)合，在坐標系中作出三個函數(shù)的圖像，再分段選取最小值，再在最小值中選出符合題意的最大值，進而求解.

以普遍聯(lián)系的觀點為基礎，對數(shù)學模塊之間的聯(lián)系進行具體地分析，引導學生分清整體和局部，對解題的成功起著決定性的作用.在解決問題的過程中，要承認因果聯(lián)系的普遍性和客觀性，正確把握數(shù)學模塊之間和模塊中的因果聯(lián)系.引導學生運用整體和部分相互關(guān)系的原理，在學習數(shù)學和解決數(shù)學問題時要樹立整體觀念和全局思想，從整體著眼，尋求最佳解題途徑；搞好局部，使整體功能得到最大的發(fā)揮.

二、運用發(fā)展的思想來引導學生深化學習效果，解決復雜問題

每個模塊的學習多是由淺入深，由易入難，在學習中，往往會遇到“瓶頸期”的問題，這是在學習時由質(zhì)變到量變的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，常常有的學生的分數(shù)一直懸在不高不低的位置，與尖子生有不小差距，但又高于普通學生，而他們所處的位置就是在突破“瓶頸期”的位置，有時在解決問題時，這種學生往往只差一步或者兩步，往往這一兩步是“瓶頸期”前后的體現(xiàn)，在瓶頸期前，可能會對某些問題已經(jīng)較為清晰，但在“瓶頸期”會一知半解，而數(shù)學學習就是一種從了解到認識，從認識到遺忘，從遺忘到掌握的螺旋式上升的過程，而并非是直線上升.

以2010年新課標全國卷（文）12為例：已知函數(shù)f（x）=|lgx|，0

-1[]2x+6，x>10，若a，b，c均不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則abc的取值范圍是（）.

A.（1，10）B.（5，6）

C.（10，12）D.（20，24）

該題以分段函數(shù)為背景，屬于分段函數(shù)中較新穎題目，但卻是以一道常見題為基礎改編的.原題是：

①已知函數(shù)f（x）=|lgx|，若a≠b，且f（a）=f（b），則a和b的關(guān)系為ab=1.

題①的解法為：分段討論去掉絕對值后，由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可知a和b必為一個大于1，另一個在0和1之間，故得lga=-lgb，從而得解.而以①為基礎改編的高考題，用發(fā)展的思想來看，是在原題的基礎上將函數(shù)變?yōu)槿?，且增加了一個變量.將a，b還看作原題中的a和b，即可得ab=1.再數(shù)形結(jié)合得出f（c）的范圍，進而得c的范圍即得解.

在解決數(shù)學問題時要引導學生運用運動、變化、發(fā)展的眼光看問題，而不是拘泥于眼前所出現(xiàn)的知識點.

三、運用矛盾的觀點，對立統(tǒng)一中把握數(shù)學

有些學生往往在出錯后會說大意失荊州，也就是在細節(jié)上出錯.這些看似細小的問題，卻很影響做題的結(jié)果和思維品質(zhì)的形成.有些學生在解題時只記成題而忽略本質(zhì)的概念，或者記概念而不知概念因何而來.而在高考這種選拔性考試中，試題往往與成題相異，甚至是背道而馳，但卻始終圍繞著核心的概念.在這類考試中往往“知甚解”的學生有很大的優(yōu)勢.這就說明，不論是核心知識還是細節(jié)問題都是非常重要的，而矛盾分析法的運用可以解決此類問題.

以2010年新課標全國卷（文）16為例：在△ABC中，D為BC邊上一點，BC=3BD，AD=2，∠ADB=135°.若AC=2AB，則BD=2+5.

這道題主要考查三角函數(shù)、解三角形的知識.此題計算量較大，而且邊角關(guān)系較為復雜，需要步步為營，在解題過程中注意提取關(guān)鍵信息，抓住求BD的關(guān)鍵邊角，進而運用正余弦公式得出BD長度，求出答項.

在學習數(shù)學時要引導學生牢記知識點并弄清知識的本來面目，堅持一分為二的矛盾分析方法.既把握核心知識又要兼顧細節(jié)問題.并且在解題中要敢于承認矛盾、揭露矛盾，善于分析矛盾；堅持兩分法，一分為二地看問題，防止片面性.不能有成題思想和固定不變的解題模式，反對“一刀切”.運用矛盾分析法把握整體數(shù)學.

學習數(shù)學和解決數(shù)學問題時融入辯證思想，將思維與實踐相結(jié)合，總結(jié)出解題規(guī)律和解題思想，在思維上占得解題先機，在解題時運用矛盾分析法規(guī)范步驟和邏輯，用哲學方法論指導數(shù)學學習和實踐，才能使數(shù)學學習有章有法.