巧用換元法求無理函數(shù)值域應(yīng)用問題的探究

樊宏偉

【摘要】換元法是用一種變量形式去取代另一種變量形式，從而把一個(gè)函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù).本文對用代數(shù)換元法和三角換元法求三類無理函數(shù)的值域的應(yīng)用問題作些探討.

【關(guān)鍵詞】換元法；無理函數(shù)；分式無理函數(shù)；求值域的應(yīng)用

換元法是一種變量代換，其實(shí)質(zhì)是用一種變量形式去取代另一種變量形式，從而把一個(gè)函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù).所換新元的范圍由原函數(shù)的定義域及所換元的表達(dá)式來確定.本文對用代數(shù)換元法和三角換元法求三類無理函數(shù)的值域作些探討.

一、形如“y=mx+n±ax+b”的函數(shù)

點(diǎn)撥 函數(shù)為根號內(nèi)外自變量的次數(shù)相同的無理函數(shù)，一般令t=ax+b，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為t的二次函數(shù).通過換元將問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)值域，但是換元后要注意新元的范圍.

例1 求函數(shù)f（x）=x-3+2x+1的值域.解 函數(shù)的定義域?yàn)閤|x≥-12.設(shè)t=2x+1，（t≥0），

則x=t2-12，于是y=t2-12-3+t，當(dāng)t=0時(shí)，

即x=-12，y璵in=-72.

當(dāng)t→+∞時(shí)，y→+∞.

所以，原函數(shù)的值域?yàn)閥y≥-72.

二、形如“y=mx+n±ax2+bx+c（a<0，Δ=b2-4ac>0）”的函數(shù)

點(diǎn)撥 函數(shù)根號內(nèi)外自變量x的次數(shù)不同，又a<0且Δ>0，函數(shù)的定義域?yàn)殚]區(qū)間[x1，x2]，一般采用三角換元法求函數(shù)的值域.可令x=x2-x12sinα+x2+x12且α∈-π2，π2，即原函數(shù)可化為y=Asin（α+φ）+k型函數(shù)，可得出函數(shù)的值域.至于a>0且Δ>0及其他類型，可自己分析一下.

例2 求函數(shù)f（x）=2x-4-x2的值域.

解 令x=2cosα，（0≤α≤π），

則f（x）=4cosα-4-4cos2α=4cosα-2sinα=25sin（φ-α），

其中sinφ=25，cosφ=25.因?yàn)?≤α≤π，所以φ-π≤φ-α≤φ.

所以-1≤sin（φ-α）≤sinφ，而sinφ=25.

所以函數(shù)f（x）=2x-4-x2的值域?yàn)閒（x）∈[-25，4].

三、形如“y=max+b±ncx+d，（ac<0）”的函數(shù)

點(diǎn)撥 函數(shù)的兩根號內(nèi)自變量都是一次或都是二次，且ac<0，函數(shù)的定義域?yàn)殚]區(qū)間，如[x1，x2]，則可作代換，令x=（x2-x1）sin2α+x1，且α∈0，π2，即原函數(shù)可化為y=Asin（α+φ）型的函數(shù)，易得出函數(shù)的值域.

例3 已知函數(shù)f（x）=1-x+x+3的值域.

解 因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)閤∈[-3，1]，故1-x∈[0，2]，

所以可設(shè)1-x=2cosθ，x+3=2sinθ，θ∈0，π2.

所以y=2cosθ+2sinθ=22sinθ+π4.因?yàn)棣取?，π2，θ+π4∈π4，3π4.

sinθ+π4∈22，1.所以2≤y≤22.故y璵ax=22，y璵in=2.

函數(shù)y=1-x+x+3的值域f（x）∈[2，22].

四、無理分式函數(shù)f（x）=p（x）q（x）求值域

點(diǎn)撥 根據(jù)函數(shù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特征選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄞD(zhuǎn)化為求一個(gè)簡單函數(shù)的值域.其基本思想方法是通過適當(dāng)?shù)膿Q元，將其轉(zhuǎn)化為我們熟知的函數(shù)后求值域.

例4 求函數(shù)y=x3（1+x2）3的值域.

解 x∈R，令x=tanα，α∈-π2，π2，

則y=tan3α（1+tan2α）3=tan3αsec6α=tan3αsec3α=sin3α.

因?yàn)棣痢?π2，π2，所以-1

總之，采用換元法求函數(shù)的值域，其目的有兩個(gè)，一是化簡運(yùn)算過程，避繁求簡；二是轉(zhuǎn)化函數(shù)的形式，化生為熟.

【參考文獻(xiàn)】

[1]繆選民.用三角換元法求兩類無理函數(shù)的值域.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2008（4）.

[2]張輝.用換元法求三類無理函數(shù)的值域.