構(gòu)造函數(shù)法解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的研究

寧桂華

【摘要】高中數(shù)學(xué)題紛繁復(fù)雜，而導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中占有較大比例.導(dǎo)數(shù)中的題，普遍反映不如解析幾何中的題規(guī)律性強(qiáng)，如何在紛繁復(fù)雜的題中找出規(guī)律性很強(qiáng)的類型題于教師于學(xué)生都顯得尤為重要.

【關(guān)鍵詞】構(gòu)造函數(shù)法

本人通過(guò)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，就構(gòu)造函數(shù)法解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題進(jìn)行初步討論，望對(duì)同行教學(xué)有所幫助，并期望彌補(bǔ)不足.

類型一 將左右兩側(cè)化為相同個(gè)數(shù)的式子

例1 用導(dǎo)數(shù)證：ln22·ln33·…·lnnn<1n，（n≥2，n∈N常.

分析 即證ln22·ln33·…·lnnn<12·23·…·n-1n.

即證lnxx1），即證lnx1）.

證明 設(shè)g（x）=lnx-（x-1），（x>1），發(fā)現(xiàn)g（1）=0，g′（x）=1[]x-1<0，g（x）為減函數(shù)，所以x>1時(shí)，g（x）1），得證.

例2 姓整數(shù)m，n，證：1ln（m+1）+1ln（m+2）+…+1ln（m+n）>nm（m+n）恒成立.

分析 即證

1ln（m+1）+1ln（m+2）+…+1ln（m+n）>1m-1m+1+1m+1-1m+2+…+1m+n-1-1m+n.

即證1lnx>1（x-1）x，（x>1）.

即證lnx1）.（證明略）

例3 證明：ln（22+1）+ln（32+1）+…+ln（n2+1）<1+2lnn（n≥2，n∈N常.

分析 即證ln（22+1）+ln（32+1）+…+ln（n2+1）<1+ln22+ln32+…+lnn2）.

又 122+133+…+1n2<11·2+12·3+…+1（n-1）n<1.

即證ln（22+1）+…+ln（n2+1）<122+ln22+132+ln32+…+1n2+lnn2.

即證ln（x+1）<1x+lnx（x>1）.

即證ln（1+1x）<1x，（x>1）.

即證ln（1+t）

證明 設(shè)h（t）=ln（1+t）-t，h′（t）=11+t-1=-t1+t<0.

∴h（t）

總結(jié)：此類題最明顯的規(guī)律是將左、右兩側(cè)化為相同個(gè)數(shù)的式子，難點(diǎn)是對(duì)右側(cè)式子的處理.

類型二 直接構(gòu)造函數(shù)

例4 對(duì)衝≥3，n∈N*，1n2

證 （Ⅰ）右側(cè)即證ln1+1n<1n.

令1n=x>0，

即證ln（1+x）0）.下面略.

（Ⅱ）左側(cè)即證ln（1+x）-x2>0，0

令ψ（x）=ln（1+x）-x2，

ψ′（x）=11+x-2x=-2x2-2x+11+x，

ψ′13>0，

∴x∈0，13，ψ′（x）>0.

∴ψ（x）>ψ（0）=0.

例5 f（x）=（a+1）lnx+ax2+1，

a≤-2，證：對(duì)衳1，x2∈（0，+∞），

f（x1）-f（x2）≥4x1-x2.（2010遼寧）

證明 不妨設(shè)x1>x2，則f（x1）

即證f（x2）-f（x1）≥4（x1-x2）.

即證f（x2）+4x2≥f（x1）+4x1.

即證g（x）=f（x）+4x在（0，+∞）為↓.

g′（x）=2ax2+4x+（a+1）x.

Δ=-8（a-1）（a+2）<0.

∴g′（x）<0.

∴g（x）在（0，+∞）為減函數(shù).

例6 已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x），滿足f′（x）

A.（-∞，e4）B.（e4，+∞）

C.（-∞，0）D.（0，+∞）

解 由f′（x）-f（x）<0，令g（x）=f（x）e瑇，

∴g′（x）=（f′（x）-f（x））e瑇（e瑇）2.

∴g′（x）<0.

∴g（x）在R上為減函數(shù).

又 f（2）=f（0）=1，

∴f（x）e瑇

∴g（x）

∴x>0.

總 結(jié)本文僅對(duì)幾個(gè)規(guī)律性很強(qiáng)的構(gòu)造函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題作了總結(jié).通過(guò)本文的研究感悟到“規(guī)律是客觀存在的”，尋找規(guī)律的過(guò)程是一種創(chuàng)造性思維的過(guò)程，是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的一種重要途徑.其實(shí)規(guī)律本就客觀存在，有時(shí)缺少的是發(fā)現(xiàn)規(guī)律的人.教師在教學(xué)中要挖掘規(guī)律，使數(shù)學(xué)簡(jiǎn)單化；學(xué)生在學(xué)習(xí)中也要認(rèn)真總結(jié)規(guī)律性的東西，從而使學(xué)習(xí)更簡(jiǎn)單.總之，發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過(guò)程是我們要共同研究的重要過(guò)程.望教師與學(xué)生共同協(xié)作發(fā)現(xiàn)規(guī)律教學(xué)，使教學(xué)更簡(jiǎn)潔、更實(shí)效.