加法原理和乘法原理推進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)能力的培養(yǎng)

朱萬喜

數(shù)學(xué)能力在形成人類理性思維的過程中發(fā)揮著獨(dú)特的、不可替代的作用.高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是一個(gè)發(fā)現(xiàn)新知識(shí)、鞏固舊知識(shí)的長期積累過程.數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)是具有一定的邏輯性、抽象性和廣泛的適用性，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、邏輯思維能力、空間想象能力，同時(shí)運(yùn)用所學(xué)知識(shí)發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題、探索問題.

排列組合知識(shí)內(nèi)容抽象，方法獨(dú)特而且影響悠遠(yuǎn)，是進(jìn)行思維訓(xùn)練和能力培養(yǎng)的絕好智能教材.加法原理和乘法原理是人們處理離散對象的計(jì)算原理.它像一條紅線貫穿教材始終：從推導(dǎo)排列數(shù)，至組合數(shù)公式，至處理應(yīng)用問題，至推導(dǎo)概率公式，至反復(fù)應(yīng)用，最后到步步加深，這是一個(gè)循序漸進(jìn)過程.要具備分析處理問題的實(shí)際能力，在教學(xué)和復(fù)習(xí)中就必須一切圍繞對加法原理和乘法原理的理解和應(yīng)用展開，在反復(fù)應(yīng)用中加深理解，進(jìn)而達(dá)到形成數(shù)學(xué)思想和提高學(xué)習(xí)能力的高度.

一、循序漸進(jìn)，環(huán)環(huán)相扣

在加法原理和乘法原理的應(yīng)用中安排了介紹原理、推理原理、解應(yīng)用問題，必須使這幾次循環(huán)每次都有所側(cè)重，每次都有質(zhì)的飛躍.側(cè)重引導(dǎo)學(xué)生分清、分類與分步的區(qū)別和聯(lián)系.加法原理需理解各類辦法的互斥性，對乘法原理，明確各個(gè)步驟聯(lián)系性，缺一不可是前提，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)對于完成上一步的任意一種方法，下一步都有同樣多種方法，這才能用乘法原理.對應(yīng)，應(yīng)在每一個(gè)例題和練習(xí)中強(qiáng)調(diào)，讓學(xué)生從開始就注意到應(yīng)用兩個(gè)原理的條件.

在導(dǎo)出排列數(shù)、組合數(shù)公式時(shí)，側(cè)重于強(qiáng)調(diào)元素的互異性，從而使學(xué)生認(rèn)識(shí)排列數(shù)、組合數(shù)公式應(yīng)用的局限性；同時(shí)應(yīng)用乘法原理說明兩個(gè)公式間的內(nèi)在聯(lián)系，運(yùn)用兩分法，講清組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)公式.有比較才有鑒別.可以對比安排一些元素來重復(fù)排列、組合問題，可使學(xué)生加深對公式適用條件的印象，同時(shí)也有利于更進(jìn)一步熟悉加法原理和乘法原理.如：（1）三封信投入四個(gè)信箱，有多少種不同投法？（2）某縣使用7位電話號(hào)碼，前兩位都用2，其他各位不限，問該縣最多可安多少部電話？（3）6名同學(xué)報(bào)名參加音樂、美術(shù)、體育三個(gè)課外興趣小組，每人限報(bào)一個(gè)，有多少種報(bào)名方法？

在解應(yīng)用題教學(xué)中重點(diǎn)集中在對加法原理和減法原理應(yīng)用條件的理解和運(yùn)用上.教材的例題和習(xí)題既典型又符合學(xué)生的認(rèn)知水平，對它們應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生多問幾個(gè)為什么，多從不同角度、不同方向去探索應(yīng)用兩個(gè)原理分析處理問題的方法，充分挖掘每個(gè)題目的不同解題方案.例如，從1，3，5，7，9中任取三個(gè)數(shù)，從2，4，6，8中任取兩個(gè)數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，一共可以組成多少個(gè)數(shù)？若先選元素后排列為C35狢24狿55=7200（個(gè)）；若先選位子，即先從5個(gè)位子中選定了3個(gè)放奇數(shù)（或從5個(gè)位子中選2個(gè)排偶數(shù)），再分別選排元素則為C35 P35 P24（或C25 P24 P25）=7200（個(gè)）.

適當(dāng)選擇既典型又聯(lián)系實(shí)際貼近生活且難易適中的課外練習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生自覺用兩個(gè)原理去設(shè)計(jì)不同的解題方案.如3封信投4個(gè)郵箱，用乘法原理得43種投法固然簡便，但若用加法原理，分成分別由一個(gè)、兩個(gè)、三個(gè)郵箱去接受三封信這三大類，則得C14+C24狢23狿22+C34狿33=64（種）投法.又如，10 名劃船運(yùn)動(dòng)員，其中5名擅長劃左舷，3人擅長劃右舷，另兩個(gè)左右都行，今從10人中選6人均分到船的兩舷，有多少種選法？首先確定劃右舷的人，可以兩個(gè)左、右舷都行的人不參與劃右舷、有一個(gè)參與、兩個(gè)人都參與分類，則得C33 C37+ C23 C12 C36+ C13 C22狢35=185（種）選法；若先定劃左舷的人，則得C35狢35+ C25 C12 C34+ C15 C22 C33=185（種）選法.若先把劃左、右舷都行的人安排后再選配其他人，則須分兩人全安排、只排一人、兩人全不安排三大類，其中第一類又分全在右舷、全在左舷、一左一右三小類，第二類又分一人安排在左舷或右舷兩類，故共有（C22 C15 C33+ C22 C35 C13+ P22 C25 C23）+（C12 C25 C33+ C12 C35 C23）+ C35 C33=185（種）選法.此說明雖然都是加法原理，但分類的方案也可以是幾種.利用這些融知識(shí)性、趣味性融一體的問題，引導(dǎo)學(xué)生擺脫死板的模式，設(shè)身處地用加法原理和乘法原理去設(shè)計(jì)解題方案，對于消除畏難情緒，提高解題能力大有裨益.

不同側(cè)重點(diǎn)的講解和應(yīng)用，學(xué)生初步形成應(yīng)用處理簡單應(yīng)用題的能力和歸類、分步的數(shù)學(xué)思維雛形.

二、總結(jié)要點(diǎn)，培養(yǎng)能力

1.回顧教學(xué)過程，緊扣教材，理清思路前后貫通，使學(xué)生充分認(rèn)識(shí)加法原理和乘法原理的綱領(lǐng)作用.如圖所示.

2.圍繞解應(yīng)用題.加強(qiáng)對條件較復(fù)雜的題目的解題訓(xùn)練，提高應(yīng)用兩個(gè)原理的能力.（1）改造教材例題、習(xí)題，適當(dāng)增加分類、分步難度，起到既復(fù)習(xí)又提高的作用.如由數(shù)字1，2，3，4，5，6可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的比50000大的自然數(shù)？或可組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的比50000大的偶數(shù)？或可組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的比50000大的能被3整除的五位數(shù)？（2）編選聯(lián)系數(shù)學(xué)各科知識(shí)的習(xí)題，以互相滲透，綜合提高.如，已知集合A={-3，-2，-1，1，2，3，4}，a，b∈A，那么輻角大于π[]4的不同復(fù)數(shù)a+bi共有多少個(gè)？答案：P23-（C13+ C12+1）.（3）針對典型例題，倡導(dǎo)一題多解，并隨時(shí)強(qiáng)調(diào)兩個(gè)原理的應(yīng)用和條件.

教師要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，采用多樣化的呈現(xiàn)方式，讓學(xué)生營造生動(dòng)有趣的數(shù)學(xué)課堂.通過知識(shí)的講解揭示知識(shí)的過程，適時(shí)滲透數(shù)學(xué)思想方法；通過問題解決，突出和深化數(shù)學(xué)思想，展現(xiàn)數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用過程；通過復(fù)習(xí)構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提煉、概括數(shù)學(xué)思想方法.教師在教學(xué)中要架起學(xué)生生活與數(shù)學(xué)的橋梁，針對性地選擇適合學(xué)生基礎(chǔ)與生活經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)容制作數(shù)學(xué)應(yīng)用題，從而促進(jìn)學(xué)生有效的學(xué)習(xí)能力.