重視數學思想 提高數學能力

喻璟

數學同其他各學科一樣，在其發(fā)展過程中，形成了一套行之有效的數學思想.所謂數學思想，是對數學的知識內容和所使用的方法的本質認識，是現實世界的空間形式和數量關系反映到人們的意識當中，經過思維活動而產生的結果.數學思想除了指數學本身的論證、運算及應用的手段以外，還應包括關于對數學概念、理論、方法以及形態(tài)的產生與發(fā)展規(guī)律的認識.

培養(yǎng)和發(fā)展學生的數學能力是數學學科的重要任務之一，數學能力包括學習數學的能力以及創(chuàng)造性的數學能力.學習數學的能力，也就是在數學學習中，迅速而成功地掌握適當知識和技能的能力.蘇聯心理學家克魯捷茨基認為：學習數學的能力是創(chuàng)造性數學能力的一種表現，因此，培養(yǎng)和發(fā)展學生的數學能力是培養(yǎng)和發(fā)展學生的創(chuàng)新能力和解決問題的實踐能力的重要手段.

學生數學能力的形成大致可以分為三個階段，即由“三基”到“數學思想”最終形成“數學能力”.基本數學思想的指導下駕馭數學知識，才能培養(yǎng)學生的數學概括能力，這不僅使數學學習變得容易，而且使其他學科的學習也變得容易，也只有通過數學思想的培養(yǎng)，數學的能力才會有一個大幅度的提高，掌握數學思想，就是掌握數學的精髓.按照上述觀點，數學教學不能滿足于單純的知識灌輸，而是要使學生掌握數學最本質的東西，用數學思想統(tǒng)領具體知識、具體問題的解決，循此培養(yǎng)和發(fā)展學生的數學能力.所以說，在數學教學過程中，要想深入領會數學的本質，引領學生學好數學，重視數學思想的滲透對提高學生的數學能力所具有的重要意義.

數學思想的內容相當豐富，在日常教學過程中常用的有以下幾種數學思想：

1.函數與方程思想

函數描述了自然界中數量之間的關系，函數與方程思想是指從問題的數量關系入手，提出問題的數學特征，運用數學語言將問題中的條件轉化為函數關系型的數學模型，從而進行問題的研究，有時還實現函數與方程的互相轉化，達到解決問題的目的.函數思想涉及的知識點多，范圍廣，經常利用的性質有：函數的奇偶性、單調性、周期性，函數的最大值和最小值，函數圖像的轉化等.在解決問題過程中，善于挖掘問題當中的隱含條件，構造出函數的解析式和妙用函數的性質，是應用函數與方程思想的關鍵.對所給問題觀察、分析、判斷比較深入、全面時，才能產生由此及彼的聯系，構造出函數模型.另外，方程問題、不等式問題和某些代數問題也可以轉化為與其相關的函數問題，用函數思想加以解決.

2.數形結合思想

數形結合思想就是根據數學問題的條件和結論之間的內在聯系，既分析其代數意義，又提示其幾何直觀，使數量間的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起，充分利用這種結合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決.華羅庚先生說過：數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休.數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀圖像結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化.使用數形結合思想解題，往往能避免冗長的計算與推理，又能考評結論是否完整.數學中的許多知識，有的本身就可以看作是數形結合，比如，任意角的三角函數就是借助于直角坐標系或單位圓來定義的.

3.類比轉化思想

類比轉化思想是把未知解的問題轉化到在已有知識范圍內可解的問題的一種重要的思想方法.通過不斷地轉化，把不熟悉、不規(guī)范、復雜的問題轉化為熟悉、規(guī)范甚至模式法、簡單的問題.類比轉化思想在數學教學過程中無處不見.眾所周知，直線與曲線這兩個數學概念是有嚴格區(qū)別的，初等幾何正是以這種區(qū)別為基礎建立起自己的理論體系的.但是，直線與曲線又是有著內在聯系的，在一定條件下可以互相轉化.比如在高等數學中，“無限”的條件下，直線與曲線可以當成是一回事.求曲邊梯形面積的計算就是先將曲線轉化成直線，然后再將直線轉化成曲線，充分體現了曲線與直線相互轉化的思想.正是運用這種思想，高等數學解決了很多初等數學碰得頭破血流也無法解決的課題.

4.分類討論思想

有時在解答某些數學問題時，會遇到多種情況，這時需要選定一個標準，根據這個標準將問題劃分成幾個能用不同形式去解決的小問題，并將這些小問題逐個加以求解，然后進行歸納小結，最后綜合得出結論，這就是分類討論思想.分類討論是一種重要的數學思想，也是一種典型的邏輯方法，有關分類討論思想的數學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探究性，能訓練學生的思維條理性和概括性.進行分類討論時，我們要遵循的原則是：分類的對象是確定的，標準是統(tǒng)一的，不遺漏，不重復，科學地劃分，分清主次，不越級討論.

例如，設p≥1，求極限﹍im﹏→∞1+p+p2+…+p﹏-11+p+p2+…+p琻，在解題過程中，需要運用分類討論的思想，分p=1和p>1兩種情況加以討論：當p=1時，原式=﹍im﹏→∞猲n+1=﹍im﹏→∞11+1n=1；當﹑>1時，原式=﹍im﹏→∞1-p琻1-p﹏+1=﹍im﹏→∞1p琻-11p琻-p=1p，從而得解.

作為數學教師，應該深入地研究各種常用的數學思想，要透徹理解、熟練掌握它們的特點和作用；要把數學思想滲透在有關數學內容的教學當中；要注意選擇適當的教學內容向學生系統(tǒng)地介紹各種數學思想；要有注意培養(yǎng)學生有意識地、主動地運用數學思想解決數學問題的習慣.只有這樣，才能開拓解題思路，才能改善解題方法的合理性和正確性，才能提高學生的數學水平和能力.